2011中考数学总复习同步测试

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2011年天津中考数学推荐度：
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[来源:Zxxk.Com]初三数学总复习安排

1、数源:学*科*网Z*X*X*K][来源:学.科.网][来源:学#科#网Z#X#X#K][来以知识的纵向关系为线索实现知识的第一覆盖：课时序号第1课时第2课时第3课时第4课时实数二次根式代数式、整式运算因式分解、分式复习内容课时数 1 1 1 1 过关测试内容时间 1、《实数》1课时 2、《整式与分式》 1课时数与[来源:学科网][来与[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]源:Zxxk.Com] 式 2、方程与不等式第6课时第7课时第8课时 3、函数及其图象第9课时第5课时一次方程、分式方程一次方程组一元二次方程一元一次不等式（组）不等式的应用函数概念、一次函数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9、《四边形与证明》1课时 8、《三角形与证明》1课时 5、《函数概念与一次函数》1课时 6、《反比例函数》1课时 7、《二次函数》1课时 4、《不等式与不等式组》1课时 1 3、《方程与方程组》1课时代[来源:学+科+网]数第10课时反比例函数第11课时二次函数第12课时函数的应用空间与图形 1图形的认识第13课时平行线、三角形与证明第14课时特殊三角形第15课时多边形、平行四边形与证明第16课时特殊平行四边形、梯形与证明第17课时圆（1）第18课时圆（2）第19课时作（画）图第20课时视图第21课时投影 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10、《圆》1课时 11、《作（画）图》1课时 12、《视图与投影》1课时 2、图形与变换第22课时图形的变换第23课时相似形（1）第24课时相似形（2）第25课时解直角三角形第26课时解直角三角形的应用 3、图形与坐标第27课时图形变换与坐标概率与统计 2、概率第29课时概率 1、统计第28课时统计 13、《图形的变换》1课时 14、《图形的相似形》1课时 15、《直角三角形的边角关系》1课时 16、《图形与坐标》1课时 17、《统计》1课时 18、《概率》1课时

第1课实数

复习教学目标：

1、理解现实世界中具有相反意义的量的含义，会借助数轴理解实数的相反数和绝对值的意

义，会求实数的相反数和绝对值，并会比较实数的大小。

2、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根和立方根。

3、了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应的关系，会用一个有理数

估计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念，会用计算器进行近似计算。 4、结合具体问题渗透化归思想，分类讨论的数学思想方法。复习教学过程设计： Ⅰ [唤醒] 一、填空：

1、-1.5的相反数是、倒数是、绝对值是、1－2 的绝对值是。 2、倒数等于本身的数是，绝对值等于本身的数是。算术平方根等于本身

的数是，立方根等于本身的数是。 1

3、2-1= ，-2-2= ，(-2 )-2= ,(3.14-∏ )0= 2234、在7 ,∏,-8 ,(-64) ,sin600,tan450中，无理数共有个。

5、用科学记数法表示：-3700000= ,0.000312=

用科学记数法表示的数3.43105 中有个有效数字，它精确到位。 6、点A在数轴上表示实数2，在数轴上到A点的距离是3的点表示的数是。 3

7、260 精确到0.1 的近似值为，误差小于1的近似值为。 23

8、比较下列各位数的大小：-3 -4 ,0 -1, tan300 sin600

二、判断：

1、不带根号的数都是有理数。（） 2、无理数都是无限小数。（） 3

3、2 是分数，也是有理数。（）4、3-2没有平方根。（）

35、若x =x ，则x的值是0和1。（）6、a2的算术平方根是a。（）三、选择：

1、和数轴上的点一一对应的数是（） A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数

2、已知：xy＜ 0，且|x|=3 ，|y|=1,则x+y的值等于（） A、2或－2 B、4或－4 C、4或2 D、4或－4或2或－2 3、如果一个数的平方根与立方根相同，这个数为（） A、0 B、1 C、0或1 D、0或+1或-1 Ⅱ[尝试]

2213例1，已知下列各数：∏，-2.6，7 ,0,0.4,-(-3),(-27) ,(-2 )-2,

cos300,3.6 ,-10,0.21221222122221??（按此规律，从左至右，在每相邻的两个1之间，每段在原有2的基础上再增加一个2）。把以上各数分别填入相应的集合。

无理数集合：（ ?）有理数集合：（ ?）整数结集合：（ ?）分数集合：（ ?）正数集合：（ ?）（解略）提炼：实数的分类思想方法。例2，计算下列各题：

13711513

1、 20-(-2 )2+2-2-(-64) 2、(8 -24 +18 -9 )×(-72) 3、(2 )-2-23×0.125-4 +|-1| 2、解略（答案：1：5；2：-11；3：2

例3，已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：

（1）你会比较实数a、b的大小吗？ a （2）你会比较|a|与|b|的大小吗？相信你能！

bbb

（3）在什么条件下a ＞0? a ＜0? a =0?并说明此时坐标原点的大致位置。

解：（1）a＜b,这是因为在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大。

分析：解决问题的关键是数轴的原点的位置，你想按怎样的顺序去变化呢？（可自左向右，也可自右向左）

（2）当原点在点a的左边时，|a|＜|b| 当原点在点a,b的中点偏左时，|a|＜|b| 当原点在点a,b的中点时，|a|＝|b| 当原点在点a,b的中点偏右时，|a|＞|b| 当原点在点b的右边时，|a|＞|b|

（3）当a,b同号时（且a≠0,b≠0），a ＞0 此时坐标原点在a的左侧或b的右侧 b

当a,b 异号时（且a≠0,b≠0）a ＜0 此时坐标原点在a,b两点之间 b

当a≠0,b=0时，a =0,此时坐标原点在b点

提炼：运用绝对值的意义，解决数形结合问题中的动点问题，渗透化归和分类讨论的数学思想方法，训练学生逆向思维。

Ⅲ[小结] 整数有理数 1、实数的分类分数无理数什么叫无理数

相反数： 2、实数a的绝对值：倒数：（当时）

b 3、实数的运算和科学记数法

4、运用绝对值的意义，解决数形结合问题中的动点问题，渗透化归和分类讨论的数学思想方法，注意逆向思维的运用。 Ⅳ[实践]

1、教师自行设计作业

1-○3○6，6 P17 1○1-○5 复习指导用书P3-4 1，2，3○

第2课二次根式

复习教学目标：

1、知道平方根，算术平方根，立方根的含义，能说出二次根式的两条运算法则。

2、会用根号表示并会求数的平方根，算术平方根，立方根，会进行简单的二次根式的四则

运算，会对简单的二次根式进行化简，能估算一个无理数的大致范围并能比较大小。 3、在解题过程中体会数形结合思想，由特殊到一般的数学思想，并能用它们解决问题。复习教学过程设计 Ⅰ【唤醒】一、填空：

定义：平方根，算术平方根，立方根 a 2 b=ab (a≥0,b≥0) 化简知识结构（阅读）：运算法则 a =

(a≥0,b＞0) 四则运算 b

1．4的平方根是 , 64 的算术平方根是 , 立方根是 2．化简：50 = , 32

= , (5 )= ,18 3 8 = 8

37-41

3．比较大小：15 3.85, -27 -33 , 823

4．估算：44 = （误差小于0. 1）， 90 = （误差小于1） 5．根式分母有理化的结果是

2-11

二、判断：

1．的平方根是（） 2.任何数都有算术平方根（） 933．任何数都有立方根（） 4. -4 3 -3 = 12 =23 ( ) 5.

4 =4 316

933

=2 3 = ( ) 6. 53 +22 =75 ( ) 1642

三、选择题：

1．下列说法中正确的是（）

A、1没有算术平方根 B、1的平方根是1 C、0的平方根是0 D、-1的平方根是-1 2．下列各式中正确的是 ( )

A 、25 =+ 5 B、 (-3) =-3 C、 +36 = +6 D、 -100 =-10 3．下列语句正确的个数为（）

3332(1)+4是64的立方根,（2）x = x,（3）64 的立方根是4,,(4) (+8) = +4 A、 1个 B、 2 个 C、 3 个 D、4 个 4．化简(x-1) （x<1）正确的是（）

A、 x-1 B、(x-1) C、 1-x D、无法确定

Ⅱ【尝试】：例1、计算:(1)

-20 +5

5 -4

9 80

(2) 24-30

-3 3 (3- 5 ) 2

(3) (32 - 26) (56 +42 ) – (3 –1)

解（略）（答案：- 5 , -3 , 163 - 40 ）

提炼：（1）对于带根号的无理数的运算，可运用公式 a 2 b =ab (a≥0,b≥0),

(a≥0,b＞0)且这两个公式可以顺向和逆向两个方面运用。 b

（2）适当运用乘法公式可使运算简化。（3）计算结果必须简化。

例2 、是否存在这样的数，它的平方为35？如果不存在，请说明理由，如果存在，请写出来并用作图的方法在数轴上找出表示这个数的实数点。

分析：首先求出符合条件的数+35 ,再在数轴上作一个直角三角形,找到表示+35 的线段即可解（略）提炼：（1）在数轴上作这样的点时，常常通过作直角三角形来解决。

（2）本题有两解，防止漏解现象，解题时，应仔细审题，全面考虑，注意数形结合的思想。例3、（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“3”

2+ =2344+ =415

( ) 3

( ) 15

33+ =385+5 =524

( ) 8

( ) 24

(2)判断完以上各题后，你发现了什么规律？请用含有 n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围。

（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性。分析：先按运算公式计算化简后，再判断找规律。解：（1）均正确。

（2）(3)

= n2

n -1

( n为大于1的自然数) 2

n -1n

= 2

n-1

n 2 = nn-1

n-1

nn+2 =n -1

提炼：本题是一道探索题，由特殊进行观察，归纳，建立猜想，用符号表示并给出证明，体现了数学中常用的由特殊到一般的思想方法。 Ⅲ【小结】： 1、知识结构见上表

2、基本数学方法：数形结合思想，特殊到一般思想，分类思想等 3、解题注意点：（1）解题时应弄清基本概念，法则（2）注意解题的严密性，充分考虑各种情况，防止漏解现象。

Ⅳ【实践】： 1、教师自行设计

2、复习指导用书p3练习一3 、(4) (5) p17 复习题 3 、4。

第3课代数式整式运算

复习教学目标：

1．了解字母表示数的意义，了解单项式、多项式、整式以及单项式的系数与次数、多

项式的项与次数、同类项的概念，并能说出单项式的系数和次数、多项式的项和次数。知道正整数幂的运算性质，能说出去括号、添括号法则，了解两个乘法公式的几何背景。

2．会用代数式表示简单问题中的数量关系，会求代数式的值，会把一个多项式按某个

字母升（降）幂排列，会判断同类项，并能熟练地合并同类项，会准确地进行去括号与添括号，会推导乘法公式，能运用整式的运算性质、公式以及混合运算顺序进行简单的整式的加、减、乘、除运算。

3．通过运用幂的运算性质、整式的运算法则和公式进一步发展观察、归纳、类比、概

括等能力，

会运用类比思想，一般到特殊、再由特殊到一般的数学思想和数形结合思想解决问题。

复习教学过程设计： Ⅰ.【唤醒】

知识结构（阅读）：现实世界、其他学科、数学中的问题情境整式及其运算解决问题 ?整式的加减?同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方?幂?同底数幂的除法、零指数和负整数指数幂???单项式乘单项式??整式的乘法?单项式乘多项式????多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式??整式的除法单项式除以单项式?多项式除以单项式???一、填空：

1．___ __ 和 _____ __ 统称为整式。

a?a?_____(m、n都是正整数） a?a?_____(m、n都是正整数，且m>n）2． mn m(a)?_____(m、n都是正整数） (ab)?_____(m是正整数）mnmn a?____(a?0)0，a?p?____(a?0,p是正整数)

m(a?b?c)?______，

(m?n)(a?b)?__________

(am?bm?cm)?m?_________ (a?b)(a?b)?__________

(a?b)?_________ (a?b)?______ ___223．整式的混合运算顺序：先________、后________、再________、有括号先____________. 二、判断：

211．3a2b和?ab2是同类项。（） 2．单项式?4xy的系数是?4,次数是3。（）

4333．多项式5x3?2xy?3的次数是五次三项式。（） 4.

a??3b?c??a?3b?c ( )

223333225．（）多项式2xy?4xy?x?5y按x的降幂排列为x?5y?2xy?4xy。

三、选择： 1．某商场实行7.5折优惠销售，现售价为y元的商品的原价为（） A. 75?y 元 B. (1?75??y元 C .

14m?12n3y75? 元 D.

y1?75?元

若ab与?3ab是同类项,则m和n的值为（）2．

2A. 4和3 B. 2和3 C . 4 和2 D. 无法确定 3．下列各式计算过程正确的是（） A. x3?x2?x3?2?x5 B. x3?x2?x3?2?x6 C. x6?x2?x6?2?x3 D. x2???x???x2?3??x5

4．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（） A. ?3a?2b??2b?3a? B. ?4a?3bc??4a?3bc?

223C. ?2a?3b??2b?3a? D. ?3m?5??5?3m?

5. x?kxy?16y是完全平方式,则k的值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 4 或-4 D. 8或-8 Ⅱ. 【尝试】

例1．先化简，再求值：x?2?x?y????3x?y?,其中x??2,y??1。（答案：11）

2222例2．计算：??2ab????3ab232????ab3724?? ??分析：按整式混合运算的顺序：先乘方，同级运算从左往右依次进行。（答案：36b）提炼：在熟练掌握整式的运算法则和幂的运算性质基础上必须严格按照混合运算顺序逐步运算。

例3．计算：（1）（2）?4a?3b?2c??4a?3b?2c? ??2x?3y??2x?3y???x?4y??2?3x?5y?；

22分析：第（1）题根据混合运算法则先合理使用乘法公式，后进行整式的加减运算。

第（2）题先将原式转化为?4a??3b?2c???4a??3b?2c??的形式，后运用平方差公式将其化为16a2??3b?2c?的形式，最后利用完全平方公式计算即可。（答案见复习指

2导用书第11页）

提炼：根据乘法公式的特点将原题中的代数式变形为符合公式特点的形式是解此类题的关键。

例4．见《复习指导用书》第6页例2 分析：解决本题时学生往往着眼于分析表格中的数据的变化，应指导学生结合具体的图形观

察图形的形成规律，着重在摆成的平行四边形的两组对边与菱形和等腰梯形的边长之间的关系。

提炼：本例是一道探索题，首先给出了几个特殊的图形，然后根据这些特殊的图形的周长，

进行探索、归纳、猜想，得到一般图形的周长，体现了数学中常见的由一般到特殊、再由一般到特殊的思想方法以及数形结合思想。 Ⅲ. 【小结】

1．本单元的知识结构（见填空）。 2．本节课运用的数学思想方法：类比思想，一般到特殊、再由特殊到一般的思想方法和数形结

合思想等。

Ⅳ. 【实践】

1．教师自行设计作业。

2．复习指导用书第9页第3、7、8题和第12页第3题。

第4课时因式分解分式

复习教学目标

1、知道因式分解、分式的概念；能说出分式的基本性质。

2、会灵活应用四种方法进行因式分解；会利用分式基本性质进行约分和通分；会进行简单

的分式加、减、乘、除运算。

3、会逆用乘法公式、乘法法则验证因式分解；会用类比的方法得出分式的性质和运算法则；

会用作差法比较两个代数式值的大小。复习教学过程设计一、【唤醒】 1、填空题（1）因式分解的概念分式的概念因式分解分式的基本性质

分式因式分解的方法

分组分解法分式的运算十字相乘法

（因式分解方法的选择：一提、二用、三叉、四分组）

（2）因式分解中的公式有，，（3）分式的乘（除）法法则是，

分式的加（减）法法则是， 2、判断题

（1）等式3x2?6x2?4?3x2(x?2)?4从左到右的变形是分解因式（ 3 ）（2）只要分式的分子为零，则分式的值就为零（ 3 ）

2a（3）分式2?1有意义，则a≠±1 （ 3 ） a?13、选择题（1）若a?b?7,ab?10,则a2b?ab2的值应是（ C ）

A．7 B．10 C．70 D．17

（2）下列各式分解不正确的是（ C ） A、?x2?xy?xz??x(x?y?z)

322B、a?6ab?9ab?a?a?3b?

2C、4a?16??2a?4??2a?4?

2222222D、x?y?2yz?z?x?y?2yz?z??x?y?z??x?y?z?

??（3）分解因式:x?4x?12的结果是 ( C )

A、?x?3??x?4? B、?x?3??x?4? C、?x?2??x?6? D、?x?2??x?6?

（4）下列等式成立的是（ D ）

nn?aa?bA 2 B ?a?b?(a?0) 2mm?aa?b2C

na2yy D n?(a?0) ?mma2x?yx?yx1（ C ） ?等于

yxyxA 1 B xy C D

xy二、【尝试】

（5）化简x?x2?2x?1x?1?2?x的值，其中x=2006。例1有这样的一道题：“计算：”甲同2x?1x?x学把

“x?2006”错抄成“x?2060”，但他的计算结果也是正确的。你说这是怎么回事？

解原式=0 因为化简结果不含x，所以无论他抄什么值，结果都是正确的。

提炼：如果把x的值抄错，而不影响计算结果，这一类题的化简结果一定是一个常数，与x

的取值无关；

如果把x的值抄成它的相反数，而不影响计算结果，这一类题的化简结果一定是一个常数或者是

关于x偶次幂的代数式，与x的符号无关。例2 化简

xx4x1x2?2x?1x2?1???（1）（2）（）? x?2x?2x?2x?2x?2x?1解（1）原式=?x1 （2）原式= x?2x?2提炼：（1）解题时要注意分式的运算顺序，先乘除，再加减，有括号优先，其次能分解的多项式要分解因式，便于约分，结果一定要是最简分式。

（2）对于?a?b??c分配律仍适用，但c??a?b?不能用分配律。例3 已知：

3x?4AB，求整式A、B。 ??x?1x?2x?1x?2????分析：由于要求A、B，等式的左边是已知，右边是未知，可以从未知化到已知。故把等式

作恒等变形，得到等式左右两边分母相同，所以分子也相同，转化为关于A、B的一个二元一次方程组，再求解。解 A=1 B=2

提炼：本例是分式运算的逆向运用，两个代数式恒等，首先是化结构相同，其次是利用相同

项的系数也相同求未知量。

例4 甲、乙两人进行百米赛跑，甲前半程的速度为m米/秒，后半程的速度为n米/秒；乙

前半时的速度为m米/秒，后半时的速度为n米/秒。问：谁先到达终点？

分析：本题首先要用m、n的代数式表示甲、乙两人到达终点的时间t1、t2，比较t1、t2的

大小，可以转化为t1-t2与0比较解见复习指导用书第16页提炼：（1）比较两个代数式A、B的值的大小，通常可用作差的方法，当A-B﹥0，则A﹥B；

当A-B=0，则A=B；当A-B﹤0，则A﹤B。

（2）由于本例中没有指明m、n的大小，所以要分m=n与m≠n两种情况讨论。三、【小结】

1、带领学生回顾尝试中的填空题。

2、这节课复习因式分解的应用，化简分式。在化简分式时，注意的运算顺序和符号，防止

出错。其次比较两个代数式值的大小可以用作差法。四、【实践】

（1）教师自行设计作业（2）复习指导：14页第3题单数、17页3、4

第5课时一次方程分式方程一次方程组

复习教学目标

1、了解一次方程、分式方程、二元一次方程组的概念。知道方程组的解的含义。理解分式方程产生增根的原因。理解二元一次方程与一次函数的关系。说出解整式方程和分式方程的异同，

2、会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程。

3、运用化归思想，引导学生分析出解二元一次方程组的本质是消元。运用方程或方程组解

决实际问题复习教学过程设计

一、【唤醒】 1、填空：

一元一次方程

整式方程

方程

二元一次方程组一元二次方程

分式方程

解题方法：

解题步骤解法

图像法

方程（组）的应用

2、判断：

11（1）??1是一元一次方程（）

2x3（2）∵3x?2 ∴x?3 （） 2x?1x?1（3）∵?是方程2x?y=3的解∴方程2x?y=3的解是? （） ???y?1?y?13x?y?3（4）方程组?的解是一次函数y?3?3x与y?2x?1的图象的交点坐标（） ??2x?y?13、选择：

（1）关于的方程(m?1)x?2m?1?0是一元一次方程，则m为 ( ) A、m?1 B、m??1 C、m?1 D、m??1

2x?y?2（2）二元一次方程组?的解是 ( ) ???x?y?5x?1?x??1 C、?x??3 D、?x?3 A、? B、?????y?2?y?4?y?6?y?2（3）已知是x??2方程2x?m?4?0的一个根，则m的值是（） A、 8 B、—8 C、0 D、2

ax?by?4x?2（4）已知方程组?的解是?，则a?b的值为（） ???bx?ay?5?y?1A、3 B、0 C、?1 D、1

二、【尝试】：例1：解方程：（1）

x?12x?3x?14??1 （2） ?2?1 34x?1x?1解：略答案：（1）x??12.5 （2）x?1是增根，原方程无解

提炼：解分式方程与整式方程的方法相似，容易出现错误的地方一是去分母时漏乘整式项及

分子是多项式忘记添括号，二是忘记检验求得的整式方程的解是不是分式方程的根；例2：解方程组

（1）??2x?y?4 （2）3x?2y?5y?12x??3

?3x?2y?13?x?1x?3解略答案（1）? （2） ???y??3?y??2提炼：解二元一次方程组应先观察方程中相同未知数的系数的特征，如果一个未知数的系数

绝对值为1，一般选用代入法，若相同未知数系数绝对值相等，一般用加减法。例3：在一次慈善捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信

息：信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元；信息二：乙班平均每人捐款钱数

是甲班平均每人捐款钱数的

4倍；信息三：甲班比乙班多2人.请你根据以上三条信息，5求出甲班平均每人捐款多少元？

解略答案 5元

提炼：列方程解应用题的步骤是一“审”二“设”三“列”四“解”五“答”。在审题过程中，

要找出等

量关系，设元的方法有两种（直接设元法和间接设元法），列是根据等量关系列出相应

的方程（组），

在解方程时，还要考虑方程的解是否要检验、是否符合实际意义，最后写上答案例4：（1）、阅读下列表格，求出表中关于x的方程的解。

（2）、通过阅读上述表格，你能解关于x的方程方程的解方程 111x??c? x1?c,x2? 22xcc?c? x? 吗？ x?1c?1111x??c? x1?c,x2?? 分析：仔细阅读表格，比较以后不难发现方xcc程的相似之处。方程左右两边形式完全相222 x??c?x1?c,x2?同，只是把其中的未知数换成了某个常数，xcc那么这样的方程可直接得解，因此我们只要333 x??c?x1?c,x2?xcc把x?2?c?2换成这种形式即可。

x?1c?144x??c? x1?__,x2?__ xc解：∵x?1?2?c?1?2

x?1c?1mmx??c?(m?0) x1?__,x2?__ 2xcx?1?c?1 ?或 x?1?c?1

?x1?c,x2?c?1 c?1 经检验x1?c,x2?c?1是原方程的解。

c?1提炼：观察、比较、归纳、猜测是解数学题的重要能力，仔细观察方程结构，将要解的方程

化为材料中的方程的形式，体会类比思想。三、【小结】

1、知识结构：见填空。2、基本数学思想：化归思想、类比思想、数形结合思想。四、【实践】

1、教师自行设计作业。2、复习指导用书：第21页3、24页15、31页9、10、12题。

第6课时一元二次方程

复习教学目标

1、知道一元二次方程及其相关概念；了解求方程近似解的方法；能说出列方程解应用题的

步骤。

2、会灵活应用方程解法解简单的一元二次方程。

3、会利用一元二次方程知识解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合

理性及分类思想。通过复习方程解法，进一步体会转化思想。复习教学过程设计一、【唤醒】

近似解直接开方法 1、填空题

精确解一元二次方程

应用（注意验证解的合理性）

2、判断题

22（1）关于x的方程k?1x?kx?5?0是一元二次方程，则 k??1且k?0 （ 3 ）

??（2）把一元二次方程(2x?1)2?3x?7化成一般形式是(2x?1)2?3x?7?0 （ 3 ）

2（3）方程x?6x?5?0的左边配成完全平方后所得方程为?x?3??4 （ 3 ）

23、选择题

（1）方程x?5x?7根的情况是（ B ）

A、有两个相等实根 B、有两个不等实根 C、没有实根 D、无法确定

1（2）若一元二次方程x2?x??0两个实数根x1、x2，则 1?1的值是（ A ）

2x1x2 A、?2 B、?2211 C、 D、2 22（3）关于x的一元二次方程x?kx?7?0的一个根为x1?1，另一根为x2，则有（ A ）

A、k??6,x2??7 B、k?6,x2?7 C、k??6,x2?7 D、k?6,x2??7

x2?3x?2?0，（4）已知则x的值为（ C ） 2x?1A、1 B、1或2 C、2 D、5 二、【尝试】

例1 用适当方法解下列方程：

（1）

1222?2x?1??8?0 （2）9?x?3??4?x?2??0 2（3）?2y?3?21y （4）x2?22x?4?0 2分析：结合方程特点，四道题的解法依次是直接开方法、分解因式法、公式法、配方法。解略答案见复习指导用书第26页

提炼：形如ax?c?0的方程，选择用直接开方法；形如x?bx?c?0的方程，左边可

以因式分解，选择用因式分解法；形如x?bx?c?0的方程，如果一次项系数是偶数，可以选择用配方法；否则用公式法。

例2 去年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税.某乡镇去年人均上缴农

业税25元，预计明年人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同. （1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，今年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民今年减少多少农业税.

分析：例题第（1）小题跨度3年，去年、今年、明年，用列表法分析，设降低的百分率是x，

去年是25元，用x表示今年是25?1?x?，明年是25?1?x?，然后根据等量关系列出方程，解出x的值；第（2）（3）、题已知x的值，分别求代数式25x?4222225x?16000的值；

解略答案（1）20% （2） 20元（3）80000元

提炼：运用数学知识解决社会热点问题和实际生活中的问题，关键是理解题意，将实际问

题转化为数学问题。其次本例中的百分率是一个小于1的正数。例3 有一根长为68cm的铝丝，把它剪成32cm和36cm的两段，用32cm的一段弯成一个矩

形，36cm的一段弯成一个有一条边是10cm等腰三角形。请问：能否使弯成的矩形与等腰三角形的面积相等？若不能，请说明原因；若能，请求出矩形的边长。解略解法参照复习指导用书第35页提炼：（1）例题是一道几何背景面积相等的应用题，包含的知识点有矩形、三角形的周长、

面积，等腰三角形的三线合一、勾股定理以及方程的解法。

（2）三角形一边长是5cm，这一边是腰还是底边不清楚，所以必须分类讨论。例4 阅读下列材料，并回答问题：

解方程x?6x?5?0，这是一个一元四次方程，根据该方程特点，它的通常解法是：设x2?y，则原方程变为y2?6y?5?0 ①，解这个方程，得y1?1,y2?5。当

42y1?1时，x??1；当y2?5时，x??5。所以原方程有四个根

x1?1,x2??1,x3?5,x4??5

（1）在由原方程到方程①的过程中，利用了达到了的目的。（2）利用上述方法解方程：x?x?2?2?4?x2?x??12?0

分析：阅读材料，体会换元法解高次方程的方法，设辅助未知量，把方程降次，再解一元二次方程。

解（1）换元法降次（2）设x?x?y，则原方程变为y?4y?12?0，解这

22个方程，得y1?6,y2??2。当y1?6时，即x?x?6?0解得x1?3,x2??2；当

2y2??2时，即x2?x??2，?b2?4ac??7＜0 ∴此方程无解。所以原方程有两个

根x1?3,x2??2

提炼：阅读材料，理解解高次方程的一般思路：换元降次，化高次方程为低次方程，体会化归思想。三、【小结】

3、带领学生回顾尝试中的填空题。

4、本课运用的数学方法有分类思想、化归思想。四、【实践】

（1）教师自行设计作业（2）复习指导：28页11、14，38页20

第7课一元一次不等式（组）

复习教学目标：

1、能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，能说出不等式的基本性质，知道不等

式（组）的解及解集的含义。

2、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次

不等式（组），并能在数轴上确定其解集。

3、能运用类比思想比较一元一次不等式和一元一次方程在解法上的异同点，初步体会数形

结合思想，并能运用数形结合的方法解决与不等式（组）的解集相关的问题。复习教学过程设计： Ⅰ．【唤醒】

一、填空：解集

不等式不等式的基本性质解不等式数轴表示

解集

知识结构（阅读）：实际背景一元一次不等式解法数轴表示

解集

一元一次不等式组解法数轴表示

1．不等式基本性质：（1）_________________ (2)______________ (3)_______________ 2．不等式的解集在数轴上的表示方法：大于向____画，小于向____画，有等号画____,无等号画______.

3. 解一元一次不等式的一般步骤：（1）______（2）______（3）_____（4）____（5）_____. 4．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集一般有四种类型：

x?a（1）?(a?b)其解集为_____ ,简记为“同大取______”. ??x?b?x?a（2）?(a?b)其解集为______ ,简记为“同小取______”.

?x?bx?a（3）?(a?b)其解集为______, 简记为“大小小大取_____”. ??x?bx?a（4）?(a?b)其解集为_______, 简记为“大大小小_____”. ??x?b二、判断：

1．由2a?3得a?3 （） 22. 由2?a?0得2?a （） 3. 由a?b得a?m?b?m （） 4. ?11??1得?a??a （）

225. x?2是不等式3x?6的一个解（）

6. 满足不等式?3?x?5的整数解有7个. （）三、选择： 1．已知a?b，则下列变形中错误的是 ( ) A. a?2?b?2 B. ?3a??3b C.

ab? D. 1?a?1?b 22

2. 不等式?1x?3的解集是 ( )

3A. x??9 B. x??9 C. x??1 D. x??1

3. 不等式19?3x?4的非负整数解的个数为（） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 无数个 4．不等式?a?2?x?3的解集为x?3，则a的取值范围为（） a?2 A. a??2 B. a??2 C. a??2 D. a??2 Ⅱ. 【尝试】例2．解不等式

x?63?x?32?4，并把它的解集在数轴上表示出来。

解略。（答案：x??3）

?x??x?2??4?例3．解不等式组?1?2x，并求出其整数解。

?1?x??4分析：解一元一次不等式组既不能用代入法也不能用加减法，而是分别求出不等式组中的每

个不等式的解集，然后利用数轴找出它们解集的公共部分，即不等式组的解集，熟练以后也可以利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”简捷地确定不等式组的解集。最后结合数轴用列举法确定符合条件的特殊解。解略。（答案：1?x?32，整数解为1）

提炼：用数形结合的思想方法，根据不等式组的解集的概念结合数轴正确确定不等式组的解集及特殊解。

?x?8?4x?1例4．若不等式组?的解集为x?3，求m的取值范围。

x?m?分析：首先将不等式组化为??x?3，再利用数轴或依据不等式“同大取大”的方法可知m?3。

?x?m提炼：利用不等式组的解集来确定字母的取值范围，往往需要逆用不等式组的解集，有时需

借助数轴或讨论等手段来解决问题。

例5．阅读第（1）题的解法，解答第（2）题。

（1）解不等式x?2?3

解：① 当x?2?0即x?2时，x?2?3，所以x?5。

② 当x?2?0即x?2时，x?2??3，所以x??1。综上所述，原不等式的解集为x?5或x??1。

2（2）根据以上解法和不等式的性质“若a?b，则a?b”解不等式(x?1)?4?0。

22分析：阅读第（1）题理解其解题方法：根据绝对值的概念先化简绝对值，再解一元一次不等式。

解略（答案：x?3或x??1）

提炼：运用绝对值的概念化简绝对值，将含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，体会分类思想。 Ⅲ.【小结】：

1.本单元知识结构（见填空第1题）

2．本节课运用的数学思想方法：类比思想、数形结合思想、分类思想等。 Ⅳ.【实践】

1.教师自行设计作业。

2.复习指导用书第34页第1、3题。

第8课时不等式（组）的应用

复习教学目标：

1．初步认识一元一次不等式（组）的应用价值，知道在一定条件下的实际问题可以抽象为

不等式（组）的问题，并认识到实际问题对不等式（组）的解集的影响，知道一元一次不等式与一次函数有密切的关系。

2．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），通过解一元一次不等式（组）

解决简单的实际问题，并能根据具体问题检查结果是否合理，能通过解一元一次不等式解决简单的一次函数问题。

3．类比列方程（组）解应用题的方法经历列一元一次不等式（组）解实际问题的建模过程，

体会转化思想，通过解一元一次不等式解决函数问题体会数形结合思想和分类思想。复习教学过程： Ⅰ.【唤醒】一、填空：

列一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤类似于列方程组解应用题的一般步骤，可分为

（1）_________（2）根据不等关系列不等式(组)（3）____________(4)__________(5)___________. 二、判断：

1．一个两位数，十位数字与个位数字的和为6，若这两个两位数不大于42，若设此两位数

的个位数字为x，则不等式可列为（6-x）+x≤42。 ( ) 2．某商店将一个进价80元，标价为120元的商品打折销售，要使得利润率不低于5％，最

多可打几折？若设可打x折，则不等式可列为120x-80≥8035％. ( ) 三、选择：

1．使代数式4x?的值不大于3x?5的值的x的最大整数值为（）

23A. 7 B. 6 C. 4 D. 不存在 2．长度为3cm、7cm、则x的取值范围为（） xcm的三条线段要能围成一个三角形，

A. x＜10 B. x＞4 C. 4＜x＜10 D. 无法确定

3．小新准备用20元钱买钢笔和笔记本，钢笔每支3元，笔记本每本2元，他买了3本笔记本，则他最多还可以买钢笔（） A. 6支 B. 5支 C. 4支 D. 3支 Ⅱ.【尝试】

例1．某校校长暑期将带领该校市级三好学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票

一张，则其余学生可享受半价优惠。”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠（即按全票价的60％收费）。”若全票价为240元。（1）设学生数为x名，甲旅行社收费为y1元,乙旅行社的收费为y2元，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）。

（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？（3）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。

分析：根据两家旅行社的收费情况构建出一次函数的模型，再根据题意列出不等式求解。也

可以画出两个一次函数的图象，通过观察图象比较哪家旅行社更优惠。

解答过程见复习指导用书第33页。

提炼：在讨论哪家旅行社更优惠时，不能只选特殊的数据代入选择，而要分类讨论。本题主

要反映了函数和不等式的关系。本题运用的数学思想方法有分类思想、数形结合思想等等。

例2．幼儿园将若干件玩具分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件；如果每人分5

件，那么最后一人还少几件，该幼儿园有多少件玩具？有多少个小朋友？

分析：设幼儿园有x个小朋友，由每人分3件，那么还余59件可知：共有玩具数（3x+59）件。

由每人分5件，则最后一人还少几件可知：

（1）x个小朋友每人分5件时玩具数不够，即需要的玩具数>现有的玩具数。

则不等式可列为3x+59＞5（x-1）。（2）（x-1）个小朋友每人分5件时玩具数有剩余，即需要的玩具数<现有的玩具数。

则不等式可列为3x+59＜5x。（解答过程见复习指导用书第33页。）

提炼：列不等式组解应用题的步骤与列方程组解应用题的步骤类似，不同的是后者寻求的是

等量关系，列出的是等式；前者寻求的是不等关系，列出的是不等式，并且解不等式组所得的结果通常是一解集，需要从解集中找出符合题意的答案。

例3．某厂用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两

种原料的价格如下表：原料维生素及价格维生素C/（单位/千克）原料价格/（元/千克）甲种原料 600 8 乙种原料 100 4 现配制这种饮料10千克。 ? 如果要求饮料至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料x（千克）应满足的不等式。

? 在?的条件下，如果还要求购买甲、乙两种原料的费用低于72元，那么应在什么范围内购买甲种原料？

分析：① 由“用甲、乙两种原料配制成某种饮料，现配制这种饮料10千克。”可知：现所需甲

种原料为x千克，则所需乙种原料为（10-x）千克。x千克甲种原料中维生素C的含量为600x千克，（10-x）千克乙种原料中维生素C的含量为100（10-x）千克，由题意得：可得：600x+100（10-x）≥4200。 ② x千克甲种原料的价格为8x元，（10-x）千克乙种原料的价格为4（10-x）元，则购买甲、乙两种原料的费用为：8x+4(10-x)元，由题意得：8x+4(10-x)＜72.

?600x+100(10-x)?4200从而建立不等式组?。此不等式组的解集为6.4≤x＜8.

8x+4(10-x)<72?提炼：本题为调配问题。

例4．认真阅读对话：

小明：“阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶。”（递上10元钱）售货员：“小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是多的，但要再买一袋牛奶就不够了。今天是儿童节，我给你的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱。” 请你根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价是多少元（注：饼干的标价是整数元）？分析：设饼干的标价为x元。由“本来你用10元买一盒饼干是多的”可建立不等式x＜10；由

“我给你的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱”可知牛奶的标价为

（10-0.8-90％x）元，由“本来你用10元钱买一盒饼干是多的，但再买一袋牛奶就不够了”建立不等式：x+(10-0.8-90％x)＞10,

从而列出不等式组，再由“饼干的标价是整数元”在不等式组的解集中找出整数解。解略。（答案：饼干的标价为9元，牛奶的标价为1.1元）

提炼：列不等式（组）解应用题的关键是寻找不等关系，再由不等关系列出不等式（组），

因此要善于挖掘题中隐含的不等关系。 Ⅲ. 【小结】

1．列不等式（组）解实际问题的一般步骤（见填空）

2．本节课运用的数学思想方法有数形结合思想、类比思想、转化思想、分类思想等。 Ⅳ. 【实践】

1．教师自行设计作业。

复习指导用书第34页第18、19、20题。

第9课时函数概念、一次函数

复习教学目标

1、能根据具体问题中的数量关系和变化规律了解函数、一次函数的意义。能说出函数的三种表示方法、一次函数的基本性质，知道函数图象的画法。

2、能画简单的一次函数图象，并根据已知条件确定一次函数的表达式。

3、能运用类比思想比较函数、一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化规律进行初步预测。复习教学过程设计 1、【唤醒】一、填空

（1）写出下列函数中自变量x的取值范围。y?1 ，y?x?2x?2 ，x?2（2）已知y?1与x成正比例，且x??2时，y?4，那么y与x之间的函数关系式为_________________。

（3）直线y??1x?1与x轴的交点坐标为（_______），与y轴的交点坐标为（_______）。

2y?1 。

（4）根据下列一次函数y=kx+b(k≠0)的草图回答出各图中k、b的符号：

二、选择

（1）下列函数中，表示一次函数的是 ( )

3xkA、y?3x2?2 B、y??(k?0) C、y??2x?3 D、y?

2x?12x5（2）已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图

象是( )

2、【尝试】

例1、已知一次函数的图象经过点A(?1,6)、B(1,2)，（1）求函数解析式；（2）画出函数图象；（3）函数的图象经过那些象限？（4）当x增大时，y的值如何？

解略（答案：y??2x?4，图略，图象经过一、二、四象限，y随x增大而减小）例2、已知一次函数y?(m?2)x?(3?n) （1）当m、n取何值时，y随x的增大而增大？

（2）当m、n取何值时，直线与y轴的交点在y轴的下半轴？（3）当m、n取何值时，直线经过一、二、四象限？分析：（1）一次函数y?kx?b(k?0)的性质：当k?0时，y随x的增大而增大；（2）直线

（3）当k?0且b?0一次函数的图象经过一、y?kx?b(k?0)与y轴的交点坐标为(0,b)；

二、四象限。解略（答案：（1）m??2，n为一切实数；（2）m??2且n?3；（3）m??2且n?3）提炼：利用逆向思维的方法，根据一次函数的性质，体会逆向思维和定向思维的异同。例3、已知：函数y=(m+1)x+2m﹣6 （1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式。

（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式。

（3）求满足（2）条件的直线与此同时y=﹣3x+1的交点并求这两条直线与y轴所围成的三角形面积。分析：（1）利用函数的表达式与点的坐标的关系；（2）一次函数图象平行，表达式之间的关系；（3）利用点的坐标求线段的长，确定三角形的底和高求三角形的面积。解：（1）由题意:2=﹣(m+1)+2m﹣6 解得 m=9 ∴ y=10x+12

(2) 由题意，m+1=2 解得 m=1 ∴ y =2x﹣4

(3) 由题意得解得: x=1,y=﹣2 ∴ 这两直线的交点是（1，﹣2）

y?2x?4 y??3x?1y=2x﹣4与y轴交于(0,-4) y=﹣3x+1与y轴交于(0,1) ∴S△=

5提炼：利用数形结合的思想方法，根据函数的性质结合图形确定函数2的解析式及三角形的面积。

例4、如图，l甲、l乙两条直线分别表示甲走路与乙骑车（在同一条路上）

行走的路程S与时间t的关系，根据此图，回答下列问题：1）乙出发时，与甲相距10km；2）行走一段时间后，乙的自行车发生故障停下来修理，修车时间为1h； 3）乙从出发起，经过2.5h与甲相遇；4）甲的速度为5km/h,乙的速度为15km/h；5）甲行走的路程s(千米)与时间t(小时)之间的函数关系式是s=5t+10(t≥0)；6)在0h2.5h甲走在乙的后面；

7)如果乙的自行车不出故障，则乙出发后经过1h与甲相遇,相遇后离乙的出发点15km；在0h1h范围内甲走在乙的后面；并在图中标出其相遇点。(相遇点为A)

提炼：运用函数的图象及性质解决实际问题，并对某些实际问题进行比较、预测，体会生活中的数学。 3、【小结】

（1）本单元知识结构（见唤醒阅读）

（2）本节课运用的数学思想方法：类比思想、数形结合思想、猜想。 4、【实践】

（1）教师自行设计作业。（2）复习指导用书第48页第11题，第53页第12、13题。

第10课时反比例函数

复习教学目标:

1. 结合具体情景体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达

式.

2. 会画反比例函数的图象,并能根据图象探索并理解反比例函数的性质,进一步提

高从函数图象中获取信息的能力.

3. 会用反比例函数解决某些实际问题,逐步形成用函数观点处理问题的意识,体验

数形结合的思想方法.

复习教学过程设计: Ⅰ【唤醒】一、填空

1、在式子（1）3xy?1 （2）y?3x?1 （3）y?哪些是反比例函数 2、反比例函数y?称图形 3、函数y?1其图象位于第象限，在其图象所在象限内，y随着x的增大xk（k不为0）的图象既是对称图形，又是对x13 （4）y?3x?1（5）y? 中

2xx?3而，当x?0时，y 0 4、函数y??7的图象位于第象限，在其图象所在象限内，y随着x的增100x大而当x＜0时，y 0 5、反比例函数的图象经过点（2，3），则点（-2，-3）该函数图象上（填“在” 或“不在”）二、选择

1、如果反比例函数 y?A、6 B 、?k 的图象经过点 P（-3，2），那么k的值是（） x32 C、? D、-6 232、已知P（-6，3）在函数的图象上，那么下列的点不在该函数的图象上的是（）

11A、（-3，6） B、（，-54） C、（3，-54） D、（-4 ，4）

233、若函数 y?k?3 的图象位于第一，三象限内，则k的取值范围（） xA、k＞3 B、k ＜3 C、k＞0 D、k＜0

14、点（-2，y1）、（-1，y2）、（1，y3）都在反比例函数y?? 的图象上，则下列关系

x式成立的是（）

A、y1＞y2＞y3 B、y1＜y2＜y3 C、y3 ＞y1＞ y2 D、 y1＞ y3＞ y2

25、如图 y?? 的图象上有三点 A、B、C，过三点分别作坐标

x轴的垂线，分别得到矩形A1AA2O，矩形B1BB2O ，矩形C1CC2O，设这三个矩形的面积分别为 S1、 S2、S3则三者的大小关系（） A、S1＞S2 ＞ S3 B、S1＜S2 ＜S3 C、S1 = S2=S3 D、不能确定 Ⅱ【尝试】

例题1、已知反比例函数的图象过（1，2），求这个函数的解析式，并画出函数的图象。

解略（答案：y?2 ） x3

例题2、一蓄水池的排水管每小时排水10M，6h可将满池的水全部排空，如果将排水管每小

时的排水量改为Qm，排空水池的水所需要的时间为t h。 (1) 写出t与Q间的函数关系式，并画出草图。

(2) 若要将满池的水在4小时内排空，那么每小时的排水量Q至少为多少？

(3) 如果每小时的排水量为4m，那么将满池水排空需要多长的时间？解略（答案（1）Q?603

图象位于第一象限（2） Q至少要15 m （3）t=15h） t提炼：把实际问题抽象成数学知识，分析变量之间的关系，建立反比例函数模型，解决问题。注意实际问题中变量的取值要符合实际。例题3，反比例函数y1??8与一次函数y2??x?2的图象交于 A，Bx两点，

（1）求 A，B两点的坐标，（2）求三角形AOB的面积（3）当 x取何值时，y1>y2

分析：将问题转化成求?x?2x?8?0 的解，即求出点的横坐标。利用分割法求三角形的面积。（答案 A（-2，4） B（4，-2）三角形 AOB的面积为6 当?2?x?0 或x?4时， y1>y2 ）

提炼：利用数形结合的思想，体会图象的交点坐标与一元二次方程的解的关系。

例题4、已知反比例函数y?k的图象过（-1，2），直线y?x?b经过第一，三，四象限，若xk的图象只有一个公共点，求b的值。 x22直线y?x?b与反比例函数y?分析：把点的坐标代入函数表达式求k的值，把问题转化成一元二次方程 x?bx?2?0求有两个相同根的情况，并结合一次函数图象特点求b的值。（答案：b??22）提炼：利用数形结合思想，体会函数图象的交点个数与一元二次方程根的个数的关系。 Ⅲ【小结】

1、本单元知识结构

反比例函数图象和性质反比例函数的应用

2、本节课运用的数学思想方法：数形结合思想 Ⅳ【实践】

1、教师自行设计作业

复习指导用书P58 19 、20

第11课二次函数

复习教学目标

1．根据具体情境分析和建立两个变量之间的二次函数关系，能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。

2．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。

3．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，并能利用二次函数的相关知识解决实际问题。

复习教学过程设计 Ⅰ.【唤醒】一、填空

二次函数的知识结构(阅读)

??实际问题情境???二次函数所描述的关系?二次函数的定义?用多种方式表示?????y?x2,y??x2??????y?ax2,y?ax2?c二次函数?二次函数的图象???y?a(x?h)2?k,y?ax2?bx?c??

???二次函数的对称轴和顶点坐标公式??一元二次方程和二次函数的关系?一元二次方程和二次函数???利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根???1．函数y?(m?2)xm?2，当m_____时，该函数是二次函数；当m_____时，该函数是一次函数。

2．抛物线y＝2x＋1的顶点坐标是______，对称轴是，当x＝时，函

数取得最 ___值为；二次函数y＝2x－8x＋1的顶点坐标是______,对称轴是

___________,它的图象是由函数y＝2x＋1沿着____轴向____平移______个单位，然后再沿着____轴向____平移______个单位得到。

二、判断下列函数表达式中哪能些是二次函数（是二次函数打“√”若不是则打“3”）。

（1）y＝3x－2 ( ) (2)y＝2x－3x （）

（3）y＝1－2x ( ) (4) y＝x2?2 ( )

2（5）y＝

1?3 ( ) (6) y?ax2?bx?c( ) 2x三、选择

1．二次函数y＝ax，当a<0时，y的值恒小于0，则自变量x的取值范围（）。 A. x可取一切实数 B. x>0 C. x<0 D. x≠0

2．抛物线y＝2x＋x－3与x轴两个交点间的距离为（）。 A. 2.5 B. －0.5 C. 0.5 D. －2.5

3．有一个二次函数，它的图象经过（1，0）；图象的对称轴是x=2；并且它的顶点与x轴的距离是4，则该函数的表达式是（）

A．y??4(x?2)2?4 B.y?4(x?2)2?4

C.y?4(x?2)2?4 D. y??4(x?2)2?4或y?4(x?2)2?4 Ⅱ. 【尝试】

例1.已知二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过（1，0）与（2，5）两点 (1) 求这个二次函数的解析式

(2) 作出该函数的图象，并根据图象回答下列问题：

① 函数的对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标

② 当x取何值时，y>0，当x取何值时，y随x的增大而减小？解略（答案： y＝x＋2x－3）

提炼：用待定系数法求二次函数解析式，用描点法作出图象，根据图象解决二次函数的一些基本性质。

例2.函数y＝ax－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值和交点坐标，求a的值和交点坐标。

1．解略（答案： 0，（－1，0）；1，（－1，0）；9，（ 1，0））

332

提炼：解决函数问题时，先要注意对函数中首项系数a的讨论，然后若有二次函数与x轴交点的关系，则需利用到二次函数与一元二次方程的关系，利用一元二次方程的根的判别式来解决。

例3.阅读下面的文字后，解答问题：

有这样一道题目：“已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过点A（0，a），B（1，－2），。求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x＝2。”题目中的矩形部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的表达式？若能，写出求解过程；若不能，说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整，并把你所补充的条件填写在原题中的矩形框内。

解略（答案：（1）y＝x－4x＋1，（2）答案不惟一，如填“C（0，1）”或“顶点纵坐标为“－3”等）

提炼：学生自己编题，有助于学生加深对题意的理解。另外，解决此类问题，是从题目中的结论到已知条件，有利于训练学生的逆向思维。

例4.阅读如下材料，运用材料中的知识解决问题

材料：一元二次方程，ax＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1、x2，根与系数有如下关系：

cbx1＋x2＝－，x1、x2＝，这个关系称为韦达定理。

aa问题：二次函数y＝－x－(m－3)x＋2(m－1)的图象与x轴交于A，B两点（点A在原

点O的左侧，点B在O的右侧），且x1 〈 x2，也y轴交于点c，线OA与OB的长的乘积等于

8，求抛物线的顶点P及点C的坐标。

解略（答案： P（－1，9）， C（0，8））

提炼：应用韦达定理解决二次函数问题，可以将二次函数的问题转化为一元二次方程来解决，体会方程与函数的关系。

Ⅲ. 【小结】

1．本单元知识结构（见填空第1题）。

2．本节课运用的数学思想方法：类比思想、数形结合思想、分类思想等。 Ⅳ. 【实践】

1、师自行设计作业。2、复习指导用书P61—63。

第13课时平行线、三角形与证明

复习教学目标：

1、知道补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念，能根据图形或数量关系

判断两个角之间的关系，知道三角形三边之间的关系、三角形的内角和定理及三角形的内角、外角、中线、高、角平分线等概念；知道平行线的概念及性质及两直线平行的条件；知道全等三角形的概念、性质及三角形全等的条件；知道角平分线、线段垂直平分线的概念及性质。

2、会求一个角的补角、余角，并能利用补角、余角的性质计算或证明；会根据三角形的有

关概念计算或证明；会利用平行线的性质计算或证明；会利用全等三角形的概念性质及两个全等三角形全等的条件等解决问题，会利用角平分线及线段垂直平分线的概念、性质解决问题。

3、能综合应用所学知识解决问题. 复习教学过程设计：一、【唤醒】 1、填空：

（1）如图，AB∥CD，∠1＝38°，则∠2＝ ∠3＝

∠4＝

（2）△ABC中，AB＝3 BC＝5，则AC的取值范围是

（3）△ABC中，∠A＝30° ∠B－∠C＝20°，则∠B＝ ∠C＝（4）添加条件，使线段满足题意：

①、，AD为△ABC的中线 ②、，BE为△ABC的高 ③、，CF为△ABC的角平分线（5）已知，OP平分∠AOB，D为OP上一点，DE⊥OA于E， DF⊥OB于F，OD＝5，DE＝3，则DF＝ OF＝若连接EF，则OD与EF的关系是 2、判断

（1）若∠A与∠B是同旁内角，则∠A+∠B=180° （）（2）若∠α与∠β是互为余角，则∠α+∠β=180° （）（3）若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角（）（4）若两个三角形有两条边及一个角对应相等，则这两个三角形全等（） 3、选择

（1）如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B＋∠C的度数是（）（A）135° （B）115° （C）65° （D）35° （2）如图，D、E分别为△ABC的中点，BC＝8 ∠A=41°，

∠B=48°则下列结论正确的是（）（A）DE=4，∠AED=41°（B）DE=4，∠AED =81° （C）DE=4，∠AED=48°（D）DE=4，∠ADE=48°

（3）一个角的补角与它的余角的和比这个角的2倍少30°，则这个角等于（）（A）30° （B）45° （C）60° （D）75° 二、【尝试】

例1．已知：直线a∥b，A、B为直线a上两点（点A在B的左边），C、D为直线b上两点（点C在点D的左边），AB=CD，画出图形，并连接AD、BC，设交点为O，写出图中所有的全等三角形，并选一对加以证明。

分析：首先按题意画出符合要求的图形，由a‖b、AB=CD得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行线的性质得到相等的角，再根据三角形全等的条件得到答案。

解略（答案：△ABD≌△DCA △ABC≌△DCB △AOB≌△DOC △AOC≌△DOB）提炼：本题考查平行线的性质及三角形全等的条件，并且涉及读句画图等知识。

例2．例1中，若其他条件不变，把“AB=CD”该为“AC=BD”，则上述所得结论都还一定成立吗？写出仍能成立的，若有不能成立的，画图说明。

分析：先按题意画出符合要求的图形，并考虑情况的多样性，进一步应用三角形全等的条件。

解略（答案：△ABD≌△DCA 、△ABC≌△DCB 、△AOC≌△DOB，其中△AOB≌△DOC

不一定成立）

提炼：本题主要说明“SSA”不能说明三角形全等，同时考虑情况的多样性。

例3．如图，△ABC，△EDC都是等腰直角三角形，且点C在AD上，AE的延长线与BD交于点F，请在图中找出一对全等三角形，并写出证明全等的过程。

分析：由等腰直角三角形的定义可得AC=BC，DC=EC，再由∠ACB=∠DCE可得△ACE≌△BCD 证明略

提炼：本题考查等腰三角形的定义及三角形全等的条件，也考查学生在复杂问题中寻找所需图形的能力

例4．如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点。（1）求证：AF⊥CD

（2）在你结论证明完毕后，还能得出什么新结论，请写出三个（不要证明）分析：连接AC、AD，AB=AE，∠ABC=∠ADE BC=ED得△ABC≌△AED，得AC=AD ，又F是CD的中点，所以AF⊥CD。证明略

提炼：本题考查学生由已知条件构造三角形，用三角形全等的条件得全等三角形，并考查等

腰三角形的性质。

三、【小结】：本节课主要复习了角与角在大小和位置上的关系，并复习了平行线的性质和条件，同时也复习了三角形全等的条件和性质，并能综合应用。

四、【实践】：1．教师自行设计2．复习指导P77 、 12 P79、6、8、10、13

第14课时特殊三角形

复习教学目标:

1、知道等腰三角形和等边三角形的性质和判定；了解直角三角形的概念；知道直角三角形

的性质和判定直角三角形的条件;能说出线段中垂线的性质.

2、会用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和证明；会用直角三角形的性质进行简单

计算；能写出一个命题的逆命题;会用勾股定理解决简单计算，并会用它的逆定理判定直角三角形；会用“HL”定理判定直角三角形全等。

3、能用分类讨论的思想解决等腰三角形中的有关计算、用转化的思想将不规则图形转化为

规则图形. 复习教学过程设计 Ⅰ、【唤醒】一、填空

性质:两腰相等、等边对等角、等腰三角形判定

+ 等边三角形性质

特殊三角形判定性质直角三角形判定

含30角的直角三角形的性质：

等腰直角三角形

直角三角形全等的特殊判定方法是：线段垂直平分线的性质: 二、判断

1、两底角相等的三角形是等腰三角形.( ) 2、等腰三角形一定不是钝角三角形.( )

3、等腰三角形中，有一个角是50°，那么它的底角必是65°.( ) 4、等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半.( )

5、如果原命题是假命题,那么它的逆命题一定是假命题.( ) 6、有两边对应相等的直角三角形是全等三角形.( ) 三、选择:

1、等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是6 cm，则它的周长是（） A、26 cm B、22 cm C、16 cm D、22 cm或26 cm 2、已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是（） A、4 B、5 C、7 D、5或7

3、如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，∠A=15°，若AD=4，

则BC= （） A、4 B、2 C、1 D、2

4、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为 ( ) A、75°或15° B、30°或60° C、75° D、30°

5、直角三角形斜边上的中线和面积分别是5 cm ，20 cm，则它的斜边上的高是（）

? A、3 cm B、4 cm C、5 cm D、2 Ⅱ、【尝试】例1:已知，在△ABC中，AB=AC，点M，N在BC上，且AM=AN，请你用最简便的方法说明BM=CN 。分析：作底边上的高，灵活运用“三线合一”性质证明：略

提炼：究竟作角平分线还是作高或中线，要依具体问题。

例2、已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求证:AB=AC

(提示:先用“HL”证△BDE≌△DFC,然后运用“等角对等边”得证) 证明：略

提炼:在直角三角形中会灵活运用“HL”定理

例3:如图，已知在△ABC中，AD、CE是高，且AE=3，BE=2，CE=4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，你能得到哪些正确结论？（分别从边、角、三角形相似三个角度去思考）

分析：首先从高和一些线段的长的角度去思考，由直角三角形中的边联想到运用勾股定理求出AC、AD、BC、DE，然后利用等腰三角形、直角三角形，三角形相似等有关知识逐步得到结论。

解：①AB=AC，②BD=CD=DE，③AD=BC，④∠ABC=∠ACB=∠BED，⑤∠BDE∠=BAC， ⑥∠BAD=∠CAD=∠BCE=∠CED，⑦∠ACE=∠ADE，⑧∠ACD+∠ AED=180°， ∠BAC+∠CDE=180°，⑨△BAD≌△CAD，⑩△BAD∽△BCE，⑾△CAD∽△BCE，⑿△BDE∽△BAC

提炼：注意仔细分析已知条件，思考哪些已知条件组合在一起可以产生新的结论及可能产生

的新的结论。

例4:如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，∠D=150°,CB⊥AB，

已知四边形ABCD的周长为16，求S四边形ABCD

分析：不规则图形往往转化为规则图形，若连接BD后，由AB=AD=4，∠A=60°容

易判断△BAD是等边三角形，并且得到△BDC是含30°角的直角三角形，那么S四边形ABCD=S △ABD+S△CBD，根据已知条件可算到CD+BC=8，然后根据2CD=BC可求出CD,BC。解：连接BD，则△BAD为等边三角形，∴AD= BD=4，∠ADB=60°，CD+BC=8 又∠ADC=150°，∴∠BDC=90°,∠DBC=30°

8168,BC=,BD=BC*cos30°=3

33311816∴S四边形ABCD= S △ABD+S△CBD=34323＋3433=43+

3223在Rt△BDC中可求得CD=

2833

提炼：运用“转化”的数学思想将不规则图形转化为规则图形，注意在等边三角形和直角三

角形中运用其性质灵活求解三角形的边长。

变式: 在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，∠D=150°,四边形ABCD的周长为16，又该

如何求S四边形ABCD?

分析:注意在直角三角形中常用勾股定理建立方程求边长。如:设CD=x，则BC=16-4-4-x=8-x

222222

在BDC中，有BC=BD+DC，即（8-x）=x+4，解得x=3。∴CD=3,BC=5.(略)

Ⅲ、【小结】