量子力学作业参考答案(刘觉平)

习题一

1. 计算下列情况的Einstein-de Broglie 波长，指出哪种过程要用量子力学处理：

（1）能量为0.025eV 的慢中子24n 1.6710g m -=?（）被铀吸收；

（2）能量为5MeV 的α粒子穿过原子246.6410g m α-=?（）；

（3）飞行速度为100m /s 质量40g 为的子弹的运动。

解：（1）由242220m c p c E +=

注意到：2851.503109.3810n m c J Mev -=?=?>>0.025ev 得2

2k p E m = 利用Einstein-de Broglie 关系

h

p λ=

得：0.181nm λ=

而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比0.181nm 小，因此要用量子力学处理。

（2）由242220m c p c E +=

注意到：2855.97610 3.7310m c J Mev α-=?=?>> 6.4fm λ=

得h εν=

利用Einstein-de Broglie 关系

h p λ

=

得： 6.4fm λ=

这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。

（3）显然子弹不是相对论的，故可利用p mv =。

代入Einstein-de Broglie 关系 h p λ

= 得：341.6510m λ-=?，这比子弹的运动尺度小的多，不需用量子力学处理。

2. 两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对.如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

解：若会发生这种转化，由能量守恒的限制，两个光子的能量必须要大于正负电子对的静能即202 1.022e E m c Mev ==。

光子能量h εν=，得到min 2.42fm λ=。

3. 考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕。利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置。在下列各情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变

化的草图，给出简单的解释。

（1）A 缝开启，B 缝关闭；

（2）B 缝开启，A 缝关闭；

（3）两缝均开启。

（4）将Stern-Gerlach 装置连在缝上，使得只有1S 2

x =电子能通过A ，同时只有1S 2

x =-电子能通过B 。 （5）只有1S 2x =能通过A ，同时只有1S 2

x =电子能通过B 。如果使束流强度低到在任一时刻只有一个电子能通过该装置，结果有什么变化？

解：（1）

高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生单缝衍射，出现类似光衍射的强度分布。

（2）

O 点为正对狭缝B 的中心位置，高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生单缝衍射，出现类似光衍射的强度分布。

（3）

O 点为正对狭缝B 的中心位置，高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生干涉，出现类似光干涉的强度分布。

（4）

0点为AB 狭缝中点正对位置。高度代表强度。从AB 经过的电子的状态不相同，而0+-=即发生干涉概率为0.图像为（1），（2）的简单叠加。

（5）

0点为AB 狭缝中点正对位置，高度代表强度。一个电子所具有的波动性决定了强度的分布，这与多个电子的累加无关。

4. 设Ω为对应力学量ω的算符，其本征值为一系列离散值：{}i a ，现对量子态()x ψ的大量复制品进行关于ω的重复测量，所得ω的实测值：（1）必为离散的；（2）不一定离散的。而每单次测量中，所得ω的实测值：（3）必是Ω的本征值；（4）可以为本征值以外的某个值。指出以上各种答案的对和错。

解：（1）对（2）错（3）对（4）错。每一个本征态对应一个物理量，测量前系统以一定的概率分布处于不同的本征态，但一旦去测量时系统状态就确定了下来，是某个本征态，每一个本征值对应一个物理量，这个物理量就是物理量算符的本征值，其本征值为一系列离散值，必然有所得ω的实测值为离散的，也不可能是本征值以外的某个值。

5. 试证: 对于任意算符,,,A B C D 有

[,]{,}{,}{,}{,}AB CD AC D B C A DB A C B D C D A B =-++- 式中，[,]A B AB BA ≡-，{,}A B AB BA ≡+.

解：等式左边为：

[],AB CD = ()()AB CD CD AB -=()()AB CD CD AB -

等式右边为：

{,}{,}{,}{,}AC D B C A DB A C B D C D A B -++-

=()()()()AC DB BD A CB BC D A CB BC D C DA AD B -+++-+++

=ACDB ACBD ACBD ABCD ACBD ABCD CDAB CADB --++++-- = ABCD CDAB -=左边

因此等式成立。

习题二

6. 将2?2矩阵X 写成0X a a σ=+? 式中，σ是Pauli 矩阵，123(,,)a a a a =，

而0123,,,a a a a 都是数。试用矩阵X 表示出0123,,,a a a a 。

解： 301i i i X a I a σ==+∑03121203a a a i a a i a a a +-??=??+-??

得：()()()()

1,0112211221Im ,221311222a X X a Re X a X a X X =+===- 7．试证明：

a. 矩阵a σ?的行列式在下述变换下

??exp exp 22n n a a a i

i σσσσσφφ??????'?→?≡?- ? ?????下不变。假设方向矢量?n 沿z 轴正向. b. 试用i a 表示出i a '。 解：??=exp exp 22n n a a i i σσσσφφ??????'??- ? ????? 33=exp exp 22i i a σφσφσ-????? ? ?????22231212320000i

i i i a a ia a i e e e e a a φφφφ---???????????=?????????????+??

?-?

同取行列式得

det(a σ'?)=223121232200det()det 00

det()i

i

i i e e e a a ia a a e a i a φφφφσ--????????=????????-?????+??????=?

由于

312123a a ia a a ia a σ'''-??'?=??'''+??31212-3()()i i a a ia a e ia a e φφ??-??+-??

= 解之得112cos sin a a a φφ'=+ 222s i n c o s

a a a φφ'=-+ 33a a '= 9．假设Hilbert 空间由厄密算符A 的非简并本征态矢i a 所张成。

a. 试证 ()i

i

A a -∏ 是零算符。 b. 说明算符

i i j

j i

A a a a ≠--∏ 的意义。 解： （1）()i i A a α-∏1()n i j j i i

A a a a α==-∑∏

1()0n j i j

j i i a a a a αα

==-=∑∏

（2）由i k i j j i A a a a a ≠--∏k i k i j j i a a a a a ≠-=-∏可知当j k ≠，0k i k i j j i

a a a a a ≠-=-∏； 当j k =，k i k j i j

j i a a a a a a ≠-=-∏。由此可知此算符是选出矢量j a 部分 11．算符A （相应于物理量α）在

1φ和2φ中的测量值分别为12a a 和，算符B (相应于物理量β)在1χ和2χ中的测量值分别为b 1和b 2 ，而

(

)11223/φχχ=+ (

)21232/φχχ=-我们首先测量α，测得值为1a ；接着测量β，而后再测α。求测得值为1a 的概率。 解：测量α时，系统处于1φ态中，接着测量β时，得到1b 的概率为211413χφ= 得到2b 的概率为221

913χφ=，而后再测α，得到1a 概率为()()()()()1121112a b b a b a b P P P P P == 而()11211|413a b P φχ==，()12212|913a b P φχ==；得()144999713131313169

a P ??=+=?? 2-1. 在Hamilton 量2

()2p H V x m

=+分立谱的束缚定态n 满足 ,1,2,n H n E n n == 试证n 中 动量的平均值恒为零。

证明：由于[]()()222,,2x x p V m p i x H x V i p m p m ???+ ? ?????=+==??????? 而H 为Hermitian 算符，得

[](),0n x H n n xH Hx n =-=即 0n p n =

2-2在Hermitian 算符A 的分立谱的本征态下，证明[,]c A B =的平均值为零。 解：对于A

,a A a A a a α==得

[],0a A B a a AB BA a a aB Ba a =-=-=

2-3. 从基本量子化条件出发，求坐标算符的本征值谱（讨论一维情况）。换言之，要求利用基本对易关系

??????[,]0,[,],[,]0x x x p i p p ===

证明：如果0x 是坐标算符的本征值，则0x ξ+也是坐标算符的本征值，其中(,)ξ∈-∞+∞，且连续可变。

证明：

由??[,]x p i =得??[,1]1i x p h -=即??[,1]i x p h

??- ???

是常量算符 注意到?1i p x h δ??- ???为平移无穷小算符，得00??[,1]0i x p x x x x h δδ??-== ??? 即()000?0x

x x x x x x δδδ+-++=得()000?x x x x x x x δδδ+=++ 故坐标算符本征值谱是连续的，0x 是坐标算符的本征值，则0x ξ+也是坐标算符的本征值。 2-4．设(,)F x p 是,k k x p 的整函数，证明 [,], [,] k k k k

F F p F x F i i x p ??==??。 整函数是指可以展开成3,0,1(,)mn m n kl k l m n k l F x p C x p ==??=????

∑∑的函数。

证明：对,m n N ?∈ ,m n p x p a ????

m n m n dx x x px p x p p a =-? 1n m n m dx x x x p a dx x x x a i x i x +????=- ?????

?? 1n n m m m n dx x x x a dx x x x x p a i x i x i x +?????????=- ? ? ? ???????????? m n dx x x x p a i x ???= ????? m n x p a i x ???= ????

故3,0,1[,],mn m n k k kl k l m n k l p F p C x p ==????=??????∑∑=k F i x ??。

在动量表象中，i p x a p a p ?=

?可得：,m n

x x p a ????m n i x p a p ???= ????

同理得：3,0,1[,],mn m n k k kl k l m n k l x F x C x p ==????=??????

∑∑ k F i p ?? 习题四

3-1．求出算符00y i i σ-??

= ?

??本征值和本征态。若对自旋态αβ?? ???

测量y s ，结果为2的概率是多少？

解：

由0det 00i i λλ--??= ?-??得2

101λλ-=?=±由00i x x i y y -??????=± ???

??????

?

x y ?

? ??? ??= ?

???

???

即本征值为1

±，本征态为?? ? ? ?

???

令a b αβ????

? ???? ?=+ ?? ???

? ????

求得

)

)22i i ααβαββ????

? ?+-??? ?=+ ?? ???

? ???? 故出现

2

**

12

i i αβα+-=

。

3-2．J 为角动量算符，i ?=J J J ，即,J J i J αβαβγγε??=??，,,1,2,3αβγ=。 若m 和n 为任意方向的矢量（注意：它们不是算符），证明：

（1）[],i ?=?J J n n J ；（2）[],()??=??J m J n J m n （3）2

,0n J J ??=??

解：

（1）[],i ?=?J J n n J

[],?J J n =,i i j j J e n J ????,j i i j n J e J ??=??=j k jki i i

n J e εi =?n J

（2）[],()??=??J m J n J m n 证明：

[]

,??J m J n ,i i j j J m J n ??=??,i j i j m n J J ??=??i j ijk k i m n J ε=i j ijk kl l i m n J εδ=i j ijk k l l

i m n e e J ε=()i J m n =??

（3）2,0n J J ??=??证明：

2,n J J ????[],i i n J J J =[][],,i i n i n i J J J J J J =+ink i k ink k i i J J i J J εε=+()ink kni i k i J J εε=+ （0ink kni ink ink εεεε+=-=） 0=

3-3. 在自旋角动量x -分量的表象中，求自旋角动量y -分量和z -分量的不确定度。 解：

由0110x x y y λ??????= ??? ???????得 1λ=±

，本征态为

和?? ? ?

在本征态中

0002y i S i -??== ?????

22220044y i S i -??== ?????

同理在本征态?? ? ?中

0002y i S i ?? ?-?? == ? ???? ?

22220044y i S i ?? ?-?? == ? ???? ?

因此y S ?=2

同理z S ?=

2

3-4．定义向自旋态λ的投影算子为=λλ∏，证明：向本征值为1,1n σ=-的本征态n α和n β的投影算子分别为

1(1)(1)2

n n n n σαασ∏===+? 1(1)(1)2n n n n σββσ∏=-==-?

解：令(),,n x y z =，则x y z n x y z σσσσ?=++z x iy x iy z -??= ?+-??则由z x i y x i y z ξξζζ-??????=± ??? ?+-??????

得 1） 本征值为1

，本征态为ξζ??= ???

(

)*

12

2122z

x iy x iy z ξξζζ+-?? ???== ? ?+-??

?

???

而()

*

111(1)122z x iy n x iy z ξσξζζ+-????

+?== ? ?+-????

即1

(1)(1)2n n n n σαασ∏===+?

2） 本征值为-1

，本征态为ξζ??

?

??

?= ? ?? ?

(

)*

122122z

x iy x iy z ξξζζ??

--??

- ? ???

?== ? ?++ ??

?

-

? ?

?

?

而()()()*

111(1)122z x iy n x iy z ξσξζζ---????-?== ? ?-++????

即1

(1)(1)

2n n n n σαασ∏===+?

习题五

2-7．有限空间平移变换算符为

()exp(

)

ip l

T l -?=

式中，?p

为动量算符。 计算,()i x T l ????； 期望值2

x 在坐标平移变换下的变化。

（1）解：

(),(),exp(),exp ,exp exp exp exp exp ,exp i i i i j j k k i j j i i

k k i j j i i k k i ip l x T l x i p l p l p l x ip l ip l

ip l x ip l ip l ip l x ??

-???=????

??

??

??-?+?+???

?= ??????

??-??

??-?-?????=?? ? ? ????????

?-???-??-??

????= ???

? ????????

?exp ,exp ,exp exp exp j j j j i i i i k k i i ip l ip l ip l ip l ip l x x ???-??-?????-??-??

-????????

?

++???? ? ??? ?

? ?

???????????

??????

?

,,i j ij x p i δ??=??，01exp !n

i i i i n ip l ip l n ∞=-?????=- ? ?????∑ ()0

10111,exp 1()[,]!1!0 for 1exp for 1!j j i n n

i i j n n n

i j ij n n j j n i i i i n ip l x il x p n il i np n i j ip l l l p l i j n i δ∞=∞-=-∞-=?-????∴?? ????

?=-??=- ??

?≠??=-??????== ? ??-????

?∑∑∑ 由此可得： ,(),exp exp exp exp exp exp exp()

j j i i k k i i j j i i k k i i ip l ip l ip l x T l x ip l ip l ip l l ip l l -????-??-???????= ??? ? ???????????

-???-?-?????= ? ? ???????

-?= （2）解：令2x 变为?2()()T l x T l

?22222()()exp()exp()()()ip l ip l x T l x T l x x x x x l x x l x l x l x l x l x l x l

??''''''=-=++''

''''=+++=+++ 由此可知?2

2()()()T l x T l x l =+

2-8．写出下列波函数在动量表象中的表示

（1）一维谐振子的基态：()2222,x i t x t a w f --=

（2）氢原子的基态：()10,r i E t a r t f --= 解：（1）

22

1

2

22

2

2

22

2

22

(,)

)exp()

22

)exp()

22

11

)()exp[()]

222

)

22

p t dx p x x a

ipx x i t

i t ipx x

dx

i t p ip

d x x

i t p

φ

αω

π

ωα

ω

αα

ααα

ω

α

=

=--

=--

=----

=

--

?

?

?

?

于是有：

2

22

(,))

22

i t p

p

t

ω

φ

α

==--

（2）()

()

1

3

3/23

1

exp

2

r i

E t

a

i

p dx

a

φ

ππ

--

?

??

=-

?

??

?p r

1

2

cos

sin exp

i

E t ipr r

r drd d

a

θ

θθ-

??

=--

?

??

???

令

,cos

x u r u

ipa

θ

??

=+=

?

??

得

原式(1

2

exp

i

E t

x x dxdu

-

=-

??

??

()

2

3/2

-1

ipa

a

π

=

??

??

?

?

?

??

??

3-11．考虑Hilbert空间的一Euler转动

(1/2)(,,)exp exp exp

22

2

y

z z

i

i i

σβ

σασγ

αβγ

-

--

??

????

= ? ?

?

????

??

D

它等价于绕某一转轴转θ角的转动。试求转轴的方向和转角θ。

解：由题：

(1/2)

(,,)exp exp exp 222=cos sin cos sin cos sin 222222cos cos sin sin sin cos cos sin

22222222()

cos 2y z z z y z x y z i i i i i i i i i D n i σβ

σασγαβγααββγγσσσβαγβγαβγαβγα

σσσφφσ---??????= ? ?

?

??????

?

?????--- ?????

??????+--+=---==-?D

sin

2

n φ

即

exp()cos exp()sin

cos sin

()sin

222222

2exp()sin exp()cos ()sin cos sin 22

222

22z x y x y

z i i

in in n i i in n in αγβαγ

βθθ

θαγβαγβθθθ+-????

------ ? ?

=

?

?-+ ? ?-++ ? ?

????

比较两边元素，可得： 1/2

22cos cos

cos

, sin 1cos cos 2

222β

αγ

βαγθθ++?

?==- ???

1/21/21/2

222222sin sin sin cos cos sin

222222,,1cos cos 1cos cos 1cos cos 222222n βγαβγαβγαβαγβαγβαγ??

--+ ? ?= ?+++??????--- ? ? ? ?

?

???????

3-15．在轨道角动量算符2

L 和z L 的共同本征态lm 中，求4x

L 。 解：由定义可得：{}{}222222

,,,x y x y x y x y L L L i L L L L L i L L +-=-+=--

因为22,,,,,,20l m L l m l m L L l m m c l m ++++=?=+=，{}},,x y

x y i L L i L L =为纯虚数

由此可得22x y L L =

()

2

2

222

=1x

y

z

L L L l l =+++L 得()2

222

12

x y

l l m L L

+-==

构建?22++x x L L L L L L +-=，?22

x x L L L L L L --+-=，于是有：

()()22242

2+,x x y x y x y x y L L L L iL L iL L L i L L -??=-+=++??()()22242

2,x x y x y x y x y L L L L iL L iL L L i L L +-??=+-=+-??

对其求平均有：

22++,,x x L L L l m L L L l m --=422

,x y x y L L i L L ??=++??

?2,+1,1x l m C L C l m ++=+

()()221,1,1x l m l m l m L l m =-++++()()()()()2411112l l m l m l m =+-+-++

22,,x x L L L m L L L l m +-+-=422,x y x y L L i L L ??=+-??

?2,1,1x m C L C l m --=-- ()()221,1,1x l m l m l m L l m =+-+--()()()()()2411112l l m l m l m =+--+-+

从而，解之可得： ()()()()()()()()()()()224442

2

1111111111442x L l l m l m l m l l m l m l m l l m =+--+-+++-+-++-+-习题六

4-2．给定Hamiltonian 算符(),H x p ，其本征值和本征函数为n E 、n ψ，试证明在能量表象

中，算符矩阵元满足 kn kn kn

dA i A dt ω??= ??? 其中()/kn k n E E ω=-。

解；由,H

H H dA A i A H dt t

???=-???得 得H H H

k n k n k k n n dA A dA E E E

E E E E E dt t dt

?=+? 一般A t

不含

得kn kn kn dA i A dt ω??= ??? 若令A=t.明显知等式不成立。

4-3．分别求出一维谐振子位置算符x 、动量算符p ，以及升降算符a 、?a 在能量表象中的表达式。

解：利用k n kn

E a E 得

1n n n

a E -=

同理?1n n n

a E +=

由)?x a a =

+得

()11n n n n n x n E E +-=+∑ 同理 ()

111n n n n n p n E E ω

+-=+

∑ 4-4．定义关联函数为()()()0C t x t x =，试求出在一维谐振子基态下()C t 的表达式。 解：由上题知 202x m ω=

，02

xp i = 由()()()00cos sin p x t x t t m ωωω=+得 ()()()2sin 0cos t C t x t x x t xp m ωωω==+

=2m ω2sin cos i

t t m ωωω+=i 2t e m ωω

4-5．粒子在一维势场

(), 00, 0, x V x x a x a ∞?中运动。试求：

(1) 能级和相应的波函数(2) 当粒子处于本征态()n x φ，证明2

a x =。 解：（1）由薛定谔方程知()22

2

2V x E m x ???-?+=? i ）V=0 22sin cos A x B x ???=+? ????

ii ）V =∞ 0?=

由波函数在边界连续得sin n A x a π??

?= ???即22222n n E a m π= 归一化得A =i E t φφ?=?得22

22exp 2i n t a m πφ??= ???

得2222exp 2n n i n x t a a m ππ????ψ= ? ?????

（2）*0

2a n n a x dx x =ψψ=

? 习题七

4-5．粒子在一维势场

(), 00, 0, x V x x a x a ∞?中运动。试求：

(1) 能级和相应的波函数(2) 当粒子处于本征态()n x φ，证明2

a x =。 解：（1）由薛定谔方程知()222

2V x E m x ???-?+=? i ）V=0 22sin cos A x B x ???=+? ????

ii ）V =∞ 0?=由波函数在边界连续得sin n A x a

π???

= ??? 即222

22n n E a m π=归一化得A =iii ）由i E t φφ?=?

得222exp 2in t a m πφ??= ???

得[]222exp 0,20 0n n in x t x a a a m x x a ππ????∈ ? ?ψ=????≤≥?

或 （2）*02

a

n n a x dx x =ψψ=

? 4-18．一维粒子被下述势场

()(), 0V x x λδλ=->

束缚在坐标原点。求基态的波函数和能量；存在束缚的激发态吗？

解：1）在()0∞，内，薛定谔方程为22202E m x

ψψ?+=?而()0limcos 0x kx ε→+= 通解为kx Ae ψ-=，222k mE =-

2）由对称性在(),0-∞内，kx Ae ψ=

3）在原点()22

2

02E m x ψλδψ?++=? 在(),a a -内积分可知ψ'在原点有突变，()20

|002m ψλψ+-'+=由1）和2）得20k m λ-=

得2

22

m E λ=-，没有激发态。归一化得k x ψ-=，其中k =。 5-5．对于两个自旋1/2的粒子，令12x x x =-，?/n

x r =，定义张量算符 121212??3()()S n

n σσσσ=??-? (1) 证明22121242S S S =-，其中

(2) 求12S 的本征值。

解（1）利用①???()n

i n n σσσ?=?+ 证明：?()i i j j n

n e σσσσ?=i j i j ijk j k i ij i j n e i e n n e σσεσδ==+ =i i j j i i i e n e n e σ?+??i n

n σ=?+ ②23σ=，()2

2??n

n σ?= ③()(

)

a c a d a

b

c

d b c b d

????=

??

()2

2

121212??3()()S n

n σσσσ=??-? []()2

2

1212??9()()n

n σσσσ=??+?[][][][]11221122????3()()3()()n n n n σσσσσσσσ-???-??? ()()()()1212????????1833i n

n i n n i n n i n n σσσσ=-?+??+--?+?-?+ ()()()()1212????????1833i n

n i n n i n n i n n σσσσ=-?+?+--?+-?+ 1212??1266()()n

n σσσσ=+?-?? ()

2

2212121212262σσσσσσσσ+=++?

=+?

比较知2

2

12

1242S S S =-式中S

（2）()

22

1212;1;S s s jm j j s s jm =+

()()

2

2

12

1212122;41;S

S s s jm j j s s jm +=+

2

121212;;S s s jm a s s jm =解之得2

121212;2;S s s jm j s s jm =

5-6．两个大小相等、属于不同自由度的角动量1J 和2J 耦合成总角动量12J J J =+，求在总角动量0J =的情况下，1z J 和2z J 的可能取值和相应的概率。 解：总角动量为0，从而Z 轴的分量也为0，故成立下式

12120120

|j m m m m m jm U m m ==+==∑ ⑴

（其中把12;j j jm 简记为jm ，1212;j j m m 简记为12m m ） 利用 222211212122z z J J J J J J J J J +-

-+=++++ 并作用在⑴上得

()()1212121221

1

12120

211,1

m m m m m m m m j j

m U m m m m +

=+=+++

+-∑∑+

1212121,1m m m m m m +=-+∑=0 ⑵

因为120m m +=，故记()121m m U U m ≡ 带入⑵得递推

()()()()()()()()()2111111111111112111110j j m U m j m j m U m j m j m U m +-+-++-+++-+= ⑶

令()11U j =()()()11111k

U j U j k ?-=-?-=-（k j ≤）即

()121,z z J J m m j =-=≤的概率都相等为

11

21

j +，其余为0.

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