人教全国备战中考数学二次函数的综合备战中考模拟和真题分类汇总及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .

（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；

（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，

①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；

②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2

||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.

【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最

，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或

332t ≤<或72t =. 【解析】

【分析】

（1）先利用对称轴公式x=2a 12a

--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；

（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；

（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．

【详解】

解：（1）∵2a x 12a

-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.

∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，

∴抛物线过点()1,4.

得a 2a 34-+=，

解得a 1=-.

∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.

C 点坐标为()0,3，顶点

D 的坐标为()1,4.

（2）①∵PC PD CD -≤，

∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.

连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===

∴PC PD -

.

易得直线CD 的方程为y x 3=+.

把()P t,0代入，得t 3=-.

∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.

②2

y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+

（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

x x x x ?-++≥=?--+

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

x x x x ?-++≥=?--+

y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.

令288t 0-=，解得7t 2

=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+

综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2

=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．

2．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P （1-132，13-12

）；（3）Q 点坐标为（0，-

72）或（0，32

）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】

【分析】 （1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.

（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.

【详解】

解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，

∴y ＝2x ﹣6，

令y ＝0，解得：x ＝3，

∴B 的坐标是（3，0）．

∵A 为顶点，

∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4， 把B （3，0）代入得：4a ﹣4＝0，

解得a ＝1，

∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3．

（2）存在．

∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，

∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，

此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ． 设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1-13（m ＝1+13＞0，舍）， ∴P （1-13，13-1）． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴1DQ AD OD DB =，即5=135

，∴DQ 1＝52， ∴OQ 1＝

72，即Q 1（0，-72）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴2OQ OB OD OB =，即2363

OQ =， ∴OQ 2＝

32，即Q 2（0，32）； ③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，

则△BOQ 3∽△Q 3EA ，

∴33OQ OB Q E AE =，即33341

OQ OQ =- ∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3，

即Q 3（0，﹣1），Q 4（0，﹣3）．

综上，Q 点坐标为（0，-72）或（0，32

）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

3．函数()2110,>02

y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02

y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .

（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值；

（Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值；

（Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当

0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =

；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】

【分析】

（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；

（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可

（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可；

【详解】

解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2

= （Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12??-- ???

， 令2

m 112

-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=

（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12??+ ???，抛物线2C 的顶点2m Q m,12??-- ???

， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点

∴203m y 1922

≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴32

≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴

32≤4m-99≤，解得94m 2<≤. 综上所述，91m 2

≤≤

即为所求. 【点睛】 本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．

4．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．

（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．

（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．

（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p

【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5

【解析】

【分析】

（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；

（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；

（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p

【详解】

（1）解：抛物线与x 轴有2个交点。理由如下：

∵m≠0，∴b 2-4ac =（2m ）2-4×1×0=4m 2>0．

∴抛物线与x 轴有2个交点

（2）解：∵点A （-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上

∴抛物线的对称轴x=5122n n -++-= ∴ 221

m ?=2,即m=-2． ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x ．

∴点A （0，0），点B （4，0）或点A （4，0），点B （0，0），点M （2，-4） ∴△ABM 的面积为12

×4×4=8 （3）解：方法一（图象法）：

∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．

当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．

此时，-m<2，即m>-2．

当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．

即m>-2.5．

综上所述，m 的取值范围m>-2.5

方法二（代数法）：

由已知得，p=4+4m ，g=9+6m ，r=16+8m ．

∵p

【点睛】

二次函数的综合应用题。与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x 轴有两个交点。当△=b2-4ac=0时，函数图像与x 轴只有一个交点。Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点。熟练运用顶点坐标（-2b a ，2

44ac b a

-）

5．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．

（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ． ①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；

②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．

【答案】（1）（1，4）（2）①点M 坐标（﹣

12，74）或（﹣32，﹣94）；②m 的值317± 117± 【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）①根据tan ∠MBA=2233m m MG BG m -++=-，tan ∠BDE=BE DE =12

，由∠MBA=∠BDE ，构建方程即可解决问题；②因为点M 、N 关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ 是正方形，推出点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1，易证GM=GP ，即|-

m 2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.

【详解】

（1）把点B （3，0），C （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，

得到930{3b c c -++==，解得2{3b c ==，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D坐标（1，4）；

（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），

∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，

∴tan∠MBA=

223

3

m m

MG

BG m

-++

=

-

，

∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），

∴BE=2，

∴tan∠BDE=BE

DE =

1

2

，

∵∠MBA=∠BDE，

∴

223

3

m m

m

-++

-

=

1

2

，

当点M在x轴上方时，

223

3

m m

m

-++

-

=

1

2

，

解得m=﹣1

2

或3（舍弃），

∴M（﹣1

2，

7

4

），

当点M在x轴下方时，

223

3

m m

m

--

-

=

1

2

，

解得m=﹣3

2

或m=3（舍弃），

∴点M（﹣3

2，﹣

9

4

），

综上所述，满足条件的点M坐标（﹣1

2

，

7

4

）或（﹣

3

2

，﹣

9

4

）；

②如图中，∵MN∥x轴，

∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称，

∵四边形MPNQ 是正方形，

∴点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1，

易证GM=GP ，即|﹣m 2+2m+3|=|1﹣m|，

当﹣m 2+2m+3=1﹣m 时，解得m=317±， 当﹣m 2+2m+3=m ﹣1时，解得m=

1172±， ∴满足条件的m 的值为

317±或117±. 【点睛】

本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

6．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；

（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1

）y=；（-2

，1,0）；

（2）N点的坐标为（0

，），（0

，）；

（3）E（-1，

F（0

）或E（-1

，），F（-4

）

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可

【详解】

（1）

∵2

y x x

=-+

a=

3

-，则抛物线的“衍生直线”

的解析式为y=；

联立两解析式求交点

2

33

y=x+

33

y x x

?

=--+

??

?

?-

??

，解得

x=-2

??

?

??

x=1

y=0

?

?

?

，

∴A（-2

，B（1,0）；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，

在2

y x x

=+y=0可求得x= -3或x=1，

∴C（-3,0），且A（-2

，

∴

由翻折的性质可知

∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，

∴N在y轴上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得

，

∵

OD=

∴

ON=或

ON=，

∴N 点的坐标为（0，2

3-3），（0，23+3）；

（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，

∴∠ ACK=∠ EFH ，

在△ ACK 和△ EFH 中

ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠??∠∠???

∴△ ACK ≌△ EFH ，

∴FH=CK=1，HE=AK=23

∵抛物线的对称轴为x=-1，

∴ F 点的横坐标为0或-2，

∵点F 在直线AB 上， ∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，

233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=333=433，即E 的纵坐标为-33， ∴ E （-1，43）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；

②当AC 为平行四边形的对角线时，

∵ C （-3,0），且A （-2，3

∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，3），

设E （-1，t ），F （x ，y ），

则x-1=2×（-2.5），y+t=23

∴x= -4，y=23，

323×（-4）23，解得t=43，

∴E （-1，43-3），F （-4，1033）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，-43）、（0，23）或E （-1，43-），F （-4，103）

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

7．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．

（1）求该抛物线的解析式； （2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；

（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；

②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=--+.

（2）3210.

（3）①2S m 4m 3=---.

②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.

（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.

【详解】

解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），

∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.

又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.

∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.

（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.

∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.

∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，

∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.

∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.

∴△PBC 的周长最小是：3210.

（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），

∴直线AD 的解析式为y=2x+6

∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）

∴()22

EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴

()

22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222??=+=??+??=??=?---?=---.

∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.

②()2

2S m 4m 3m 21=---=-++，

∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.

8．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？

（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3 （2）（﹣

32，154） （3）存在，P （﹣2，3）或P 517-+5317-+ 【解析】

【分析】

（1）用待定系数法求解；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ，直线AB 解析式为y ＝x +3，设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则F （t ，t +3），则PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ，根据S △PAB ＝S △PAF +S △PBF 写出解析式，再求函数最大值；（3）设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3），PD ＝﹣t 2﹣3t ，由抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，由对称轴为直线x ＝﹣1，PE ∥x 轴交抛物线于点E ，得y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称，所以2

E P x x +＝﹣1，得x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ，故PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |，由△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°，得PD ＝PE ，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ；②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t

【详解】

解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0）

∴933030a b a b -+=??++=? 解得：12a b =-??=-?

∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3

（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3

∴A （0，3）

∴直线AB 解析式为y ＝x +3

∵点P 在线段AB 上方抛物线上

∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0）

∴F （t ，t +3）

∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t

∴S △PAB ＝S △PAF +S △PBF ＝12PF ?OH +12PF ?BH ＝12PF ?OB ＝32（﹣t 2﹣3t ）＝﹣32（t +32）2+278

∴点P 运动到坐标为（﹣

32

，154），△PAB 面积最大 （3）存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形

设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3） ∴PD ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t

∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4

∴对称轴为直线x ＝﹣1

∵PE ∥x 轴交抛物线于点E

∴y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称 ∴2

E P x x +＝﹣1 ∴x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t

∴PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |

∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°

∴PD ＝PE

①当﹣3＜t ≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t

∴﹣t 2﹣3t ＝﹣2﹣2t

解得：t 1＝1（舍去），t 2＝﹣2

∴P （﹣2，3）

②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t

∴﹣t 2﹣3t ＝2+2t

解得：t 1517-+，t 2＝5172--（舍去） ∴P （5172-+，53172-+）

综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（

517

2

-+

，

5317

2

-+

）时使△PDE为等腰直角

三角形．

【点睛】

考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.

9．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；

（3）M1（113

2

+

，0）、N1131）；M2（

113

2

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点

D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，

3m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且

∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证

△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：

20

3

a a c

c

++=

?

?

=

?

，

解得：

1

3

a

c

=-

?

?

=

?

，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

所以点G的坐标为（1，4）；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，

过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，

∴33，

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），

将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：

240

43

m k

k m

?-+-=

?

?

-=

??

，

解得：1

1

4

m

k

=

?

?

=

?

（舍），2

2

3

1

m

k

?=

?

?

=

??

，

∴k=1；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），

∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，

∴△AOQ≌△PQN，

如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，

则∠QHN=∠OMQ=90°，

又∵△AOQ ≌△PQN ，

∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，

∴∠MOQ=∠HQN ，

∴△OQM ≌△QNH （AAS ），

∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，

解得：x=1132±（负值舍去）， 当x=113

+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=131

-，点M （113

+，0），

∴点N 坐标为（1132++131

2-

，﹣1），即（13，﹣1）；

或（113

2+﹣131

2-，﹣1），即（1，﹣1）；

如图3，

同理可得△OQM ≌△PNH ，

∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，

解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6， ∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；

综上点M1（113

2 +

，0）、N1（13，﹣1）；M2（

113

2

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.

10．在平面直角坐标系中，抛物线2

y ax bx c

=++过点(1,0)

A-，(3,0)

B，与y轴交于点C，连接AC，BC，将OBC沿BC所在的直线翻折，得到DBC

△，连接OD．

（1）用含a的代数式表示点C的坐标．

（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设OBD的面积为S1，OAC的面积为S2，若1

2

2

3

S

S

=，求a的值．

【答案】（1）(0,3)

C a

-；

(2) 抛物线的表达式为：2

52535

555

y x x

=-++；

(3) 22

a=-22

a=

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()

2

(1)(3)23

y a x x a x x

=+-=--，即可求解；

（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB

∽，再根据相似三角形的性质得到

CP PD CD

DQ BQ BD

==，即可求解；

（3）连接OD交BC于点H，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，由三角形的面积

公式得到1

2

2

3

S

S

=，2

9

m

DM=，

11

299

m

HN DM OC

===，而

2

2

8

99

m

HN ON BN

??

=?== ?

??

，即可求解．

【详解】

（1）抛物线的表达式为：()

2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点(0,3)C a -；

（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ?∠+∠=，90PDC QDB ?∠+∠=，

∴QDB DCP ∠=∠，

设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，

90CPD BQD ?∠=∠=，

∴

CPD DQB ∽， ∴CP PD CD DQ BQ BD ==， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：5a =±

， ∵0a <，故55

a =-， 故抛物线的表达式为：252535555

y x x =-++； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥， 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，

设：3OC m a ==-，

11322OBD S S OB DM DM ?==??=，

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