华南理工大学2013级大学物理习题答案

习题一 质点运动学

院 系： 班 级:_____________ 姓 名:___________ 班级个人序号:______

一 选择题

1．某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？［ C ］

(A) 北偏东30°． (B) 南偏东30°．(C) 北偏西30°．(D) 西偏南30°．

2.在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i 、j 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为［ B ］

(A) 2i ＋2j ．

i ＋2j ． (C) －2i －2j ． (D) 2i －2j ． 3. 水平地面上放一物体A ，它与地面间的滑动摩擦系数为．现加一恒力F 如图所示．欲使物体A 有最大加速度，则恒力F 与水平方向夹角应满足 (A) sin θ＝μ． (B) cos θ＝μ．

(C) tg θ＝μ． (D) ctg θ＝μ．［ C ］

4． 一质点沿x 轴运动的规律是245x t t =-+（SI 制）。则前三秒内它的 [ D ]

（A ）位移和路程都是3m ；

（B ）位移和路程都是-3m ； （C ）位移是-3m ，路程是3m ；

（D ）位移是-3m ，路程是5m 。

解： 30253t t x x x ==?=-=-=-

24dx t dt =-，令0dx dt

=，得2t =。即2t =时x 取极值而返回。所以： 022*********|||||||||15||21|5t t t t S S S x x x x x x ----=====+=+=-+-=-+-=

5． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度v

滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 [ D ]

（A ）大小为/2v ，方向与B 端运动方向相同；

（B ）大小为/2v ，方向与A 端运动方向相同；

（C ）大小为/2v , 方向沿杆身方向；

（D ）大小为/(2cos )v θ ，方向与水平方向成θ角。

解：对C 点有

位置：sin ,cos C C x l y l θθ==； 速度：cos ,sin Cx Cy d d v l v l dt dt θθθθ==

；所以，2cos C d v v l dt θθ=.

（B 点：2sin ,2cos ,2cos B B d d v x l v l v dt dt l θθθθθ===∴=）。

v '

v 0

θ1

θ二、填空题

1．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P 点处速度大小为v ，其方向与水平方向成30°角。则物体在P 点的切向加速度

a τ = ，轨道的曲率半径ρ= 。

答案：1

2g -

2。

解：j g a

-= 1sin sin302

a a g g τθ==-=-

cos cos30n a a g θ==-。又因 2

n v a ρ= ，所以

222

cos30n v v a g ρ==

2． 一质点在xy 平面内运动，其运动学方程为j t i t r )2(22

-+=，其中t r ,分别以米和

秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为 ；t =2秒时质点的加速 度为 ；质点的轨迹方程是 。

答案：48i j -；2j -；2

24

x y =-。

解： (3)(1)48r r r i j ?=-=- ， 22222d x d y

a i j j dt dt =+=-

22,2x t y t ==-，消去时间t 得 224x

y =-。

3. 一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为2

02

1bt t v s -

=，其中b v ,0都是常数，t 时刻，质点的加速度矢量=a

；加速度大小为b 时，质点沿圆周运行的圈数为 。

答案：2

0()v bt n b R τ--；02

4v Rb

π。 解：

（1）bt v dt ds v -==0，b dt

s

d a -==22τ 2

0()n v bt a a n a n b R

τττ-=+=-

（2）

令0(v a b ?-=?， 得 b v t 0= 2

200001()(0)(22v v v s s t s v b b b b ?=-=-=， 得02

24v s

n R Rb

ππ?=

=

4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜0θ角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜1θ角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜2θ角，火车加速前后的速度之比为 。 答案：

01010

1202020

cos tan sin tan tan cos tan sin tan tan v v θθθθθθθθθθ++==++ P

x

n

a a τ

a

v ''0

v 0θ2θ

解：设0v 为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为0θ（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以1v 行驶时，雨滴相对火车的速度为v '，已知其倾角为1θ，根据伽利略变换：10v v v

-=' 同理，火车以2v 行驶时，雨滴相对火车的速度为v ''，已知其倾角为2θ，所以20v v v

-='' 011sin sin θθo v v v -='

(1) ； 001cos cos θθv v =' (2) 220sin sin o v v v θθ''=-

(3) ； 002cos cos θθv v ='' (4) 联立（1）（2）式得100100sin cos v v tg v θθθ-=， 10010(cos sin )v v tg θθθ=+ 联立（3）（4）式得0

00022cos sin θθθv v v tg -=， )sin (cos 02002θθθ+=tg v v 所以，火车加速前后速度之比为

010*********cos tan sin tan tan cos tan sin tan tan v v θθθθθθθθθθ++==++

5.一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为3

42t +=θ，θ的单位为rad ，t 的单位为s 。问t = 2s 时，质点的切向加速度 ；法向加速度 ；θ等于 rad 时，质点的加速度和半径的夹角为45°。

答案：24.8m/s a τ=；2230.4m/s ；2.67rad 。 解：（1）212d t dt

θω==，2224d t dt θα==；24144n a R Rt ω==，24a R Rt τα==。 t = 2s 时，2230.4m/s n a =，24.8m/s a τ=

（2）设t '时，a 和半径夹角为45°，此时n a a τ=，即414424Rt Rt ''=，得31/6t '=

所以 38()24 2.67rad rad 3t t θ''=+==

6.距河岸(看成直线)500 m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1 r/min 转动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v =__________．69.8 m/s

三 计算题

1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为0a ，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加0a ，求经过t 秒后质点的速度和位移。

答案：2002a v a t t τ=+；2300126a x a t t τ=+。 由题意可知，角速度和时间的关系为

00a a a t τ=+ 根据直线运动加速度定义 dv a dt = 20000000()2t t a a dv v v dt adt a t dt a t t dt ττ-===+=+?

?? 0t =时刻，00v = 所以

2002a v a t t τ=+ 又dx v dt =，所以 22300000001()226t t a a dx x x dt vdt a t t dt a t t dt ττ-===+=+???

0t =时刻，00x = 所以

2300126a x a t t τ

=+ 2．一质点以初速度0v 作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为0v n (1)n >时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。 答案：11n

-。 解：质点作一维运动。初始条件：0t =时，0x =，0v v =。又由题意，质点的加速度可表示为

a kv =- 式中，k 为大于零的常数。

解法一：由加速度的定义有

dv a kv dt =

=- 分离变量 dv kdt v

=- 由初始条件0t =时0v v =，有

00v t v dv k dt v =-?? 积分得

0e (1)kt v v -=

所以 0e kt dx v v dt

-== 由初始条件0t =时0x =，积分得 000e (1e )t kt kt v x v dt k

--==-? 上式可写为

m (1e ) (2)kt x x -=- 其中，0m v x k

=为质点所能行经的最大距离。 联立式（1）和式（2），得 m 00

()x x v v v =- 故

m 0(1)x v x v =- 将0v v n

=代入上式，得 11m x x n

=- 解法二：由加速度的定义，并作变量替换有

dv a v

kv dx ==- 即 dv kdx =- 由初始条件0x =时0v v =，有

00v x

v dv k dx =-?

? 积分得 0 (3)v v kx =-

B r 由上式得0v v x k

-=。故当0v v n =时， 01(1) (4)v x k n

=- 又由dx v dt =及式（3），有 0dx dt v kx =- 由初始条件0t =时0x =，积分得

00ln

v kx kt v -=- 即 0(1e )kt v x k -=

- 可见，质点所能行经的最大距离为

0m v x k = 故当0v v n

=时，由式（4）及上式得 11m x x n

=-

3．在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边

s 距离处，当人以速率v 0匀速收绳时，试求船

的速率和加速度大小。

答案：x v =2203x h a v s =-。 解：建立如图所示的坐标系。 根据题意可得

0-dl v dt = 由上图可得 x

船的速率

00))x dx v v v dt ==-=- 船的加速度大小 222

20033222()()()x x dv h h a v v dt x l h ==-=-- 当 x = s 时，2203

x h a v s

=-，x v =

4．如图，一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为1940 km/h ，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B ，其速率为2192 km/h ，所经历的时间为3s ，设圆弧 AB 的半径约为3.5km ，且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）飞机在点B 的加速度；（2）飞机由点A 到点B 所经历的路程。 答案：（1）2109m s a -=?，与法向成12.4角；（2）m 1722=s 。

解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以t a 和α为常量

t d d v a t =，t t 0d d t B A v a t v v a t =?-=??B A v v ， 已知11940km h v -=?A ，12192km h v -=?B

3s t =， 3.5km r =，所以 2t 23.3m s B A v v a t --==?

在点 B 的法向加速度

22n 106m s B v a r -==? 在点 B 的总加速度大小

2109m s a -? a 与法向之间夹角 t n

arctan 12.4a a β=

= （2）在时间t 内矢径r 所转过的角度为 212A t t θωα=+

飞机经过的路程为 2t 11722m 2

A s r v t a t θ==+=

5．如图所示，一条宽度为d 的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为0v 。现有一人以不变的划船速度u 沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨迹。

答案：20v x y ud =，即运动轨迹为抛物线。 解：以河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标。根据题意，初始条件为0t =时，000x y ==，00x v =，0y v u =。 又根据题意，当2d y ≤

时，水流速度可表示为 w v ky =， 且当2d y =

时，0w v v =。故 02v k d = 即 02w v v y d

= 对小船有 x w dx v v dt ==， y dy v u dt =

= 利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得

20uv x t d

=

， y ut = 联立消去t ，得 20v x y ud =

上式即为小船渡河的运动轨迹方程，为一抛物线。 注意，上式是小船划至河中心之前的轨迹方程。当2

d y ≥时，水流速度应为 2()w v k d y =-

此时有

2x w dx v v dt ==， y dy v u dt

== 根据前半部的计算结果知，在河心，即2d y '=时，2d t u

'=，20024v v d d x ud u ??'== ???。 以此为新的初始条件代入，积分

2()x t y w x t y dy dx v dt k d y u '''==-?

?? 可解得，当2

d y ≥时 200022v d v v x y y u u ud

=-+- 可见小船运动轨迹仍为抛物线。

习题二 质点动力学

院 系： 班 级:_____________ 姓 名:___________ 班级个人序号:______

1.某物体的运动规律为t k t 2d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t

的函数关系是［ C ］ (A) 0221v v +=kt , (B) 0221v v +-=kt , (C) 02121v v +=kt , (D) 0

2121v v +-=kt

2.质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为k ，k 为正值常量．该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速度)将是 (A) k

mg . (B) k g 2 . (C) gk . (D) gk . ［ A ］

3.质点的质量为m ，置于光滑球面的顶点A 处(球面固定不动)，如图所示．当它由静止开始下滑到球面上B 点时，它的加速度的大小为［ D ］

(A) )cos 1(2θ-=g a ． (B) θsin g a =．

(C) g a =． (D) θθ2222sin )cos 1(4g g a +-=

．

4．列说法中，哪一个是正确的？ ［ C ］

(A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2 m/s ，说明它在此后1 s 内一定要经过2 m 的路程．

(B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大．

(C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零．

(D) 物体加速度越大，则速度越大．

5. 如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一质量分别为m 1和m 2

的重物，且m 1>m 2．滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大

小为a ．今用一竖直向下的恒力g m F 1=代替质量为m 1的物体，可得质量

为m 2的重物的加速度为的大小a ′，则

［ B ］ (A) a ′= a (B) a ′> a (C) a ′< a (D) 不能确定

. 解：11m g T m a -=

a a a 1

m 121

a m g m T 22=-

a m m g m m )()(2121+=- g m m m m a 2

12

+-=

122F m g m a '-= g m F 11= g m m m a 2

2

1-=

'，所以，a a >'。

6．站在电梯内的一个人，看到用细线连结的质量不同的两个物体跨过电梯内的一个无摩擦 的定滑轮而处于“平衡”状态．由此，他断定电梯作加速运动，其加速度为［B ］ (A) 大小为g ，方向向上． (B) 大小为g ，方向向下． (C) 大小为

g 21，方向向上． (D) 大小为g 2

1

，方向向下． 二、填空题

1.质量为0.25 kg 的质点，受力i t F

= (SI)的作用，式中t 为时间．t = 0时该质点以j

2=v (SI)的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是______________． j t i t

23

23+ (SI)

2.设质点的运动学方程为j t R i t R r

sin cos ωω+= (式中R 、ω

皆为常量)

则质点的v

=___________________，d v /d t =_____________________． -sin ωt i +cos ωt j

3.一小珠可以在半径为R 的竖直圆环上作无摩擦滑动．今使圆环以角速度绕圆环竖直直径转动．要使小珠离开环的底部而停在环上某一点，则角速度最小应大于_____________． R g /

4．一质点作半径为 0.1 m 的圆周运动，其角位置的运动学方程为： 2

2

14πt +=

θ (SI) 则其切向加速度为t a =__________________________．0.1 m/s 2

三、计算题

1． 图中A 为定滑轮，B 为动滑轮，三个物体m 1=200g ，m 2=100g ，m 3=50g ，滑轮及绳的质量以及摩

擦均忽略不计。求：

（1）每个物体的加速度； （2）两根绳子的张力T 1与T 2。

m

B T 2 m 3

2

答案：（1）115a g =，215a g =，33

5

a g =；

（2）10.16 1.568N T g ==，20.080.784N T g ==。

解：设两根绳子的张力分别为T 1、T 2； m 2、m 3相对B 轮的加速度为2

a '； m 1、m 2、m 3的加速度分别为a 1、a 2、a 3。

根据牛顿运动定律

1111m g T m a -=；

222222

1()m g T m a m a a '-==- 323332

1()()m g T m a m a a '-=-=--； 2120T T -= 由以上六式解得

211

1.96m/s 5a g ==

22

2

3.92m/s 5

a g '== 221

1.96m/s 5

a g ==

233

5.88m/s 5a g ==

10.16 1.568N T g ==

20.080.784N T g ==，加速度方向如图所示。

2．质量为60Kg 的人以8Km/h 的速度从后面跳上一辆质量为80Kg 的，速度为2.9Km/h 的小车，试问小车的速度将变为多大；如果人迎面跳上小车，结果又怎样？ 答案：（1）5.09km/h ；（2） 1.77km/h -。 解：（1）设人和车的质量分别为1m 和2m ，初速率分别为1v 和2v 。人和车组成的系统沿水平方向动量守恒，有

222m v m v m m v +=+111（），所以

22260880 2.9

5.09km/h 6080

m v m v v m m +?+?=

==++111

（2）人迎面跳上小车，根据动量守恒

222m v m v m m v '-=+111（）

22280 2.9608

1.77km/h 6080

m v m v v m m -?-?'=

==-++111

3．一质量为m 2=200g 的砝码盘悬挂在劲度系数k = 196N/m 的弹簧下，现有质量为m 1=100g 的砝码自h =30cm 高处落入盘中，求盘向下移动的最大距离（设砝码与盘的碰撞是完全非弹性碰撞）。 答案：0.037m 。

解：砝码从高处落入盘中，机械能守恒：

21111

2

m gh m v =

又碰撞过程动量守恒，设共同运动速度为v 2有：

11122()m v m m v =+

砝码与盘向下移动过程机械能守恒

3

a 1

2

a '3

a 2

a

12

222112212122111()()()222

kl m m v k l l m m gl ++=+-+ 平衡时，有 12kl g m =

解以上方程得：222980.980.0960l l --=，解得盘向下移动的最大距离为20.037m l =。

习题三 三大守恒定律

院 系： 班 级:_____________ 姓 名:___________ 班级个人序号:______

1.质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点

越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为［ C ］

(A) mv ． (B)

mv ． (C) mv ． (D) 2mv ．

2.对功的概念有以下几种说法： ［ C ］(1) 保守力作正功时，系统内相应的势能增加．

(2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零． (3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零． 在上述说法中：

(A) (1)、(2)是正确的． (B) (2)、(3)是正确的．(C)只有(2)是正确的．(D)只有(3)是正确的．

3. A 、B 两条船质量都为M ，首尾相靠且都静止在平静的湖面上，如图所

示．A 、B 两船上各有一质量均为m 的人，A 船上的人以相对于A 船的速

率u 跳到B 船上，B 船上的人再以相对于B 船的相同速率u 跳到A 船上. 取如图所示x 坐标，设A 、B 船所获得的速度分别为v A 、v B ，下述结论中哪一个是正确的? ［ C ］

(A) v A = 0，v B = 0． (B) v A = 0，v B > 0． (C) v A < 0，v B > 0．

(D) v A < 0，v B = 0． (E) v A > 0，v B > 0．

4. 一人造地球卫星到地球中心O 的最大距离和最小距离分别是R A 和R B ．设卫星对应的角动量分别是L A 、L B ，动能分别是E KA 、E KB ，则应有 ［ E ］

(A) L B > L A ，E KA > E KB ． (B) L B > L A ，E KA = E KB ． (C) L B = L A ，E KA = E KB ． (D) L B < L A ，E KA = E KB ． (E) L B = L A ，E KA < E KB ．

5．物体在恒力F 作用下作直线运动，在时间t 1内速度由0增加到v ，在时间t 2内速度由v 增加到2 v ，设F 在t 1内作的功是W 1，冲量是I 1，在t 2内作的功是W 2，冲量是I 2．那么，［ C ］

(A) W 1 = W 2，I 2 > I 1． (B) W 1 = W 2，I 2 < I 1．

(C) W 1 < W 2，I 2 = I 1． (D) W 1 > W 2，I 2 = I 1．

x

2

3

6．质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v 和B v

(v A > v B )的两质点A 和B ，受到相 同的冲量作用，则［C ］

(A) A 的动量增量的绝对值比B 的小． (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大． (C) A 、B 的动量增量相等．(D) A 、B 的速度增量相等．

7.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F

+=作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R ）位置过程中，力F

对它所作的功为［ B ］

(A) 20R F ． (B) 202R F ．(C) 203R F ． (D) 204R F ．

二、填空题 1. 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则物体的角速度

ω＝_____________________．12 rad/s

2. 如图所示，轻弹簧的一端固定在倾角为α的光滑斜面的底端E ，

另一端与质量为m 的物体C 相连， O 点为弹簧原长处，A

位置， x 0为弹簧被压缩的长度．如果在一外力作用下，物体由A 向上缓慢移动了2x 0距离而到达B 点，则该外力

____________________． 2 mg x 0 sin α

3.湖面上有一小船静止不动，船上有一打渔人质量为60 kg ．如果他在船上向船头走了

4.0米，但相对于湖底只移动了 3.0米，(水对船的阻力略去不计)，则小船的质量为____________________． 180 kg

4. 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以

4 rad/s 的角

速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r 1=15 cm ．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为r 2=5 cm ．则钢球的角速度

__________． 36 rad/s

参考解：系统对竖直轴的角动量守恒． rad/s 36/2

22

10==r r ωω

5．二质点的质量各为m 1，m 2．当它们之间的距离由a 缩短到b 时，它们之间万有引力所做的功为

____________．)11(21b

a m Gm -- 6．某质点在力F ＝(4＋5x )i

(SI)的作用下沿x 轴作直线运动，在从x ＝0移动到x ＝10 m 的过程中，力F 所

做的功为__________．290 J

三、计算题

1． 一小球在弹簧的作用下振动（如图所示），弹力F = - kx ，而位移x = A cos ωt ，其中k 、A 、ω 都是常量。求在t = 0到t = π/2ω 的时间间隔内弹力施于小球的冲量。 答案：kA

ω

-

解法一：由冲量的定义得 22200

cos sin |kA

kA

I Fdt kA tdt t πππω

ω

ω

ωωω

ω

==-=-

=-

?

?

解法二：由动量定理 0I mv mv =-

而0sin sin 00v A t A ωωω=-=-=，sin sin 2v A t A A π

ωωωωωω

=-=-=- 所以 kA

I mA ωω

=-=-

，

（这里利用了ω=

）。

2．一质量为m 2=200g 的砝码盘悬挂在劲度系数k = 196N/m 的弹簧下，现有质量为m 1=100g 的砝码自h =30cm 高处落入盘中，求盘向下移动的最大距离（设砝码与盘的碰撞是完全非弹性碰撞）。 答案：0.037m 。

解：砝码从高处落入盘中，机械能守恒：

21111

2

m gh m v =

又碰撞过程动量守恒，设共同运动速度为v 2有：

11122()m v m m v =+

砝码与盘向下移动过程机械能守恒

222112212122111()()()222

kl m m v k l l m m gl ++=+-+ 平衡时，有 12kl g m =

解以上方程得：2

22980.980.0960l l --=，解得盘向下移动的最大距离为20.037m l =。

3．一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从

同一高度静止开始加速上爬，如图所示。 问：

（1）二人是否同时达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否守恒？机械能是

否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？

（2）当甲相对绳的运动速度u 是乙相对绳的速度的2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？

答案：（1）二人同时达到顶点；动量不守恒；机械能不守恒；系统对滑轮轴的角动量守恒。（2）3

4

v v u ==

乙甲。 解：（1）根据题意知，甲、乙二人受力情况相同：受绳的张力均为T ，重力mg ；二人的初始状态和运动相同。因为T mg ma -=，所以二人的加速度相同；

二人的（绝对）速度为

00

0t

t

T mg

v v adt dt m

-=+=??

其中v 0 = 0。可见二人在任一时刻的速度相同，且上升的高度也相同，故同时到达顶点；

甲

乙

12

说明：由于人用力上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人总是同时到达顶点。

若以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2()0T mg ->，故系统的动量不守恒；以人和地球为系统，张力T 对系统做功，因而系统的机械能不守恒。显然人在上升过程中机械能在增加；但甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩等于零：（ M TR TR mgR mgR =-+-），故系统对轴的角动量守恒。

（2）设甲的速度为v 甲 、乙的速度为v 乙，从（1）问的解知二人的速度相等，即v v =乙甲。（此结果也可用角动量守恒得到：因0Rmv Rmv -=乙甲，故v v =乙甲。）

设绳子的牵连速度为v 1，并设滑轮逆时针向转动，则滑轮左侧绳子的v 1向下，而滑轮右侧的v 1向上。根据题意，按速度合成原理有

1v u v =-甲；12

u

v v =

+乙 所以 112u u v v -=+，解得：14

u

v =； 34v v u ==乙甲

习题四 刚体力学

院 系： 班 级:_____________ 姓 名:___________ 班级个人序号:______

一、选择题

1．一根长为l 、质量为M 的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m 的子弹以水平速度

v 0射向棒的中心，并以v 0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90?，则v 0的大小为 [ ]

（A

； （B

； （C

； （D ）

22

163M gl

m 。 答案：A 解：

11122

,1122

J J J J Mg l ωωωω=+??

?=??? 22

211, 243l ml J m J Ml ??=== ??? 0012/2v v l l ω==，0021/21

/22

v v l l ωω===，111121

()2J J J J ωωωω-=

= 21122J Mgl ω=， 2

112J J Mgl J ω??

?= ???

， 22

114J Mgl J

ω= 2

2

202244143v ml l Mgl Ml ?? ???=?，Mgl M v m =?202163，2

202

163M v gl m =，所以 3

40gl m M

v =

2．圆柱体以80rad/s 的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为24kg m ?。在恒力矩作用下，10s 内其角速度降为40rad/s 。圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为

[ ]

（A ）80J ，80N m ?； （B ）800J ，40N m ?；（C ）4000J ，32N m ?；（D ）9600J ，16N m ?。

答案：D

解：800=ω，40=ω，10=t ，4J =

2201122k E J J ωω-?=- 22011()4(64001600)9600(J)22k E J ωω?=-=??-=

M 恒定，匀变速，所以有

0t ωωα=-，0t ωωα-=，08040416N m 10

M J J t ωωα--==?=?=? 3．一个转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为0ω。设它所受阻力矩与转动角速度成正比M k ω=- (k 为正常数)。

（1）它的角速度从0ω变为0/2ω所需时间是 [ ]

（A ）/2J ； （B ）/J k ； （C ）(/)ln 2J k ； （D ）/(2)J k 。

（2）在上述过程中阻力矩所做的功为 [ ]

（A ）20/4J ω； （B ）203/8J ω-； （C ）20/4J ω-； (D) 20/8J ω-。

答案：C ；B 。

解：已知 M k ω=-，0,J ω，012

ωω= （1）d M J k dt ωω==-，d J k dt ωω=-，d k dt J

ωω=- 00t d k

dt J ωωωω=-??，0ln k t J ωω=-，所以 0ln ln 2J J t k k

ωω== （2）2222200001111322248J A J J J ωωωωω??=

-=-=- ???

4．如图所示，对完全相同的两定滑轮（半径R ，转动惯量J 均相同），若分别用F （N ）的力和加重物重力P mg F ==(N) 时，所产生的角加速度分别为1α和2α，则 [ ]

（A ）12αα> ；

（B ）12αα= ； （C ）12αα< ；

（D ）不能确定 。 答案：A

解：根据转动定律，有12,mg R J T R J αα?=?=，

依受力图，有mg T ma -=，T mg ma mg =-<

所以，12αα>。

5． 对一绕固定水平轴O 匀速转动的转盘，沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹，并停留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度应 [ ]

（A ）增大； （B ）减小； （C ）不变； （D ）无法确定。

答案：B

解：1102212()J J J J J J ωωωω+-=++ 22121212()J J m r m r m m ====， 12v r ωω==

()F mg =

所以 0012J J J

ωωω=<+ 二、填空题

1．一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转动．圆盘质量为M ，半径为R ，对轴的转动惯量J ＝21MR 2．当圆盘以角速度0转动时，有一质量为m 的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上．子弹射入后，圆盘的角速度＝______________．M ω0 / (M +2m )

2．半径为 1.5m r =的飞轮，初角速度0=10rad/s ω，角加速度25rad/s α=-，若初始时刻角位移为零，则在t = 时角位移再次为零，而此时边缘上点的线速度为v = 。

答案：4s ；15m/s -。

解：已知 1.5m r =，0=10rad/s ω，25rad/s α=-，00=θ。

因const α=，为匀变速，所以有 20012t t θθωα=++。

令 0θ=，即 01

()02t t ωα+=得，由此得 022104s 5

t ωα?=-=-=- 0105410t ωωα=+=-?=-，所以 15m/s v r ω==-

3. 一根质量为 m 、长度为 L 的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在0t =时，

使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为ω0，则棒停止转动所需时间为 。 答案：023L t g ωμ= 解：m df dmg drg gdr L

μμλμ=== dM r df =?，m dM rdf grdr L μ==， 2122

m mgL M dM g L L μμ==?=? 又，213d d M J J mL dt dt ωωα=-=-=- 2132

d mgL mL dt ωμ=→-，即 32g d dt L

μω=-，两边积分：00032t g d dt L ωμω=-??，得：032g t L μω= 所以

023L t g

ωμ= 4.在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m 的人。圆盘半径为R ，转动惯量为J ，角速度为ω。如果这人由盘边走到盘心，则角速度的变化 ?ω = ；系统动能的变化?E k = 。 答案：2mR J

ω；2221(1)2mR mR J ω+。 解：应用角动量守恒定律

2J mR J ωωω'+= 解得 21mR J ωω??'=+ ???，角速度的变化 2

mR J ωωωω'?=-=

系统动能的变化 ()222

1122

k E J J mR ωω'?=?-+，即 2

221(

1)2k mR E mR J ω?=+

5.如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度0ω作匀速转动，转台对该轴的转动惯量 52510kg m J -=??。现有砂粒以1g /s 的流量落到转台，并粘在台面形成一半径0.1m r =的圆。则使转台角速度变为0/2ω所花的时间为

。

答案：5s

解：由角动量守恒定律 20

0()

2

J mr J ωω+=

得 2

J

m r

=

， 由于 3110kg/s m t -=? 所以 5

32323

5105s 1101100.1110m J t r ----?=

===?????

6.如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为R 的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别系着质量分别为m 和2m 的重物，不计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为

。

答案：mg T 8

11=

解：列出方程组 11122211112222(1)(2)()(3)()

(4)

m g T m a T m g m a

T T R J T T R J αα-=??

-=??

-=??-=?

其中，2111111,

2a

J M R R α==， 2

222221,2

a J M R R α==

由（1）、（2）两式得：112

2()

()T m g a T m g a =-??=+?

可先求出a ，解得

1212122()2()()m m g a m m M M -=

+++ ，12112112124()2()()m m m M M T g m m M M ++=

+++ ，12212212124()

2()()

m m m M M T g m m M M ++=+++，121221

121242()()

m m m M m M T g m m M M ++=

+++

将12m m =，2m m = 1212,M M m R R ===代入，得：11

8

T mg =

三．计算题

1. 如图所示，设两重物的质量分别为m 1和m 2，且m 1＞m 2，定滑轮的半径为r ，对转轴的转动惯量为J ，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t 时刻滑轮的角速度． 解：作示力图．两重物加速度大小a 相同，方向如图.

m 1g －T 1＝m 1a

m

12

m

T 2－m 2g ＝m 2a

设滑轮的角加速度为，则 (T 1－T 2)r ＝J α 且有 a ＝r α 由以上四式消去T 1，T 2得：

()()J

r m m gr m m ++-=

22121β 开始时系统静止，故t 时刻滑轮的角速度．

()()J

r m m grt m m t ++-=

=22121 βω

2.质量为M 1＝24 kg 的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为M 2＝5 kg 的圆盘形定滑轮悬有m ＝10 kg 的物体．求当重物由静止开始下降了h ＝0.5 m 时， (1) 物体的速度； (2) 绳中张力．

(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为21121R M J =，2222

1

r M J =) 解：各物体的受力情况如图所示．

由转动定律、牛顿第二定律及运动学方程，可列出以下联立方程： T 1R ＝J 1β1＝

1212

1

βR M T 2r －T 1r ＝J 2β2＝

2212

1

βr M mg －T 2＝ma , a ＝R α1＝r α2 , v 2

＝2ah 求解联立方程，得 ()42

1

21=++=

m M M mg a m/s 2

ah 2=v =2 m/s

T 2＝m (g －a )＝58 N

T 1＝a M 12

1

＝48 N

3.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O 转动．棒的质量为m = 1.5 kg ，长度为l = 1.0 m ，对轴的转动惯量为J = 2

3

1ml ．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为m '= 0.020 kg ，速率为v = 400 m 2s -1

．试问：

21N a

2

m , l

m '

(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度有多大？

(2) 若棒转动时受到大小为M r = 4.0 N 2m 的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度？ 解：(1) 角动量守恒：

ω??

? ??'+='2231l m ml l m v 2分 ∴ l m m m ??

? ??'+'=

31v ω＝15.4 rad 2s -1

2分

(2)

－M r ＝(2

3

1ml ＋2

l m ')

2分 0

－

2

＝2

2分

∴ r

M l m m 23122ωθ??? ??'+=＝15.4 rad 2分

4.两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r ，质量为m ；大圆盘的半径r '＝2r ，质量 m '＝2m ．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O 转动，对O 轴的转动惯量J

＝9mr 2

/ 2．两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m 的物体A 和B ，如图所示．这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变．已知r = 10 cm ．求： (1) 组合轮的角加速度； (2) 当物体A 上升h ＝40 cm 时，组合轮的角速度．

解：(1) 各物体受力情况如图． 图2分

T －mg ＝ma 1分

mg －T '＝m a ' 1分

T ' (2r )－Tr ＝9mr 2

/ 2 1分

a ＝ 1分

a '＝(2r ) 1分 由上述方程组解得：

＝2g / (19r )＝10.3 rad 2s -2

1分

(2) 设为组合轮转过的角度，则 ＝h / r

2

＝

2

所以， = (2h / r )1/2

＝9.08 rad 2s -1

2分

a

'a '

5. 物体A 和B 叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示．今用大小为F 的水平力拉A ．设A 、B 和滑轮的质量都为m ，滑轮的半径为R ，对轴的转动惯量J ＝

22

1

mR ．AB 之间、A 与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长．已知F ＝10 N ，m ＝8.0 kg ，R ＝0.050 m ．求：

(1) 滑轮的角加速度； (2) 物体A 与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体B 与滑轮之间的绳中的张力．

解：各物体受力情况如图．

图2分

F －T ＝ma 1分 T '＝ma 1分

(T T '-)R ＝

β22

1

mR 1分 a ＝ 1分

由上述方程组解得：

＝2F / (5mR )＝10 rad 2s -2

2分

T ＝3F / 5＝6.0 N 1分 T '＝2F / 5＝4.0 N 1分

习题五 机械振动

院 系： 班 级:_____________ 姓 名:___________ 班级个人序号:______

一、选择题

1.一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为 ［ D ］

(A) E 1/4． (B) E 1/2． (C) 2E 1． (D) 4 E 1 ．

2．一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振 动总能量的［E ］

(A) 7/16. (B) 9/16. (C) 11/16. (D) 13/16. (E) 15/16.

3.用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v ～t ）关系曲线如图所示,则振动的初相位为 ［ E ］

(A) π/6. (B) π/3. (C) π/2. (D) 2π/3.

(E) 5π

a a T

’

21--

4．一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 2

1

，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［ ］

答案：B

解：根椐题意，此简谐振动的初相位为3

π

-，或

3

5π

，所以答案为B 。

5．一物体作简谐振动，振动方程为)2

1

cos(π+=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为［ ］

（A ）1:4； （B ）1:2； （C ）1:1； （D ）2:1。 答案：D

解：物体的速度为)21sin(

π+-=t A v ωω，动能为)2

1

(sin 21222π+t mA ωω。所以在t = 0时刻的动能为2221ωmA ，t = T /8时的动能为2241

ωmA ，因此，两时刻的动能之比为2:1，答案应选D 。

二、填空题

1．已知两个简谐振动曲线如图所示．x 1的相位比x 2的相位超前_3π/4_

2． A ，B 是简谐波波线上距离小于波长的两点．已知，B 点振动的相位比A 点落后π3

1，波长为λ = 3 m ，则A ，B 两点相距L = ________________m ． 0.5

3.一简谐振动的表达式为)3cos(φ+=t A x ，已知 t = 0时的初位移为0.04 m ，初速度为0.09 m/s ，则振幅A =_____________ ，初相φ =________________．

0.05 m

-0.205π（或-36.9°）

4. 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2 cm ，则该简谐振动的初相为____________．振动方程为______________________________．

-

t

π/4 (1分)

)4/cos(1022π+π?=-t x (SI)

(2分)

5. 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

)2

15c o s (10621π+?=-t x (SI) ， )5c o s (10222t x -π?=- (SI) 它们的合振动的振辐为_____________,初相为____________．

4310-2 m

(1分) π21 (2分)

6.已知两个简谐振动的振动曲线如图所示．两 简谐振动的最大速率之比为_________________． 1∶1

7．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。其合振动的振幅为__________________________；合振动的振动方程为_____________________________。

答案：21A A -；)2

12cos(12π+π-=t T A A x 。 解：由图可知，两振动其初相位差为π，所以其合振动的振幅为21A A -又由公式11221122sin sin tan cos cos A A A A ?????+=

+，而123, 22

π

π??==，由此得2π?=。所以合振动的振动方程为 )2

12cos(12π+π-=t T A A x

三、计算题

1.一物体放在水平木板上，这木板以ν = 2 Hz 的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数μs = 0.50，求物体在木板上不滑动时的最大振幅A max ．

解：设物体在水平木板上不滑动．

竖直方向： 0=-mg N ①

水平方向： ma f x -= ②

且 N f s x μ≤ ③ ·

-

- x (cm)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wm3q.html