心理学考研-心理统计资料-一元线性回归分析

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一元线性回归分析

【本章综述】本章主要阐释线性回归的原理、线性回归模型的建立方法和线性回归方程的检验方法。

【考点分布】

一元线性回归分析

单选 选 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 20 83 30 45,55 5 4 7 3 53,58 4 65 2 55 2 多简答 综合 总分 中公考研，让考研变得简单！ 查看更多心理学考研辅导资料

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14年 2015年 52,61 83 0 10-2【本章框架】

【复习建议】根据真题解析发现，线性回归这部分内容属于考研的重难点。

本章重点在第一节。在复习时注意在把握这部分系统知识的基础上能够与相关分析部分相比较。

第一节 一元线性回归方程的建立、检验及应用

一、一元线性回归方程的建立

1. 回归分析

通过大量的观测数据，可以发现变量之间存在的统计规律性，并用一定的数学模型表示出来，这种用一定模型来表述变量间相关关系的方法就称为回归分析。

2. 回归模型与回归系数

① 用来表达变量之间规律的数学模型就称为回归模型。回归模型分为线性回归模型和非线性回归模型，即直线模型和曲线模型。按回归分析涉及的相关变量的数目，回归模型又可分为简单回归模型和多重回归模型（指两个以上自变量）。

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② 线性回归方程：Y??a?bX，它代表X与Y的线性关系。式中X为自变量，Y?叫做对

应于X的变量Y的估计值。常数a表示该直线在Y轴的截距；常数b表示该直线的斜率。在回归方程式中，b应该叫做Y对X的回归系数（bY?X）。

3. 回归分析与相关分析的关系

回归分析和相关分析均为研究及度量两个或两个以上变量之间关系的方法。从广义上说，相关分析包括回归分析，但严格地讲，二者有区别。

①回归分析是以数学方式表示变量间的关系，相关分析则是检验或度量这些关系的密切程度，两者相辅相成。如果通过相关分析显示出变量间的关系非常密切，则通过所求得的回归模型可获得相当准确的推算值。

② 根据不同的目的，可以从不同角度去分析变量间的关系。确定变量之间是否存在着关系，这是回归与相关分析的共同起点。当旨在分析变量之间的关系密切程度时，一般使用相关系数，这个过程叫相关分析。如果要确定变量之间数量关系的可能形式，找出表达它们之间依存关系的合适的数学模型，并用这个数学模型来表示这种关系形式，则叫做回归分析。

③ 在进行回归分析时，由于目的在于用某一变量去预测另一变量的变化情形，往往是单向地分析两变量的变化关系。在计算回归系数中，bY?X反映当X变化时Y的变化率，

bX?Y反映当Y变化时X的变化率，因此它们分别用X?Y和Y?X表示，是一种不

对称设计。但是当计算相关系数时，考虑的是两个变量的变化情况，相关表示两方面的平均关系，属于对称性设计，因此相关分析是双向的，不强调哪个是自变量哪个是因变量，以

X?Y表示。

4. 线性回归的基本假设

① 线性关系假设。X与Y在总体上具有线性关系，这是一条最基本的假设

② 正态性假设。它是指回归分析中的Y服从正态分布。经由回归方程所分离的误差项，也应呈正态分布。

③ 独立性假设。一是指与某一个X值对应的一组Y值和与另一个X值对应的一组Y值之间没有关系，彼此独立。另一个是指误差项独立，不同的X所产生的误差之间应相互独立，无自相关，而且误差项也应该与自变量X相互独立。

④ 误差等分散性假设。特定X水平的误差，除了应呈随机化的常态分配，其变异量也应相等，称为误差等分散性。

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5. 回归模型建立步骤

建立回归模型实际上就是根据已知两变量的数据求回归方程。建立步骤一般包括： ① 根据数据资料作散点图，直观地判断两变量之间是否大致呈一种直线关系； ② 设直线方程式为Y??a?bX。如果估计值Y?与实际值Y之间的误差比其他估计值

与实际值Y之间的误差小，则这个表达式就是最优拟合直线模型；

③ 选定某种方法，如平均数法、最小二乘法等，使用实际数据资料，计算表达式中的

a和b；

④ 将a，b值代入表达式，得到回归方程。 6. 回归模型建立方法 ① 平均数方法

② 最小二乘法：如果散点图中每一点沿Y轴方向到直线的距离的平方和最小，也即误差的平方和最小，则在所有直线中这条直线的代表性就是最好的，它的表达式就是所要求的回归方程。

(X?X)(Y?Y)?a?Y?bX；b??(X?X)2

7. 回归系数与相关系数的关系 由相关系数的基本公式r??(X?X)(Y?Y)N?sX?sY可知：

?(X?X)(Y?Y)?r?N?sX?sY。

因此bY?X??(X?X)(Y?Y)??(X?X)2sXsY?Yr?N?sX?sYsY?r?

2sXN?sX同理，bX联合bY?Y?r? 可知，r??X和bXbY?X?bX?Y，由此可见，相关系数是两个回归系数

的几何平均。

二、一元线性回归方程的检验

１．回归模型的有效性检验——方差分析

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① 回归分析中Y值的变异来源：一部分是该点到回归直线的距离(沿Y轴方向)；另一部分是该点的估计值Y?与Y的距离，即：

(Y?Y)?(Y?Y?)?(Y??Y)，如果各点都很靠近回归线，则(Y?Y?)很小，

(Y?Y)中大部分是(Y??Y)，这说明误差小，回归方程合适。

② F?MSRMSE，如果MSR显著大于MSE，表明总变异中回归的贡献显著，也即X与Y的线

性关系显著。

SS?(Y?Y)，表示所有Y值的总平方和；

2TSS?(Y??Y)，表示由回归直线表示的线性关系解释的那部分离差平方和；

2RSS?(Y?Y?)，是用回归直线无法解释的那个离差平方和，即偏离回归线的平方和，

2E称为误差平方和或剩余残差平方和。

dfT = N-1; dfR= 1; dfE = N-2。

2. 回归系数的显著性检验

t?b??SEb，其中SEb为回归系数的标准误，其计算公式为：

sYX2SEb??(X-X)2，sYX为误差的标准差（在建立回归模型时，根据从总体中抽取一个

2样本建立模型，由于抽样误差的存在，实际值与回归值即估计值会出现误差。一般意义上，误差小估计值的准确程度高，与实际越接近，估计值的代表性强；反之，误差大估计值的准确程度低，代表性弱，因此，建立回归模型后，也应将其估计的标准误差计算出来），其公

式如下：sYX??(Y?Y?)N?22，sYX2?SSEN?2?MSE

3. 决定系数（回归效果的问题或X与Y的线性关系的程度问题） ① r2?SSRSSTr叫做决定系数，，它等于回归平方和在总平方和中所占的比例（r22。 ?1）

② 回归方程经过检验后判定为具有有效性，没有指出这个方程的有效性程度，而决定系数反映了回归平方和在总平方和中占的比重，比重越大，误差平方和在总平方和中所占的比重就越小。因此，可以把决定系数作为回归有效性高低的指标。

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③ 相关系数与估计的标准误的关系

2rSSR??SST2?（Y??Y）2?（Y?Y）??（Y2?Y）??（Y?Y）22?Y?）?（Y??（Y2?Y）/N??（Y22?Y?）/N?（Y?Y）/N?sY2?sYX2sYX2?1?2sYsY2r?1?sYX2sY2或者sYX?sY?1?r2

三、一元线性回归方程的应用

1. 回归分析的目的就是在测定自变量X与因变量Y的关系为显著相关后，借助于拟合的较优回归模型来预测在自变量X为一定值时因变量Y的发展变化。运用建立的回归模型进行估计或预测，是它主要的应用。

① 用样本回归方程进行预测或估计（点预测和区间预测） ② 真值的预测区间

Y??tP?2?s?1?YX1N?(X?X)Pi2?(X?X)

2P代表预测点值；XP代表某个X值。 式中：Y?2. 运用回归分析方法，需要注意以下几个问题：

① 一种模型只有在当初抽取样本的同一范围内应用才有效；

② 进行回归与相关分析时，不要认为某一变量发生的变化一定是由另一变量(或另几个变量的变化所引起的)，回归分析也并不能准确地确定因果关系。

③ 若变量之间不存在相关关系，不要刻意去寻求两变量间的某种关系。

第二节 可化为一元线性回归的曲线方程

当变量之间的关系不是线性的，而是非线性(曲线)的关系时，一个基本思路就是设法将非线性关系线性化，然后用线性回归模型进行处理。可化为一元线性回归的曲线模型主要有多项式模型、指数模型、幂函数模型、对数模型和成长曲线模型。

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【课后习题演练】

1. 如果要建立两个变量之间的数学模型，下列统计方法中，最恰当的是（） A.方差分析法 B. 因素分析法 C.回归分析法 D. 聚类分析法

2. 在回归方程中，其他条件不变，X与Y，相关系数趋近于零时，估计的标准误将会（） A.不变 B.提高 C.降低 D.趋近于零

3. 应用方差分析检验一元线性回归方程的有效性，其回归自由度和残差度分别为() A. 1和n-1 B. 1，n-2 C. 2，n-1 D. 2，n-2

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