2019-2020学年北京第三中学初三上册期中考试试卷数学 doc

北京三中(初中部)2019-2020学年度第一学期

初三数学期中试卷

考生须1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．在答题纸上，除作图使用铅笔外，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 知 4．不得使用涂改液（带），没有在指定位置答题或在答题框外答题一律不给分． 一、 选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．

#1．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD:BD?1:2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（ ）．

A．6B．8C．12D．18 【答案】D

【解析】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD:BD?1:2，

∴AD:AB?DE:BC?1:3．

∴S△ADE:S△ABC?(AD)2:(AB)2?1:9． ∵△ADE的面积等于2， ∴△ABC的面积等于18．

#2．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)和点B(0,?4)，则cos?OAB等于（ ）．

A．

3343B．C．?D． 4455【答案】B

【解析】∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,?4)， ∴OA?3，OB?4， 根据勾股定理得AB?5．

3∴cos?OAB?．

5

#3．抛物线y???x?2??5的顶点坐标是（ ）．

1

2A．(?2,5) 【答案】B

B．(2,5) C．(?2,?5) D．(2,?5)

【解析】抛物线y???x?2??5的顶点坐标是(2,5)．

#4．在Rt△ABC中，?C?90?，若BC?1，AC?2，则sinA的值为（ ）． 5 5【答案】A

2A．B．25 5C．

1D．2 2【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得： AB?AC2?BC2?5，

∴sinA?

BC15??． AB55#5．下列三角函数值错误的是（ ）．

A．sin30??【答案】D 【解析】∵sin30??故D错误．

#6．如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC?2.0米，BC?8.0米，则旗杆的高度是（ ）．

311，sin60??，tan45??1，cos60??，

222331B．sin60??C．10?=53D．53 222

A．6.4米B．7.0米C．8.0米D．9.0米 【答案】C

【解析】设旗杆高度为h， 由题意得

#7．将抛物线y?2x2?4绕顶点旋转180?，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）． A．y??2x2?4

1.62，h?8.0米． ?h2?8 B．y??2x2?4 C．y?2x2?4D．y??2x2

2

【答案】B

【解析】y?2x2?4的顶点坐标为(0,4)， ∵抛物线y?2x2?4绕原点O旋转180?，

∴旋转后的抛物线的顶点坐标为(0,4)，开口方向改变， ∴旋转后的抛物线的解析式为y??2x2?4．

#8．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）．

A．(?3,?3)B．(?3,?4) C．(?4,?3)D．(?4,4)

【答案】C 【解析】

∵△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图

3

形，根据位似图形的性质，对应点的坐标相交于一点，连接AA1，BB1，CC1，交点即是P点坐标． ∴如图所示，P点坐标为(?4,?3)．

#9．同一直角坐标系中，函数y?mx?m和y??mx2?x?1（m是常数，且m?0）的图象可能是（ ）． ．．

【答案】D O x O x O x O x y y y y Ｄ． Ａ． Ｂ． Ｃ．

2【解析】A．由函数y?mx?m的图像可知m?0，即函数y?mx?2x?2开口方向朝下，对称轴为

x??b21?????0，则对称轴应在y轴右侧，与图像不符，故A错误； 2a2mmB．由安徽省农户y?mx?m的图像可知m?0，即函数y?mx2?2x?2开口方向朝下，与图像不符，故B错误；

C．由函数y?mx?m的图像可知m?0，即函数y?mx2?2x?2开口方向朝上，对称轴为

x??b21?????0，则对称轴应在y轴左侧，与图像不符，故C错误． 2a2mmD．由函数y?mx?m的图像可知m?0，即函数y?mx2?2x?2开口方向朝下，对称轴为

x??

b21?????0，对称轴应在y轴右侧，与图像相符，故D正确． 2a2mm#10．如图，正方形ABCD中，AB?8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两

点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，CD运动，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为（ ）．

4

A．【答案】B

B．C．D．

【解析】根据题意BE?CF?t，CE?8?t， ∵四边形ABCD为正方形，

∴OB?OC，?OBC??OCD?45?， ∵在△OBE和△OCF中， ?OB?OC???OBE??OCF， ?BE?CF?∴△OBE≌△OCF（SAS）．

1∴S四边形OECF?S△OBC??82?16．

4111∴S?S四边形OECF?S△CEF?16?(8?t)?t?t2?4t?16?(t?4)2?8(0≤t≤8)，

222∴S(cm2)与t(s)的图像为抛物线的一部分，顶点为(4,8)，自变量为0≤t≤8．

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

#11．如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，若AD?3，CD?4，则△CDE与

△CAB的周长的比为________．

【答案】4:7 【解析】∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB．

∴△CDE与△CAB的相似比为

CDCD4??． CACD?AD7∴则△CDE与△CAB的周长的比为4:7．

5

#12．点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数x2?82?(16?x)2的图象上，若x2?x1?1，则y1与y2的大小关系是y1______y2．（用“?”、“?”、“?”填空） 【答案】?

【解析】∵y?x2?2x?1?(x?1)2?2， ∴二次函数图像的对称轴为直线x?1． ∵x2?x1?1， ∴y1?y2．

#13．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为__________．

【答案】

3 4AD3?． BD4【解析】如图所示：tanB?

#14．关于x的二次函数y?x2?kx?k?2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的．．

二次函数的表达式：_____________． 【答案】y?x2?3x?1

【解析】∵关于x的二次函数y?x2?kx?k?2的图像与y轴的交点在x轴的上方， ∴k?2?0． 解得k?2．

∴答案可以为：y?x2?3x?1．

#15．如图，在Rt△ABC中，?ACB?90?，AC?12，BC?5，CD?AB于点D，那么sin?BCD的值是_____________．

6

【答案】

5 13【解析】在Rt△ABC中，

∵?ACB?90?，AC?12，BC?5， ∴AB?AC2?BC2?13． ∵?ACB?90?，CD?AB，

∴?BCD??B?90?，?A??B?90?． ∴?A??BCD． ∴sin?BCD?sin?A?

#16．在平面直角坐标系xOy中，直线x?2和抛物线y?ax2在第一象限交于点A，过A作AB?x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n时对应的△AOB的面积为S1，S2，S3，……，Sn，那么S1?_____；S1?S2?S3??Sn?___________．

BC5?． AB13【答案】2；2n2?2n

?x?2?x?21【解析】当a?1时，解方程组?得，则点坐标为，(2,4)S??2?4?4， A?12y?4y?x2???x?2?x?21当a?2时，解方程组?得，则点坐标为，(2,8)S??2?8?8， A?22y?8y?2x2???x?2?x?21当a?3时，解方程组?得，则点坐标为，(2,12)S??2?12?12， A?32y?122??y?3x?x?2?x?21当a?n时，解方程组?得，则点坐标为，(2,4n)S??2?4n?4n， A?12y?4ny?nx2??∴S1?S2??4(1?2?3??Sn?4?8?12??4n

?n)

?4?n(n?1) 2?2n2?2n．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

7

#17．计算：2sin45??3tan30??cos60???32． 【答案】2?1 【解析】原式?2?22?3?3133?2?2 ?2?1?132?2 ?2?1．

#18．若二次函数y?ax2?bx?3的图象经过A(1,0)、B(2,?1)两点，求此二次函数的解析式．

【答案】解析式为

y?x2?4x?3． 【解析】二次函数y?ax2?bx?c的图象经过B(1,0)、C(2,?1)两点， ∴??0?a?b?3??1?4a?2b?3．

解得??a?1?b??4．

∴二次函数的解析式为y?x2?4x?3．

#19．如图，△ABC中，点D在AB上，?ACD??ABC，若AD?2，AB?6，求AC的长．

【答案】AC?23．

【解析】∵?ACD??ABC，?A??A，

∴△ACD∽△ABC． ∴

ADAC?ACAB．

∵AD?2，AB?6， ∴

2?ACAC6．

∴AC2?12． ∴AC?23．

#20．已知二次函数y?x2?4x?3

@（1）用配方法将y?x2?4x?3化成y?a（x?h）2?k的形式． 【答案】

y?(x?2)2?1． 8

【解析】y?x2?4x?3?(x?2)2?1．

@（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】答案见解析． 【解析】列表、画图．

x 0 1 2 ?1 3 4 3 y 3 0 0

@（3）当0?x?3时，求y的取值范围． 【答案】?1≤y?3．

【解析】当0?x?3时，?1≤y?3．

#21．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30?，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60?（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．（结果保留根号）

【答案】这棵树的高度为53米．

【解析】∵?CBD?60?，?CBD??A??ACB， ∴?ACB??CBD??A?60??30??30?． ∵?A?30?， ∴?A??ACB． ∵AB?10， ∴BC?AB?10．

9

在Rt△BCD中，CD?BC?sin?CBD?10?答：这棵树的高度为53米．

3?53． 2#22．如图，矩形ABCD中，AP平分?DAB，且AP?DP于点P，联结CP，如果AB?8，AD?4，求sin?DCP的值．

【答案】sin?DCP?10． 10【解析】过点P作PE?CD于点E， ∵四边形ABCD是矩形，

∴CD?AB?8，?DAB??ADC?90?． ∵AP是?DAB的角平分线，

1∴?DAP??DAB?45?．

2∵DP?AP， ∴?APD?90?． ∴?ADP?45?． ∴?CDP?45?．

在Rt△APD中，AD?4． ∴DP?AD?sin?DAP?22． 在Rt△DEP中，?DEP?90?，

∴PE?DP?sin?CDP?2，DE?DP?cos?CDP?2． ∴CE?CD?DE?6，

CEP中，?CEP?90?，PC?CE2?PE2?210， 在Rt△∴sin?DCP?

PE10． ?PC10四、解答题（本题共20分，每小题5分）

#23．已知抛物线y?mx2??m?1?x?1(m?1)． @（1）求证：该抛物线与x轴总有两个交点． 【答案】证明见解析．

【解析】∵??(m?1)2?4m?(m?1)2， 且m?1． ∴(m?1)2＞0．

10

∴该抛物线与x轴总有两个交点．

@（2）当抛物线与x轴的两个交点横坐标为整数时，求m的整数值． 【答案】m??1．

【解析】令y?0，则mx2?(m?1)x?1?0 解得：x1?1，x2?1． m又∵m为整数，且方程的根为整数，且m?1． ∴m??1．

#24．8aac49074e724b45014e827b37df376a某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市

场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y??2x?80（20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．

（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）w??2x2?120x?1600．

（2）当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元． 【解析】（1）w?(x?20)y?(x?20)(?2x?80)??2x2?120x?1600． （2）w??2(x?30)2?200, ∴当x?30时，w最大?200．

答：当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元．

#25．如图1，在△ABC中，?ACB?90?，AC?3，BC?4，将△ABC绕顶点C顺时针旋转30?，得

到△A?B?C．联结A?A、B?B，设△ACA?和△BCB?的面积分别为S△ACA?和S△BCB?．

@（1）直接写出S△ACA?:S△BCB?的值． 【答案】

S△ACA?:S△BCB??9:16．

【解析】由旋转的性质知：A?C?AC，BC?B?C，?ACA???BCB?， ∴

ACA?C?，?ACA???BCB?， BCB?C11

∴△ACA?∽△BCB?，

∴S△ACA?:S△BCB??(AC:BC)2?9:16．

@（2）如图2，?ACB?90?，AC?a，BC?b，当旋转角为?（0?＜?＜180?）时，求S△ACA?与S△BCB?的比值．

【答案】 a2:b2．

【解析】∵△ABC绕点C顺时针旋转角?得到△A?B?C． ∴?ACA???BCB???， AC?A?C，BC?B?C，

∴

ACA?C?， BCB?C∴△ACA?∽△BCB?，

222∴S△ACA?:S△BCB??(AC:BC)? a:b．

#26．如图，在四边形ABCD中，?BAC?90?，DF?AC于F，?CAD?30?，?ADC?75?，AC与

BD交于点E，AE?2，BE?2ED．

@（1）求EF、DF的长． 【答案】EF?1，DF?3． 【解析】DF?AC， ∴?AFD?90?， 在△AEB和△FED中，

12

??BAC??AFD，， ??AEB??DEF?∴△AEB∽△FED． ∴

AEBE， ?EFED∵AE?2，BE?2ED． ∴EF?1AE?1． 2∴AF?AE?EF?3． 在Rt△AFD中，?CAD?30?， ∴DF?AF3?3，AD?2DF?23．

@（2）证明：AB?AD． 【答案】证明见解析．

【解析】由（1）知，△AEB∽△FED，DF?3，AD?23． ∴AB?2DF?23．

∴AB?AD． @（3）求BC的长． 【答案】BC?26．

【解析】△ADC中，?ADC??ACD， ∴AC?AD， 又∵AB?AD， ∴AC?AB．

∴Rt△ABC为等腰直角三角形． ∴BC?2AB?26．

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

#27．ff8080814638e07e014652aef0f7251a阅读理解：

如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，若?A??B??DEC?55?，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．

13

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB?5，BC?2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E． 拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出

BCAB的值为___________．

图1图2图3

【答案】（1）点E是四边形ABCD的AB边上的相似点． （2）作图如下：

（3）233． 【解析】（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点． 理由：∵?A?55?， ∴?ADE??DEA?125?． ∵?DEC?55?， ∴?BEC??DEA?125?． ∴?ADE??BEC． ∵?A??B，

∴△ADE∽△BEC． ∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点． （2）作图如下：

14

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

△BCE∽△ECM， ∴△AEM∽∴?BCE??ECM??AEM． 由折叠可知：△ECM≌△DCM， ∴?ECM??DCM，CE?CD，

1∴?BCE??BCD?30?，

311∴BE?CE?AB．

22在Rt△BCE中，tan?BCE?∴∴

#28．有这样一个问题：探究函数y?BE3， ?BC3AB23． ?BC3BE?tan30?， BC121x?的图象与性质． 2x121x?的图象与性质进行了探究． 2x小东根据学习函数的经验，对函数y?下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数y?121x?的自变量x的取值范围是___________． 2x（2）下表是y与x的几组对应值． x … … ?3 ?2 3 2?1 1? 2y 25 6求m的值． 1? 215? 81? 353? 181 355 181 217 81 2 5 23 m … … 3 2（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

3

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,)，结合函数的图象，写

2出该函数的其他性质（一条即可）：________________．

15

【答案】（1）x?0． （2）∴m?296． （3）如图

（4）该函数的其它性质：

①该函数没有最大值； ②该函数在x?0处断开； ③该函数没有最小值；

④该函数图象没有经过第四象限． 故答案为该函数没有最大值． 【解析】（1）x?0． （2）令x?3，

∴y?1212?3?3

?92?13?296． ∴m?296．

（3）如图

16

（4）该函数的其它性质： ①该函数没有最大值； ②该函数在x?0处断开； ③该函数没有最小值；

④该函数图象没有经过第四象限． 故答案为该函数没有最大值．

#29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B的坐标为(2,0)，点C的坐标为(0,8)，sin?CAB?4，5E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE．

@（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

28【答案】y??x2?x?8

33．【解析】A(?6,0)，

28解析式为：y??x2?x?8

33．

@（2）是否存在平行于EF的直线MN，使得该直线与抛物线只有一个公共点，若存在，求出直线MN的解析式，若不存在，请说明理由． 【答案】直线MN的解析式为

17

y?4x?143．

【解析】∵A(?6,0)，C(0,8)． ∴直线AC的解析式为y?43x?8 ，

又∵EF∥AC，EF∥MN， ∴MN∥AC．

设直线MN的解析式为y?43x?b① y??283x2?3x?8②

因为该直线与抛物线只有一个公共点，则由①②可得??0． 即b?14．

∴直线MN的解析式为y?43x?14． @（3）设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式．

【答案】S??12m2?4m．

【解析】过点E做BC的垂线EH，垂足为H ∵EF∥AC． ∴

AEAB?CFCB ．

又∵AE?m，AB?8，CB?217． ∴CF?174m． 在Rt△BOC和Rt△BHE中，

sin?OBC?sin?EBH?OCBC?EHEB ．即8?EHEH?32?4m2178?m ，

17．

∴S?12CF?EH?1172?4m?32?4m17??12m2?4m ．

@（4）在（3）的条件下试说明S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值．【答案】S最大值?8． 【解析】S最大值?8．

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