2014-2015海淀区初三数学第一学期期末试卷及答案

2014-2015海淀区初三数学第一学期期末练习 2015.1

1．方程x2?3x?5?0的根的情况是

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根 2.在Rt△ABC中，∠C=90o，BC?3，AB?5，则sinA的值为

A.

3434 B. C. D.554 3

3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是

D.圆锥

4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是 A.

A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱

1112 B. C. D. 63235．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y??

3的图象上的两点，x若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是

A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1

C．y1＜y2＜0

D．y2＜y1＜0

7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为

A．

CDAOEFB12 B．

3 C．1 D．2 48．如图1，在矩形ABCD中，AB

1

yAEFBODCOx

图1 图2

A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm2．

10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m.

11．如图，抛物线y?ax与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为

2A??2,4?，B?1,1?，则关于x的方程ax2?bx?c?0的解为

__________．

?n2，n?1012．对于正整数n，定义F(n)=?，其中f(n)表示n的

10?f(n)，n≥首位数字、末位数字的平方和．例如：F(6?)2?636，

F(123)?f?123??12?32?10．

?规定F1(n)F(n)Fk?1(n)?F(Fk(n))（k为正整数）．例如：，

F1?12?3?F?(123)10?F(F1(123))?F(10)?1． ??23，F21（1）求：F2(4)?____________，F2015(4)?______________； （2）若F3m(4)?89，则正整数m的最小值是_____________． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：??1?2015?1??sin30????3.14????.

?2?0?114.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E. 求证：△ACD∽△BCE．

2

AEBDC

15.已知m是一元二次方程x2?3x?2?0的实数根，求代数式

16.抛物线y?2x平移后经过点A(0,3)，B(2,3)，求平移后的抛物线的表达式．

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y?2x与反比例函数

2(m?1)(m?1)?1的值．

my?k的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，x连接BC.

（1）求反比例函数的解析式； （2）若点P是反比例函数y?

k

图象上的一点，且满足△OPC与△x

ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA?直线CD的垂线，垂足为E． （1）求线段CD的长；

3

4， BC=8，D是AB中点，过点B作5BEDAC（2）求cos?ABE的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知关于x的一元二次方程mx（1）求m的取值范围； （2）若x2?0，且

2??m?2?x?2?0有两个不相等的实数根x1,x2．

x1??1，求整数m的值． x2

20. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）： 质量档次 日产量（件） 单件利润（万元） 1 95 2 90 … … x … … 10 50 … … 6 8 24 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF． （1）求证：直线PC是⊙O的切线；

D100?5x 2x?4 （2）若AB=10，AD=2，求线段PC的长．

C

4

AOEBFP

22．阅读下面材料：

小明观察一个由1?1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值． 请回答： （1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；

（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出?AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE?CD于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．

请你帮小明计算：OC=_______________；tan?AOD=_______________；

CACAAFOCODEBBB

D

图1 图2 图3

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，计算：tan?AOD=_______________．

5

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分） 23.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y?（1） 求代数式mn的值；

（2） 若二次函数y?(x?1)的图象经过点B，求代数式m3n?2m2n?3mn?4n的值； （3） 若反比例函数y?2k的图象经过点A(1,4)，B(m,n). xk2的图象与二次函数y?a(x?1)的图象只有一个交点，且该交x点在直线y?x的下方，结合函数图象，求a的取值范围.

y54321-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5O12345x6

24．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD， 连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段

AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，

连接BF，AF． ADBCE图1

① 若α=90°，依题意补全图3， 求线段AF的长； ②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

AA D BDCBC E

E图2 图3 7

ADBCE 备用图

25. 在平面直角坐标系xOy中，设点P?x1,y1?，Q?x2,y2?是图形W上的任意两点．

定义图形W的测度面积：若为图形W的测度面积．

例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，x1?x2 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，y1?y2取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S?mn?4．

x1?x2的最大值为m，y1?y2的最大值为n，则S?mn

1PO yQxPO y1x图1Q图2

（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.

①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ； ②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；

（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值

为 ；

（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

BO yO yBAx图3图4

CxA

8

数学试卷答案及评分参考2015.1

阅卷须知:

1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.

2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分. 3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 答 案 1 A 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 C 8 B

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 3?； 10． 24 ；

11． x1??2,x2?1 ； 12． （1）37，26；（每个答案1分）（2）6.（2分）

三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解：原式??1?1?1?2 ……………………………………………………………………4分 2?1． ………………………………………………………………………………5分 214. （本小题满分5分）

证明：∵AB=AC，D是BC中点，

∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°．…………………………………………………………………………1分 ∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°．

∴∠ADC=∠BEC． ……………………………………………………………………2分 在△ACD和△BCE中，

??ACD??BCE， ??ADC??BEC，?∴△ACD∽△BCE．………………………………………………………………………5分

15. （本小题满分5分）

解：由已知，可得m2?3m?2?0．………………………………………………………1分

∴m2?2?3m． ………………………………………………………………………2分

m2?1?1m2?23m???3．………………………………………………5分 ∴原式=

mmm16. （本小题满分5分）

9

解：设平移后抛物线的表达式为y?2x?bx?c．………………………………………1分

∵平移后的抛物线经过点A(0,3)，B(2,3)，

2?3?c,∴? ………………………………………………………………………3分 ?3?8?2b?c.?b??4,解得? …………………………………………………………………………4分

c?3.?所以平移后抛物线的表达式为y?2x?4x?3．……………………………………5分 解二：∵平移后的抛物线经过点A(0,3)，B(2,3)，

∴平移后的抛物线的对称轴为直线x?1. …………………………………………1分 ∴设平移后抛物线的表达式为y?2?x?1??k．…………………………………2分 ∴3?2??2?1??k．.………………………………………………………………3分 ∴k?1．.………………………………………………………………………………4分 所以平移后抛物线的表达式为y?2?x?1??1． …………………………………5分 17. （本小题满分5分）

解：（1）将x?2代入y?2x中，得y?2?2?4．

∴点A坐标为(2,4)．………………………………………………………………1分 ∵点A在反比例函数y?k的图象上， x2222∴k?2?4?8．……………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的解析式为y?

8

．…………………………………………………3分 x

（2）P?1,8?或P??1,?8?．……………………………………………………………5分 18. （本小题满分5分）

解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，sinA?4， BC=8， 5∴AB?BC8??10．…………………………………………………………1分 sinA45∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，

10

∴CD?1AB?5．…………………………………………………………………2分 2（2）法一：过点C作CF⊥AB于F，如图．

∴∠CFD=90°．

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC?∵CF?AB?AC?BC， ∴CF?AB2?BC2?102?82?6．

BEDFACAC?BC24?．………………………………3分 AB5∵BE⊥CE，

∴∠BED=90°． ∵∠BDE=∠CDF，

∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分

24CF24?5?∴cos?ABE?cos?DCF?． …………………………………5分 CD525法二：∵D是AB中点，AB=10，

∴BD?1AB?5．……………………………………………………………………3分 21S?ABC． 2∴S?BDC?在Rt△ABC中，由勾股定理得AC? ∴S?ABC?AB2?BC2?102?82?6．

BEDAC1?6?8?24． 2∴S?BDC?12．

1∴BECD?12． 2∵CD?5，

∴BE?24． ………………………………………………4分 5∵BE⊥CE， ∴∠BED=90°．

24BE24?5?．∴cos?ABE?……………………………………………………5分 BD525

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）

11

解：（1）由已知，得m?0且???m?2??4?2m?m?4m?4??m?2??0，

222∴m?0且m?2．…………………………………………………………………2分 （2）原方程的解为x??m?2???m?2?．

2m∴x?1或x?∵x22． …………………………………………………………………3分 m?0，

2?0． m∴x1?1，x2?∴m?0． ∵

x1??1， x2m??1． 2 ∴

∴m??2．

又∵m?0且m?2，

∴?2?m?0．……………………………………………………………………4分 ∵m是整数，

∴m??1．…………………………………………………………………………5分

20. （本小题满分5分）

解：（1）y??100?5x??2x?4???10x?180x?400． ……………………………2分

2（1?x?10且x为整数）．

（2）∵y??10x?180x?400??10?x?9??1210．…………………………3分

22又∵1?x?10且x为整数，

∴当x?9时，函数取得最大值1210．

答：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．

………………………………………………………………5分

21. （本小题满分5分） D解：（1）连接OC．

∵AD与⊙O相切于点A， C∴FA⊥AD．

O∵四边形ABCD是平行四边形， AEFP∴AD∥BC， ∴FA⊥BC． B∵FA经过圆心O，

12

∴F是BC的中点，BE=CE，∠OEC=90°．……………………………………1分

∴∠COF=2∠BAF． ∵∠PCB=2∠BAF， ∴∠PCB=∠COF． ∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°， ∴∠OCE+∠PCB=90°． ∴OC⊥PC．

∵点C在⊙O上，

∴直线PC是⊙O的切线．…………………………………………………………2分

（2） ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=2． ∴BE=CE=1．

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=10， ∴AE?AB2?BE2?3．

设⊙O的半径为r，则OC?OA?r，OE?3?r． 在Rt△OCE中，∠OEC=90°， ∴OC2?OE2?CE2． ∴ r??3?r??1．

22解得r?5．…………………………………………………………………………3分 3∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°．

∴△OCE∽△CPE．……………………………………………………………………4分 ∴

OEOC?． CECP553?3． ∴1CP3?∴CP?5．……………………………………………………………………………5分 4CA22.（本小题满分5分）

（1）如图，线段CD即为所求；……………………1分

42（2）OC=，tan?AOD=5；……………………3分

5（3）tan?AOD=．…………………………………5分

13

74DB

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．（本小题满分7分） 解：（1）∵反比例函数y?k的图象经过点A(1,4)， x∴k?4．………………………………………………………………………1分 ∴反比例函数的解析式为y?4． x∵反比例函数y?

4

的图象经过点B(m,n)， x

∴mn?4．………………………………………………………………………2分 （2）∵二次函数y?(x?1)的图象经过点B(m,n)，

∴n?(m?1)．…………………………………………………………………3分 ∴n?m?2m?1． ∴m?2m?n?1． 由（1）得mn?4， ∴原式?4m2?8m?12?4n

2222?（4m2?2m）?12?4n ?4(n?1)?12?4n

?8．……………………………………………………………………4分

（3）由（1）得反比例函数的解析式为y?

24． x

y543令y?x，可得x?4，解得x??2．

214

∴反比例函数y?的图象与直线y?x交于

x

点(2,2)，(?2,?2)．…………………………5分

-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5O12345x2当二次函数y?a(x?1)的图象经过点(2,2)时，可得a?2； 当二次函数y?a(x?1)的图象经过点(?2,?2)时，可得a??∵二次函数y?a(x?1)的顶点为(1,0)，

222． 914

∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0?a?2或a??（注：只写0?a?2或只写a??2，减1

92．…………7分9分.）

24. （本小题满分7分）

（1） AD+DE=4．…………………………………………1分 （2）① 补全图形，如右图所示．……………………2分

解： 设DE与BC相交于点H，连接 AE，

交BC于点G，如图． ∠ADB=∠CDE =90°， ∴∠ADE=∠BDC． 在 △ADE与△BDC中，

ABDCFE?AD?BD,???ADE??BDC, ?DE?DC,?∴△ADE ≌△BDC．……………………………………3分 ∴AE= BC ，∠AED=∠BCD．

F DE与BC相交于点H，

ADGHCBE∴∠GHE=∠DHC．

∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4分 线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF， ∴EF = CB=4， EF // CB． ∴AE= EF． CB//EF，

∴∠AEF=∠EGH=90°． AE=EF，∠AEF=90°， ∴∠AFE=45°． ∴AF=

EF=42． …………………………………………………………………………5分

cos45?． ………………………………………………………………………………7分 225.（本小题满分8分）

解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1分

② 1．…………………………………………………………………………………2分 （2） 2． …………………………………………………………………………………4分 （3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度

面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．

y当顶点A，B或B，C都在x轴上时， y如图5和图6，矩形ABCD的测度

AD② AF?8sin15

OADCOBxBCx图5 图6

面积S就是矩形ABCD的面积，此时S取得最小值，且最小值为12． ………………………………5分

当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．

过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F， 过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点 G，则可得四边形EFGH是矩形．

当点P，Q分别与点A，C重合时，x1?x2取得最大值m， 且最大值m?EF；

当点P，Q分别与点B，D重合时，y1?y2取得最大值n，且最大值n?GF． ∴图形W的测度面积S?EF?GF． ∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=90°． ∵∠AEB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°． ∴∠BAE=∠CBF．

又∵?AEB??BFC?90，

∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6分 ∴

OE yHDGCABFx图7 AEEBAB4???． BFFCBC3设AE?4a,EB?4b?a?0,b?0?，则BF?3a,FC?3b， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE?BE?AB．

2222∴16a?16b?16．即a?b?1．

222∵b?0，∴b?1?a 易证△ABE≌△CDG． ∴CG?AE?4a．

∴EF?EB?BF?4b?3a，GF?FC?CG?3b?4a．

2∴S?EF?GF??4b?3a??3b?4a??12a?12b?25ab?12?25a1?a 2222?12?25a2?1?a2?1?1??12?25?a4+a2?12?25??a2??? 2?4?2∴当a?14912?．…………7分 ，即a?时，测度面积S取得最大值12?25?224216

24∵a?0,b?0，∴a?a?0．∴S?12．

∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为12?S≤综上所述，测度面积S的取值范围是12≤S≤

49． 249．………………………………………8分 217

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