概率论与数理统计课后全本答案 盛聚版

浙大（高等教育出版社 盛骤 谢式千 潘承毅著）

第一章 概率论的基本概念

1.[一] 写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

n?100??o1S??,???n?nn?，n表小班人数

（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）

S={10，11，12，???，n，???}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 表示为：

ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)

（2）A，B都发生，而C不发生。 表示为：

ABC或AB－ABC或AB－C

（3）A，B，C中至少有一个发生 （4）A，B，C都发生， （5）A，B，C都不发生，

表示为：A+B+C

表示为：ABC

表示为：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生

相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为：AB?BC?AC。 （7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：A,B,C中至少有一个发生。故 表示为：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC

6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)

(*)

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A，B，C是三事件，且

P(AC)?P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?P(BC)?04，

18. 求A，B，C至少有一个发生的概率。

315??0?8 P(AC)+ P(ABC)= 48解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－

8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

∵ 从26个任选两个来排列，排法有

A262种。每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：55个

P(A)?55A262?∴

11130

9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2??9）

记A表“后四个数全不同”

∵ 后四个数的排法有104种，每种排法等可能。 后四个数全不同的排法有

A101044A104

P(A)??0.504∴

10.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

?10?3∵ 10人中任选3人为一组：选法有????种，且每种选法等可能。

?5?1???2又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有??

?5?1???1?2?P(A)??12?10??3???

∴

（2）求最大的号码为5的概率。

???种，且

?4?1???2每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有???10?3记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有?种

?4?1???1?2?P(B)??20?10??3???

11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。 取得4白3黑2红的取法有

49C10?C4?C332432

P(A)?C10?C4?C3C176?故

2522431

12.[八] 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A

?1500??200??种，每种取法等可能。 ∵ 在1500个产品中任取200个，取法有??400??1100??90??110????种 200个产品恰有90个次品，取法有??400??1100??90??110??????1500??200???P(A)?∴

（2）至少有2个次品的概率。 记：A表“至少有2个次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法

?1100??400??1100??200??1??199??????种 有种，200个产品含一个次品，取法有?∵

A?B0?B1且B0，B1互不相容。

?400??1100???1??199??????????1500????200?????? ???∴

??1100???200P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500???200???13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对”

?10??4?∵ 从10只中任取4只，取法有??种，每种取法等可能。

4?5??4??2??

要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

?P(A)?C5?2C10444?821813?2121

P(A)?1?P(A)?1?15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能

对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)

P(A1)?4?3?243?616

C3?4?32对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有

种。

(从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

C3?4?34322P(A2)??916

对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此

3个球，选法有4种)

P(A3)?443?116

16.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。 法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

3333对E：铆法有C50?C47?C44???C23种，每种装法等可能

对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔种

[C3?C47?C44???C23]?10C50?C47????C233333333C3?C47?C44??C233333〕×10

P(A)??1?0.000511960

法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

对E：铆法有

A503种，每种铆法等可能

对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，30”位置上。这种铆法有

A3?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A47327327327327种

P(A)?10?A3?A4730A50327?1?0.000511960

17.[十三] 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解一：

P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)??. 故有

P (AB)=P (A)－P (AB)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理，

P (A∪B)= P (A)+ P (B)－P (AB)=0.7+0.6－0.5=0.8

P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(A?B)?P(AB)P(A?B)?0.2?0.250.8于是

解二:P(AB)?P(A)P(B|A)????05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.50.7?57?P(B|A)?27　故　P(AB)?P(A)P(B|A)?1P(B|A?B)P(BA)定义P(BA?BB)5???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.515由已知

P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)432。

18.[十四]

解：由

11?P(A)P(B|A)定义P(AB)1143P(A|B)??由已知条件?????有??P(B)?P(B)P(B)2P(B)6

由乘法公式，得

P(AB)?P(A)P(B|A)?112

1111???46123

由加法公式，得

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每种结果（x, y）等可能。

P(A)?21?63}

A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故

P(A|B)?P(AB)P(B)方法二：（用公式

S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则

P(B)?662?12,P(AB)?266，

2P(A|B)?P(AB)P(B)?故

6162?21?63

20.[十六] 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：所求概率为P (ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (C|AB)

P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 从而P (ABC)= P (AB) · P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

C8C2P(A)?210?2845?0.62

法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。A 2P(A)?8A102?2845

法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?810?79?2845

（2）二只都是次品（记为事件B）

C22P(B)?法一：

2C10?145

P(B)?A22法二：

A102?145

211??10945

法三：

P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

P(C)?C8?C2C10211?法一：

1645

P(C)?(C8?C2)?A2A102112?法二：

1645

法三：

P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥288216???10910945

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?

（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，

A9?A2A10211P(D)??法二： 法三：

15

82211????1091095

P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?22.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

??H?A1?A1A2?A1A2A3　三种情况互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?110?910?19?910?89?18?310

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B)

?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2)

?1414313??????5545435

24.[十九] 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ ∴

B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)

nN?1mN??? =n?mN?M?1n?mN?M?1

[十九](2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。

C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，

D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)

C5C922??511?C4C922?711?C5?C4C9211?611?5399

26.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ

由已知条件知

P(A1)?P(A2)?1?P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25%2

由贝叶斯公式，有

1P(A1|B)?P(A1B)P(B)?P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)??5202100?1512521???2100210000

[二十二] 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为PP，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为2（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，

P(A2|A1)?P2

（1）B={至少有一次及格} 所以B?{两次均不及格}?A1A2

∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)]

?1?(1?P)(1?P2)?32P?12P2

P(A1A2)

（2）

定义P(A1A2)P(A2) （*）

由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2 由全概率公式，有

P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P2

?P?P?(1?P)?PP??22

2

P(A1|A2)?P22将以上两个结果代入（*）得

PP?22?2PP?1

28.[二十五] 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：

到家时间 乘地铁到 家的概率 乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有

P(A|C)?P(C|A)P(A)P(C)?0.5?0.450.459???0.6923110.6513P(C|A)?P(C|B)22

29.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱产品”

P(B1)?j=1,2，显然A1∪A2=S A1A2=φ

（1）

1101182?????0.42502305（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。

1109P(B2|B1)?P(B1B2)P(B1)?25049?251181723029?0.4857（2）

（先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解） 32.[二十六（2）] 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。

记Ai表第i个接点接通

记A表从L到R是构成通路的。

∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥

∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)

+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)

+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3

A4A5)

+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)

又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。 故

P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]

4 L 1 3 5 2 R +[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5

[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。

记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，

2 1 4

3 A表示系统正常。

∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥

∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)

= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4

(A1, A2, A3, A4独立)

34.[三十一] 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？

解：设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有

1rnr()??1m?n2m?nmP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)?m?1r()P(A)P(Br|A)mm?n2P(A|Br)???rm1rnP(Br)m?n?2()?m?n2m?n

（条件概率定义与乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机

∵

H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3H3?B2B2B3，三种情况互斥。 三种情况互斥

又 B1，B2，B2独立。 ∴

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6

?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3) ?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14

又因：

A=H1A+H2A+H3A

三种情况互斥

故由全概率公式，有

P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458

36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）

∵ B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B

三种情况互斥

由全概率公式，有 ∴

P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)

=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624

P(A1|B)?P(A2|B)?P(A3|B)?P(A1B)P(B)P(A2B)P(B)P(A3B)P(B)???P(A1)P(B|A1)P(B)P(B)P(A3)P(B|A3)P(B)???0.8?(0.98)0.86243?0.87313P(A2)P(B|A2)0.15?(0.9)0.86240.05?(0.1)0.8624?0.1268?0.00013

37.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）

解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。

再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有 P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α，

P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B

1?α发)=2

又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发)

α(2 =

1?α2)2，

α?(1?α3)2

同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率公式，得

3P(D)??P(Bi?12i)P(D|Bi)?p1a(1?α21?α3)?(P2?P3)α()22

由Bayes公式，得

P(B1)P(D|B1)P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =

2αP1P(D)

=

2αP1?(1?α)(P2?P3)

[二十九] 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。

解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。

（1）记C={至少有一只蓝球}

C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥 由概率有限可加性，得

P(C)?P(A1B1)?P(A1B2)?P(A1B3)?P(A2B1)?P(A3B1)独立性P(A1)P(B1)?P(A1)P(B2)?P(A1)P(B3)?P(A2)P(B1)?P(A3)P(B1)?32333422225??????????79797979799

（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥

P(D)?P(A1B3?P(A3B1)?P(A1)P(B3)?P(A3)P(B1)?342216????797963P(CD)P(C)P(D)P(C)1635

?(注意到CD?D)P(D|C)??（3）

,,555。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概C的电话的概率分别为111,244，设三人的行动相互独立，求 率分别为

[三十] A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，221

（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。

解：记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话 D1、D2、D3分别表示A，B，C外出 注意到C1、C2、C3独立，且

P(D1)?1,2P(C1)?P(C2)?14

2,5P(C3)?15

P(D2)?P(D3)?（1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3)

1111??? =24432

（2）记G=“被呼叫人在办公室”，G?C1D1?C2D2?C3D3三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式

P(G)?P(C1D1)?P(C2D2)?P(C3D3)?由于某人外出与?P(C1)P(D1|C1)?P(C2)P(D2|C2)?P(C3)P(D3|C3)??否和来电话无关21231313?????????故P(D|C)?P(Dkkk52545420?????)??

（3）H为“这3个电话打给同一个人”

P(H)?22222211117?????????555555555125

（4）R为“这3个电话打给不同的人”

R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为

2214???555125

P(R)?6?424?125125

于是

（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在

1的概率为4，且各次情况相互独立

131)?64 于是 P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=4(

第二章 随机变量及其分布

1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3，4，5，分布律为

P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?1?C2C532?1101?C3C532P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??2310?610P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?1?C4C53

也可列为下表 X： 3， 4，5

136,,P：101010

3.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。

P(X?0)?C13C15133?22352

12?35P(X?1)?C2?C13C15C2?C13C153213P

P(X?2)??135

O 1 2 x 再列为下表

X： 0， 1， 2

22121,,P： 353535

4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0

（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。

解：（1）P (X=k)=qk－1p

P(Y?r?n)?Cr?n?1qpnnr?1k=1,2,??

nnr （2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}

p?Cr?n?1qp,r?1rk?rn?0,1,2,?,k?r,r?1,?其中 q=1－p，

或记r+n=k，则 P{Y=k}=

Ck?1p(1?p), （3）P (X=k) = (0.55)k－10.45

??

2k?1k=1,2…

0.45?1131P (X取偶数)=

?k?1P(X?2k)??k?1(0.55)

6.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？

P(X?2)?C5pq225?2?C5?(0.1)?(0.9)?0.0729223

5（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

P(X?3)?C5?(0.1)?(0.9)?C5?(0.1)?(0.9)?C5?(0.1)?0.00856332445

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？

P(X?3)?C5(0.9)?C5?0.1?(0.9)?C5?(0.1)?(0.9)?C5?(0.1)?(0.9)?0.999543320514223

（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.59049?0.40951

[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假

定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，?

P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}

2n?11)?3， n=1，2，?? =3(（2）Y的可能取值为1，2，3

1 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=3

P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}

211?? =323

P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}

2!1?3!3 =

3(3)P{X?Y}??P{Yk?13?k}P{X?Y|Y?k}??k?23P{Y?k}P{X?Y|Y?k}?全概率公式并注意到????P{X?Y|Y?1}?0???

???P{Yk?2?k}P{X?k}注意到X,Y独立即P{X?Y|Y?k}111?121?8??????27333?33??P{X?k}?3? 3P{X?Y}?P{Y?k}P{X?Y|Y?k}

同上，

??3k?1

?k}P{X?k}?11121419??????333932781

?P{Yk?1

P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?3881

故

8.[八] 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求

（1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。

P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)

= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = (0.4)3× (0.3)3+ [

3C3?0.6?(0.4)]?[C3?0.7?(0.3)]1212

22223 ?[C3?(0.6)?0.4]?[C3?(0.7)?.3]?(0.6)

?(0.7)?0.321

（2）甲比乙投中次数多的概率。

P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) =

[C3?0.6?(0.4)]?(0.3)?[C3?(0.6)?0.4]?(0.3)?123228

[C23?(0.6)?0.4]?[C?0.7?(0.3)]?(0.6)3312321323

?(0.3)?(0.6)?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6)

?[C?(0.7)?0.3]?0.243232

9.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）

14解：（1）P (一次成功)=

C8?170

C10(3（2）P (连续试验10次，成功3次)= 际推断原理，就认为他确有区分能力。

136973)()?707010000。此概率太小，按实

[九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5

件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率

解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，

由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.910≈0.349

22819（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C100.10.9?C100.10.9?0.581

（3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590 （4）P {0

({0

= P {0

12.[十三] 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 8法一： 法二：

P(X?8)?4?4e?0.0297708!（直接计算）

P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。

= 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）

P{X?3}?P{X?4}?0.566530[十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。

[十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是

?1?e?0.4x,FX(x)???0x?0x?0

求下述概率：

（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}； （4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟} 解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =

FX(3)?1?e?1.2

?1.2?1.6 （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =1?FX(4)?e

（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3

FX(4)?FX(3)?e?e?1.6

（4）P{至多3分钟或至少4分钟}= P{至多3分钟}+P{至少4分钟}

?1.2?1.6?e =1?e

（5）P{恰好2.5分钟}= P (X=2.5)=0

?0,x?1,?FX(x)??lnx,1?x?e,??1,x?e.18.[十七] 设随机变量X的分布函数为，

求（1）P (X<2), P {0

52)；（2）求概率密度fX (x).

解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0

P(2?X?5555?FX()?FX(2)?ln?ln2?ln2224

?1?,1?x?e,f(x)?F'(x)??x??0,其它（2）

20.[十八（2）]设随机变量X的概率密度f(x)为

?2?f(x)??????x?f(x)??2?x??01?x02?1?x?1其它（1）

（2）

0?x?11?x?2其他

求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当－1≤x≤1时：

2F(x)?0dx????1π??1?x2?11?21?xdx?x1?x?arcsinx?π?2?2??12X?1112x1?x?arcsinx?ππ2

2当1

F(x)???1??0dx??2?1π11?xdx??0dx?1

1x

故分布函数为：

?0?1112F(x)??x1?x?arcsinx?ππ2??1x??1?1?x?11?x

解：（2）

F(x)?P(X?x)?x?x??f(t)dt

当x?0时,F(x)????0dt?0当0?x?1时,当1?x?2时,当2?x时,xF(x)?0dt?tdt???02?0?x2F(x)??0??0dt??10tdt??x1x(2?t)dt?2x??122F(x)??0??0dt??10tdt??21(2?t)dt??x20dt?1

故分布函数为

?0?x2??2F(x)??2x?2x??12???1x?00?x?11?x?22?x

（2）中的f (x)与F (x)的图形如下 0 1 2 1000f (x) F (x) x 0 1 2 x

?22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度： ?x?1000f(x)??x2??0其它

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿

命大于1500小时的概率是多少？

解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?22)?33?150010001000x21?dx?1??1000(?)x?15001000???

Y~B(5,2)3，

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则

214??151P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()?C5?()?()?33??3?1?1?5?235?1?11243?232243

23.[二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：

?1?x5?FX(x)??5e,x?0??0,其它

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。

解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

P(X?10)????10fX1(x)dx?5???10e?x5dx??e?x5??10?e?2

Y~B(5,e?2因此

?5??2k?25?k).即P(Y?k)???e(1?e),(k?1,2,3,4,5?k?

?2P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?1?0.86775)?1?(1?5155)?1?(1?0.1353363)7.389?1?0.4833?0.5167.2 24.[二十二] 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x?4xK?K?2?0有实

根的概率

?1?f(K)??5?0??0 ∵ K的分布密度为：

0?K?5其他

要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。

解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴

P(K?2)????2f(x)dx??521dx?5???50dx?35

25.[二十三] 设X～N（3.22）

（1）求P (22}，P (X>3)

?β?μ??α?μ??????σσ???? ∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α

?5?3??2?3??????P (2

∴

=0.8413－0.3085=0.5328

?10?3???4?3??????2?2???=φ(3.5)－φ(－3.5) P (－4

=0.9998－0.0002=0.9996

P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )

??2?3???2?3??1??????????2?2???? ? =

=1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977

?3?3???2??=1－0.5=0.5 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ

（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得

P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)

1P (X≤C )=2=0.5

?C?3????0.5,查表可得2?P (X≤C )=φ?C?3?02又 ∴ C =3

N(110,12)226.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求

（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05. 105?110解:

(1)P(X?105)??(12)??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.6616?0.3384

P(100?X?120)??(?2?(120?110100?11055)??()??()??(?)1212665)?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526

(2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??(查表得x?110x?110)?0.05??()?0.95.1212故最小的X?129.74.x?110?1.645.?x?110?19.74?129.74.12

27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？

设螺栓长度为X

P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)

=1－P (10.05－0.12

??(10.05?0.12)?10.05??(10.05?0.12)?10.05???????0.060.06???? =1－

??????

=1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{0.9772－0.0228} =0.0456

28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？

?200?160??120?160??40??40??????????????????0.80σσσ?σ???????∵ P (120＜X≤200)=

又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x)

?40???40???????1??????0.80σσ?????∴ 上式变为?

?40????便得:σ? 解出??40?????0.9σ??

40?1.281 再查表，得σσ?40?31.251.281

30.[二十七] 设随机变量X的分布律为： X：－2，

－1， 0， 1， 3

1P：5， 111 6， 5， 15， 1130

求Y=X 2的分布律

∵ Y=X 2：(－2)2

1 P： 5

1 6

(－1)2

11 5 15

(0)2 (1)2

1130

(3)2

再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 1

1 1 1 4 119

P： 5 6?115 5

30

31.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=eX的分布密度

f(x)???10?x?1∵ X的分布密度为：

?0x为其他

Y=g (X) =eX是单调增函数 又 X=h (Y)=lnY，反函数存在

且

α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1

??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e

?ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1?1y1?y?e∴ Y的分布密度为：??0y为其他

（2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ Y= g (X)=－2lnX Y是单调减函数 又 X?h(Y)?e?2 反函数存在。

且

α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0

β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞

?ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1??12e?yy2?12e?2?∴ Y的分布密度为：

?032.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=eX的概率密度

0?y???y为其他

f(x)?12πe?x22,???x???∵ X的概率密度是

Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 且

X= h (Y ) = lnY 反函数存在

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

(lny)??112?f[h(y)]?|h'(y)|?e?ψ(y)??y2π?0?20?y???y为其他

（2）求Y=2X2+1的概率密度。

在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y)

?P??? =?y?12?X?y?1??2??

当y<1时：FY ( y)=0

?Fy(y)?P????y?12y?1???2??y?1?X???2y?1212πe?x22dx当y≥1时：

故Y的分布密度ψ( y)是：

当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

y?1当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =

??????1212?y?14e?x22y?12?dx????

e? =

2π(y?1)

（3）求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0

y?y当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

???当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =?y?y?12πe?x22dx

?12πe?x22??dx????2eπ?y22

33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ∵ 又 且

Y=g (X )= X 3 是X单调增函数，

1X=h (Y ) =Y3，反函数存在，

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

1 ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| =

f(y31?3)?y,???y???,但y?03

2?(0)?0

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。

?e?xf(x)???0法一：∵ X的分布密度为：

x?0x?0y=x2

y Y=x2是非单调函数 当 x<0时 y=x2 ? 反函数是当 x<0时 y=x2 ? ∴ Y～ fY (y) =

f(?y)(?yx??x?yy

y)(?y

y)?y)??f( －y?0y?0yO y x =法二：

1??e?0?2y??0??21ye,

y)?P(X??y)Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?

???0?0 ??ye?xdx?0?1?e?y,,y?0y?0

??1e??2y?0∴ Y～ fY (y) =?y,,y?0.y?0.

34.[三十一] 设X的概率密度为

?2x?f(x)??π2??00?x?πx为其他

求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0

当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π)

=当1

?arcsiny2xπ20dx??π2xπ2π?arcsinydx

∴ Y的概率密度ψ( y )为： y≤0时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (0 )' = 0

??0

2 =

π1?y2

?1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1) = 0

36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)5的概率密度。[已知

θ?9(T?32)]

12?2e?(t?98.6)2?22f(t)?,???t???法一：∵ T的概率密度为

又

θ?g(T)?T?h(θ)?5(T?32)9 是单调增函数。 9θ?325 反函数存在。

且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞

∴ θ的概率密度ψ(θ)为

(95θ?32?98.6)42ψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π910πe2???95

81(θ?37)1002?e,???θ???

由于T～N（98.6, 2）

法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 )

2?5??333?5?2?5160160?5?θ?T?~N??98.6?,???2??N?,???2?999?9?9?9??9??????? 故

故θ的概率密度为：

?333??????9??22?(?)?2?1592e?5?2????2?9??910?e?81(??37)1002,???????

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

??0,若第一次取出的是正品X????1,若第一次取出的是次品??0,若第二次取出的是正品Y????1,若第二次取出的是次品

,? ,?

试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)

101025??36 P (X=0, Y=0 )=12121025??36 P (X=0, Y=1 )=12122105??36 P (X=1, Y=0 )=1212221??36 P (X=1, Y=1 )=1212或写成

X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况

10945??66 P {X=0, Y=0 }=121110210??66 P {X=0, Y=1 }=121121010??66 P {X=1, Y=0 }=1211211??66 P {X=1, Y=1 }=12110 2536 536 1 536 136 或写成

X Y 0 1 0 4566 1066 1 1066 166 3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

X Y 0 1 2 0 0 0 135 1 0 635 635 2 335 1235 335 3 235 235 0 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

C2C222P {X=0, Y=2 }=

C714?135

635C3C2C212P {X=1, Y=1 }=

1C74?

C3C2C221P {X=1, Y=2 }=

24C7?635

C3C22P {X=2, Y=0 }=

C724?335

1235C3C2C211P {X=2, Y=1 }=

2C74?

C3C22P {X=2, Y=2 }=

C734?335

C3C21P {X=3, Y=0 }=

4C7?235

C3C231P {X=3, Y=1 }=P {X=3, Y=2 }=0

C74?235

??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4f(x,y)???0,其它?5.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为

（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}

（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}

??分析：利用P {(X, Y)∈G}=

Do?0?x?2,?????(x,y)?2?y?4????

Gf(x,y)dxdy???G?Dof(x,y)dxdy再化为累次积分，其中

解：（1）∵（2）

1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴

k?18

P(X?1,Y?3)??10dx?3213(6?x?y)dy?88

P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（3）

P(X?Y?4)??1.50dx?4218(6?x?y)dy?2732

00（4）6．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y ?2dx?4?x12(6?x?y)dy?83

（2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题）

X Y 0 1 边缘分布律为

X Pi2

0

56

0 2536 536

1 536 136

2 x+y=4 1 o x 1

16

Y P2j

0

56

1

16

② 不放回抽样（第1题）

X Y 0 1

0 4566 1066

1 1066 166

边缘分布为

X Pi2

0

56

1

16

Y P2j

0

56

1

16

（2）（X，Y ）的联合分布律如下 X Y 0 3 0 0 18 1 38 2 38 3 0 18

0 2

38

0 3

解： X的边缘分布律

X 0

1Pi2 8

Y的边缘分布律 Y

1

3

28

1

38

168 P2j 8

7.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

??4.8y(2?x)f(x,y)????0??0?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度.

0?x?1其它fX(x)????解：

???x2?4.8y(2?x)dy?2.4x(2?x)f(x,y)dy??0??0? 0?y?1其它fY(y)????12???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y)f(x,y)dx??y??0 x=y 8.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?e?y,0?x?y?f(x,y)???0,其它.?求边缘概率密度。

??y fX(x)????解:

??????y?xedy?e,x?0?f(x,y)dy??x?x?0?0,?

o x fY(y)????

??f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye0,?y,y?0,y?0,

?cx2y,x2?y?1?f(x,y)???0,其它?9.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。

??解: l=

????????f(x,y)dxdy??10dy???yycxydx?c2?1022421ydy?c?c?3214

5

212?12124??2xydy?x(1?x),?1?x?1X~fX(x)??x48?0,其它?y y=x2 ???Y~fY(y)??????yy214dydx?02725y20?y?1其它

o x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况

25P {X=0, Y=0 } = P {X=0}2P {Y=0} =36 5P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=36 5P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=36 1P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=36

在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况：

10945??66 P {X=0, Y=0 } =1211105?6 P {X=0}=121092105????6 P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=121111115525??P {X=0}2P {Y=0} =6636

P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}

∴ X和Y不独立

16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y

?1y?e2,y?0fY(y)??2?0,y?0.?的概率密度为

（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

fX??1,x?(0,1)(x)????0,其它

y 2 解：（1）X的概率密度为Y的概率密度为

y=xD o 1 ?1?y?e2,y?0fY(y)??2?0,y?0.?且知X, Y相互独立，

x 于是（X，Y）的联合密度为

?1?y?e2f(x,y)?fX(x)fY(y)??2?0?0?x?1,y?0其它2

?4Y?0

2（2）由于a有实跟根，从而判别式??4X2 即：Y?X 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}

P(Y?X)?2??Df(x,y)dxdy?2?10dx?x2120e?y2dy???dx?01x20de?y2?1??10e?x22dx

?1?2??12??00e?x2dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.1445

19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

?te?t,?f(t)????0t?0t?0

并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量

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