对一道高考函数与导数解决零点问题的思考

对一道高考函数与导数解决零点问题的思考

题目：[2014年Ⅱ21]已知函数f(x)=x3?3??2+????+2，曲线y=f(x)在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2. （1）求a；

（2）证明：当k?1时，曲线y=f(x)与直线y?kx?2只有一个交点 解：(Ⅰ) f′ x =3x2?6??+??,??′ 0 =??，

曲线y=f(x) 在点 (0,2)处的切线方程为y=ax+2． 由题设得?a=?2，所以a=1．

(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，f(x)=x3?3??2+??+2． 设g(x)=f x ?kx+2=x3?3??2+ 1??? ??+4 ． 由题设知1-k>0 ．

当x≤0 时，g′ x =3x2?6??+1???>0,g(x)单调递增， g(-1)=k-1<0,g(0)=4，所以g(x)=0 在 (-∞,0]有唯一实根． 当 x>0时，令h(x)=x3?3??2+4 ，则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x)．

h′ x =3x2?6??=3?? ???2 ,?(??)在 (0,2)上单调递减，在 (2,+∞)上单调递增，所以 g(x)=0在 (0,+∞)上没有实根．

这里也可以用h(x)=x3?3??2+4= x+1 x?2 2≥0，(x>0)简化证明g(x) >h(x)≥0。 综上， g(x)=0在R上有唯一实根，即曲线y=f(x) 与直线y=kx-2 只有一个交点． 点评：该方法是高考参考答案给出的方法，主要思路是先找到一个零点，然后利用单调性证明在(-∞，0)上只有一个零点，证明在[0,+∞)上没有零点，在证明[0,+∞)上没有零点的时候，利用到了放缩法（g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x)）。

法二：曲线y=f(x)与直线y?kx?2只有一个交点?f(x)=kx-2只有一个解?x3?3??2=(k-1)x-4只有一个解?y=x3?3??2与y=(k-1)x-4只有一个交点 y=x3?3??2的导数y′=3x2?6??,

当02时y′>0. 作出y=x3?3??2与y=(k-1)x-4的图象如下

由于y=(k-1)x-4恒过(0,-4)，如果图象只有一个交点， 则有k-1<0，即k<1.

所以k<1时，曲线y=f(x) 与直线y=kx-2 只有一个交点．

点评：图象交点问题转化为函数零点问题，零点问题又转化为图象交点问题。转化为y=k-1)x-4与函数y=x3?3??2的交点问题，想一想为什么不直接用y=f(x)与y=kx-2的图象交点。

法三：曲线y=f(x)与直线y?kx?2只有一个交点?f(x)=kx-2只有一个解

O x y 2

因为x=0不是方程的解，所以k=x2?3??+??+1只有一个解?y=x2?3??+??+1与y=k只有一个交点.

y=x?3??+??+1的导数y=2x?3???2=2

4

′

4

(???2)(2??2+??+2)

??244

, y 当x>2时，y′>0,当x<2且x≠0时y′<0. 当x从正方向趋近于0时，y趋近于+∞ ，当x从负方向趋近于0时，y趋近于-∞。 y=x2?3??+??+1的大致图象如下： 由图可知k<1,

所以k<1时，曲线y=f(x) 与直线y=kx-2 只有一个交点．

4

O x 点评：图象交点问题转化为函数零点问题，零点问题又转化为图象交点问题。这里利用了分离参数的思想，分离出了参数k，然后转化为y=k与函数y=?????????+??+1的交点问题，与方法二基本思路一致，只是在作图的时候要强调定义域。

法四：设g(x)=f x ?kx+2=x3?3??2+ 1??? ??+4 ．g′ x =3x2?6??+1??? 由题设知1-k>0 ．g(-1)=k-1<0,g(0)=4，所以g(x)=0 在 (-1,0)有一实根．

(1)当k≤-2时，?≤0,g′ x ≥0，所以g(x)在R上递增，所以g(x)=0只有一个零点。 (2)当-2

（1+

6+3??，3

6+3??,g(x)在区间（-∞，13

6+3??），3??

?

+∞）递增，在（1?g(x)有极小值g(1+

2

6+3??，13

+

6+3??）递减。 3

3

所以x=1+

6+3?? +3

6+3??时3 6+3??)= 13 6+3??+3

?3 1+

2

6+3?? 3

+ 1??? 1+

4= 2+

6+3?? 6+3?? 33

?1 +(1???)(1+

6+3??)>0 3

所以-2

综上k<1时，曲线y=f(x) 与直线y=kx-2 只有一个交点

点评：图象交点问题转化为函数零点问题，然后根据零点存在性定理寻找到一个零点，转化为利用函数的单调性与极值证明函数只有这一个零点。这里的讨论依据是方程???????????+?????=??是否有解。

通个这一道题的学习与分析，应该初步了解了零点问题，函数交点问题的处理策略：(1)零点存在性定理与函数的单调性；(2)数形结合，零点问题与函数图象交点问题相互之间转化。在作图的过程中需要了解基本函数图象，五点作图，图象变换作图以及利用函数的性质作图（单调性，奇偶性，对称性，周期性等）

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