四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗
更新时间:2024-03-30 15:06:01 阅读量: 综合文库 文档下载
问题:四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗(第1章 习题4)
模型假设 对椅子和地面作如下假设:
1. 椅子四脚一样长,椅脚与地面接触处可视为一个点。 2. 地面高度是连续变化的,即地面视为连续曲面。
3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只
脚与地面同时着地。
模型构成 首先用变量表示椅子的位置,以长方形一对角线AC为X轴,BD为Y。设X轴Y轴间夹角为θ。当椅子绕中心O旋转角度θ’后。长方形ABCD转至A‘B‘C’D‘的位置,所以对角线AC与X轴的夹角θ’表示了椅子的位置。
记A,C,两脚与地面的距离之和为f(θ’),B,D两脚与地面的距离之和为g (θ’)。(f(θ’),g (θ’)>=0)。由假设2,f,g是连续函数。由假设3,椅子在任何时候至少有三只脚着地,所以对任何θ’,f(θ’)和 g(θ’)中至少有一个为0。当θ’=0时不妨设f(θ’)=0,g(θ’)>0.
这样,改变椅子位置使四只脚同时着地,就归结为证明如下命题: 已知f(θ’) 和g (θ’)是θ’的连续函数,对任意θ’,f(θ’) g(θ’)=0,且f(0)=0, g(0)>0.证明存在θ1,使f(θ1) =g(θ1)=0.
模型求解 将椅子旋转θ,对角线AC与BD互换。由f(0)=0,g(0)>0知f(θ).>0,g(θ)=0。
令h(θ’)=f(θ’)-g(θ’),则h(0)<0,h(θ)>0。由f,g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必有θ1(0<θ1<θ)使h(θ1)=0,即f(θ1)=g(θ1)。
最后,因为f(θ1) g(θ1)=0,所以f(θ1)=g(θ1)=0.
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