应用不等式解决方案设计型问题

应用不等式解决方案设计型问题

河北 冯志远

一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面，下面和同学们欣赏07年中考中的方案设计型应用问题．

购物方案设计

例1、（07广东课改）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生． （1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？

（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？ 解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班为56×10×0.8＝448（元）；乙班为54×10×0.8＝432（元）；所以两班分别购买门票共需花费880元．

当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共（56＋54）×10×0.7＝770（元）．

（2）当多于30人且不足100人时，设有x人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，

0?x?100,?3?0.8?10x?100?0.7?10.?

7.5??x100解这个不等式组，得8.

所以，当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.

例2、（07哈尔滨）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．

（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价?进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案； （3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额 不超过300元 超过300元且不超过400元 超过400元 优惠措施 不优惠 售价打九折 售价打八折 按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果） 解：（1）设该商场能购进甲种商品x件，根据题意，得

15x?35(100?x)?2 700 x?40

乙种商品：100?40?60（件）

答：该商品能购进甲种商品40件，乙种商品60件．

（2）设该商场购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100?a)件．根据题意，得

?(20?15)a?(45?35)(100?a)≥750 ??(20?15)a?(45?35)(100?a)≤760因此，不等式组的解集为48≤a≤50

根据题意，a的值应是整数，?a?48或a?19或a?50 ?该商场共有三种进货方案：

方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件， 方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件， 方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件． （3）根据题意，得

0第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 ?200?20?1（件）

第二天只购买乙种商品有以下两种情况：

情况一：购买乙种商品打九折，324?90％?45?8（件） 情况二：购买乙种商品打八折，324?80％?45?9（件）

?一共可购买甲、乙两种商品10?8?18（件） 或10?9?19（件）

答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．

进货方案设计

例3、（07南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类 别 进价（元/台） 电视机 1800 洗衣机 1500 售价（元/台） 2000 1600 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．

（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）

解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得 1?11?x≥(100?x), ，解不等式组，得 33≤x≤39． 2?33?1800x?1500(100?x)≤161800.?

即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案． （2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得

y＝（2000－1800）x＋(1600－1500)(100－x)＝100x＋10000． ∵ 100＞0，∴ 当x最大时，y的值最大．

即 当x＝39时，商店获利最多为13900元

租赁方案设计

例4、（07四川绵阳）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．

（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？

（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？

解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得

4x + 2（8－x）≥20，且x + 2（8－x）≥12， 解此不等式组，得 x≥2，且 x≤4， 即 2≤x≤4． ∵ x是正整数，∴ x可取的值为2，3，4． 因此安排甲、乙两种货车有三种方案：

方案一 方案二 方案三 甲种货车 2辆 3辆 4辆 乙种货车 6辆 5辆 4辆 （2）方案一所需运费 300×2 + 240×6 = 2040元； 方案二所需运费 300×3 + 240×5 = 2100元； 方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160元． 所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．

例5、（07济南）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．

（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；

（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．

解：（1）由租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车(8?x)辆

?40x?30(8?x)≥290由题意得：?

10x?20(8?x)≥100?解得：5≤x≤6

即共有2种租车方案：

第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．

（2）第一种租车方案的费用为5?2000?3?1800?15400元； 第二种租车方案的费用为6?2000?2?1800?15600元 ?第一种租车方案更省费用．

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