线性代数第三章习题与答案（东大绝版）

第三章 习题与答案 习题 A

TT1.求向量α1?(4,1,?3,?2),αT?(1,2,?3,2),α,?3)的线性组合3α1?5α2?α3. 23?(16,9,1?4??1??16??12??5??16??1???????????????12931094???????. 解 3α1?5α2?α3?3???5????????????3???3??1???9???15??1???25???????????????22?3?610?37??????????????2.从以下方程中求向量?

3(α1?α)?2(α2?α)?5(α3?α)，

T其中α1?(2,5,1,3),αT,5,10),αT,?1,1). 2?(10,13?(4,1解 由方程得3α1?3α?2α2?2α?5α3?5α?0，

?2??10??4??6?????????51112 6α?3α1?2α2?5α3?3???2???5?????

?1??5???1??18??????????3??10??1??24??1???2故α???,即αT?(1,2,3,4).

?3????4?3.求证:向量组α1,α2,?,αi,?αs中的任一向量αi可以由这个向量组线性表出. 证 αi?0α1?0α2???1αi???0αs(i?1,2,?,s) 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.

证 设向量组为α1,α2,?,αi?1,0,αi?1,?,αs,则有

0α1?0α2???αi?1?k0?0αi?1???0αs?0,k?0

而0,0,?,0,k,0,?,0不全为0,故向量组线性相关.

5.设有m个向量α1,α2,?,αm,证明: 若αi?αj(i?j),则向量组α1,α2,?,αm线性相关. 证 显然有0α1?0α2???kαi?0αi?1???(?k)αj???0αm?0,k?0, 而0,?,0,k,0,?,0,?k,0,?,0不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性

(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);

(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);

(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).

解 (1)设有三个数k1,k2,k3,使k1(1,1,0)?k2(0,1,1,)?k3 (3,0,0,)=(0,0,0)

?k1?3k3?0?则有方程组?k1?k2?0,

?k?0?2103因为系数行列式D110?3?0.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. 010(2)设有两个数k1,k2使k1(2,0)?k2(0,-1)=(0,0) 则有方程组??2k1?0,由此解得k1?k2?0,所以两个向量线性无关.

?k?0?2另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数k1,k2,k3,k4,使

k1(-4,-5,2,6)?k2(2,-2,1,3)?k3(6,-3,3,9)?k4(4,-1,5,6)=(0,0,0,0),

?4k1?2k2?6k3?4k4?0??5k?2k?3k?k?0?1234则有方程组?,

2k?k?3k?5k?034?12??6k1?3k2?9k3?6k4?04264?5?2?3?1其系数行列式D??0,所以方程组有非零解,

21356396向量组线性相关.

(4) 设有四个数k1,k2,k3,k4,使

k1(1,0,0,2,5)?k2(0,1,0,3,4)?k3(0,0,1,4,7)?k4(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)

?k1?2k4?0?k2?3k4?0??则有方程组?k3?4k4?0

?2k?3k?4k?11k?0234?1??5k1?4k2?7k3?12k4?0由前三个方程得k1??2k4,k2?3k4,k3??4k4,代入第五个方程得?14k4?0, 即k4?0,从而k1?k2?k3?0,所以向量组线性无关.

7.设α1,α2,α3线性无关,证明:α1?α2,α2?α3,α3?α1也线性无关. 证 设有三个数k1,k2,k3,使k1?α1?α2??k2?α2?α3??k3?α3?α1??0, 则?k1?k3?α1??k1?k2?α2??k2?k3?α3?0,因α1,α2,α3线性无关,

101?k1?k3?0?故?k1?k2?0,因系数行列式D?110?2?0,所以只有k1?k2?k3?0, ?k?k?0011?23由此知α1?α2,α2?α3,α3?α1线性无关.

8.设α1,α2,?,αn线性无关,问向量组α1?α2,α2?α3,?,αn?1?αn,αn?α1是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n个数k1,k2,?,kn,使

k1?α1?α2??k2?α2?α3????kn?1?αn?1?αn??kn?αn?α1??0,

则得方程组

?k1?kn?0?k?k?012???k2?k3?0 ??????kn?1?kn?0其系数行列式

100?001110?000Dn?011?000??????000?110000?011?1?(?1)n?1,

可见,当n为奇数时,Dn?2?0,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n为偶数时,Dn?0,方程组有非零解,向量组线性相关.

9.设αi?(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,n),证明:向量组α1,α2,?,αn线性相关的充分必要条件是det(aij)?0.

证 必要性:设α1,α2,?,αn线性相关,则存在不全为0的n个数k1,k2,?,kn,使

k1α1?k2α2???knαn?0,即有方程组

?a11k1?a21k2???an1kn?0?ak?ak???ak?0121222n2n ?*?????????a1nk1?a2nk2???annkn?0该方程组有非零解,故系数行列式Dn?0,即det(aij)?0,

充分性: 对于方程组(*)当det(aij)?0时,系数行列式Dn?0,所以有非零解,即存在不全为0的k1,k2,?,kn,使k1α1?k2α2???knαn?0成立,故α1,α2,?,αn线性相关.

10.设α1,α2,?,αn是一组n维向量.已知n维标准单位向量组e1,e2,?,en能由它们线性表出,证明: α1,α2,?,αn线性无关.

证 设αi?(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,n),则有

αi?ai1e1?ai2e2???ainen,

可见α1,α2,?,αn也能由e1,e2,?,en线性表出,从而两个向量组等价. 因为e1,e2,?,en线性无关,所以α1,α2,?,αn也线性无关.

11.设α1,α2,?,αn是一组n维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表出.

证 必要性:设α1,α2,?,αn线性无关,β为任一n维向量,则α1,α2,?,αn,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由α1,α2,?,αn线性表出.

充分性:设任一n维向量β都可由α1,α2,?,αn线性表出.因此α1,α2,?,αn与e1,e2,?,en等

价,从而α1,α2,?,αn线性无关.

12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.

TT(1)α1?(1,2,?1,4),αT2?(9,100,10,4),α3?(?2,?4,2,?8); TT(2) α1?(1,1,0),αT2?(0,2,0),α3?(0,0,3);

T(3) α1?(1,2,1,3),αT,?5,?6),αT,?3,?4,?7),αT,?1,0); 2?(4,?13?(14?(2,19?2??1?19???2100?4? ??082解 (1)A????1102??019???44?8???0?32?2??1??0??0???00??0??09?2??10?2????10??010?, ????00000???00??000?向量组的秩为2, α1,α2为一个极大线性无关组.

?100??100?????(2) A??120???020?

?003??003?????向量组的秩为3, α1,α2,α3为一个极大线性无关组.

12??1412??1412??14??????2?1?310?9?5?30?9?5?3??????? (3) A???1?5?4?1??0?9?5?3??0000????????3?6?70??0?18?10?6??0000?向量组的秩为2, α1,α2为一个极大线性无关组.

13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(?1,?1,0,0,0). 解 所求方阵可写成

?1???1A??0??0?0?300?????1000??0100?,则A????0010????0000??0100000000?1300??300?100?

?010?000??显然R(A)?4.

14.已知α1,α2,?,αs的秩为r,证明: α1,α2,?,αs中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.

证 设αi1,αi2,?,αir,为α1,α2,?,αs中任意r个线性无关的向量,因为向量组的秩为r,故

αi1,αi2,?,αir,αi,(i?i1,i2,ir)线性相关.可见α1,α2,?,αs中的每个向量都可由

αi1,αi2,?,αir,线性表出.因此, αi1,αi2,?,αir,是α1,α2,?,αs的一个极大线性无关组.

15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.

?17?001??12?34??02?31??53???????010?110203?43(1)??; (2)??;(3)??;(4)?54?100??15610??04?7?1?????????20?001?r?r?100???13??解 (1) ?010???010?,秩为3.

?100??001?????257575253143??94132?.

94134??3248??12?34?r?r?1234?r?r?1234???21??32??(2) ??1102???0336???0336?,秩为2.

r?r?15610?31?0336??0000???????(3)

?02?31?r?r?0?11?2?r?3r?0?11?2?r?3r?0?11?2??21??32????12?03?43?03?43?00?1?3?00?1?3??r3?4r1????, ???04?7?1??00?3?9??0000??04?7?1?????????秩为2.

?17?53?(4)

?54??20257575253143??17253143??17253143??????94132?r2?3r1?2013?r4?r3?2013? ???r3?r2?1002?3?3r1?394134?r015?r4?r????3248?30150000?????1002??1002??1002??r2?2r1??r2?r3??r1?r3?2013001?1025319???????,秩为3. ???17253143?r3?17r1?025319??001?1???????000000000000??????16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 R(A?B)?R(A)?R(B).

证 设A?(α1,?,αn),R(A)?r,α1,?,αr为一个极大线性无关组,

B?(β1,?,βn),R(B)?s,β1,?,βs为一个极大线性无关组, A?B?(r1,?,rn).

因为r1,?,rn可由α1,?,αn,β1,?,βn线性表出,从而也可由α1,?,αr,β1,?,βs线性表出.故

R?A?B??R(r1,?,rn)?R?α1,?,αr,β1,?,βs??r?s?R(A)?R(B).

17.设A与B可乘,且AB?0,证明: R(A)?R(B)?A的列数. 证法一 设A为m?n矩阵,B为n?l矩阵 由AB?0,有

?a11?a1n??b11?b1l??0?0??????????????????????? ?a??????m1?amn?m?n?bn1?bnl?n?l?0?0?m?l比较等式两边对应元素,有

?a11b11???a1nbn1?0?a11b12???a1nbn2?0?a11b1l???a1nbnl?0???,?,????,????. ?????ab???ab?0?ab???ab?0?ab???ab?0mnn1mnn2mnnl?m111?m112?m11l可见B的列向量组为上述l个齐次线性方程组的解向量,因此有 R(B)?n?R(A), 移项得R(A)?R(B)?n(A的列数).

证法二 设A为m?n矩阵,B为n?l矩阵, R(A)?r1,R(B)?r2,

?Er1A的标准形可写成?因为R(A)?r1,则

?0?Er1PAQ???00??,即存在可逆阵P,Q使得 0??Br1?m?0??1?, ?.又设QB???B?n?r??m?0?1???1则0?R(AB)?R(PAB)?R(PAQQB),

?Er1但PAQQB???0?10??Br1?m??Br1?m??1??QB?????, ??B0???n?r1??m??0??1可见R(Br1?m)?R(PAQQB)?0,

又因为R(Q?1B)?R(B)?r2,所以R(B?n?r??m)?r2,

1而B?n?r??m共n?r1行,因此n?r1?r2,即r1?r2?n或R(A)?R(B)?n.

1

习题 B

1.证明: α1,α2,?,αs(其中α1?0)线性相关的充要条件是至少有一个αi(1?i?s)可被

α1,α2,?,αi?1线性表出.

证 必要性:设α1,α2,?,αs线性相关(α1?0),则存在不全为0的s个数k1,k2,?,ks使

k1α1?k2α2???ksαs?0,设ki是k1,k2,?,ks中最后一个不为零的数,即ki?0,而ki?1???ks?0,则k1α1?k2α2???kiαi?0,因为α1?0,所以i?1,即1?i?s,(否则k1?0,k2???ks?0则k1α?0不能成立),于是αi??α1,α2,?,αi?1线性表出.

充分性:如果αi?k1α1???ki?1αi?1,则k1α1???ki?1αi?1?αi?0αi?1???αs?0,而

kk1α1???i?1αi?1,即αi可由kikik1,?,ki?1,?1,0,?,0不全为0,所以α1,α2,?,αs线性相关.

2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组α1,α2,?,αn秩为s,αi1,αi2,?,αir是它的任意一个线性无关组,

如果r?s,则它就是α1,α2,?,αn的一个极大线性无关组.如果r?s,则α1,α2,?,αn的其余向量中一定可以选出向量αir?1,使αi1,αi2,?,αir,αir?1线性无关(否则与α1,α2,?,αn秩s?r矛盾),只要r?1?s,重复上述过程,直到r?i?s时为止.这样αi1,αi2,?,αir,αir?1,?,αis就是由αi1,αi2,?,αir扩充成的一个极大线性无关组.

3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设A:α1,α2,?,αs;B:β1,β2,?,βt为两个秩为r的向量组, α1,α2,?,αr;β1,β2,?,βr分别为A,B极大线性无关组,设B可由A线性表出,则有

?β1,β2,?,βr??K?α1,α2,?,αr?T,

其中K为组合系数构成的r阶方阵,因为α1,α2,?,αr;β1,β2,?,βr线性无关,所以K可逆,

?α1,α2,?,αr??K?1?β1,β2,?,βr?,从而α1,α2,?,αr可由β1,β2,?,βr线性表出,从而可由

β1,β2,?,βt线性表出,又α1,α2,?,αs可由α1,α2,?,αr线性表出,所以α1,α2,?,αs可由β1,β2,?,βt线性表出,即A可由B线性表出,因此向量组A,B等价.

4.设向量组α1,α2,?,αs的秩为r,在其中任取m个向量αi1,αi2,?,αim,证明:

Rαi1,αi2,?,αim?r?m?s.

证 设αi1,αi2,?,αim的秩为t,从它的一个极大线性无关组(含t个向量)可扩充为

??α1,α2,?,αs的一个极大线性无关组(含r个向量),所扩充向量的个数为r?t个.但α1,α2,?,αs中除了αi1,αi2,?,αim外,还有s?m个向量,故r?t?s?m,即t?r?m?s.

5.设n?m阶矩阵A的秩为r,证明:存在秩为r的n?r阶矩阵P及秩为r的r?m阶矩阵Q,使A?PQ.

证 因R(A)?r,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m阶可逆阵F和n阶可逆阵G,使得 GAF???Er?00??1?Er,即A?G??0??00??1?F, 0??G11G12??1?F11F12?记G???,F???,其中G11,F11均为r阶方阵,则

GGFF?2122??2122??1?EA?G?1?r?00??1?G11G12??Er???F??G0??21G22??00??F11F12???FF? 0??2122??G110??F11F12??G11F11G11F12??G11?????=?GFGF???G??F11F21?, G0FF2122??21??21??2122??2121记P???G11??1?,则P为n?r矩阵且R(P)?r(因G可逆,故其前r列线性无关), ?G21?Q??FF21?,则Q为r?m矩阵且R(Q)?r(因F?1可逆,故其前r列线性无关),而11A?PQ.

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