对数函数中档题(含答案)

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3.2 对数函数中档题

一．填空题（共10小题）

1．（2016?长沙校级模拟）函数y=2x+log2x在区间[1，4]上的最大值是．2．（2016?江西模拟）若函数f（x）=alog2x+blog3x+2，且，则f（2012）的

值为．

3．（2016?普陀区一模）方程的解x= ．4．（2016?静安区一模）方程的解为．5．（2016?延边州模拟）已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=log a（ax2﹣2x+3）在[，2]

上是增函数，则a的取值范围是．

6．（2016?泰州二模）已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．

7．（2016春?高安市校级期末）若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是．

8．（2016春?丰城市校级期末）若函数f（x）=|log a x|（0＜a＜1）在区间（a，3a﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围是．

9．（2016春?宝应县期中）已知a=log0.23，b=（π﹣3）﹣1，c=2﹣1；则a，b，c从小到大排列是．（用“＜”连接）

10．（2016春?桐城市校级月考）函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为．

二．解答题（共12小题）

11．（2016?广州二模）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．

（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．

12．（2016春?徐州期末）已知函数f（x）=log 2．

（1）求f（x）的定义域A；

（2）若函数g（x）=3x2+6x+2在[﹣1，a]（a＞﹣1）内的值域为B，且A∩B=?，求实数a 的取值范围．

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13．（2016春?泉州校级期末）设a、b∈R，且a≠1，若奇函数f（x）=lg在区间（﹣

b，b）上有定义．

（1）求a的值；

（2）求b 的取值范围；

（3）求解不等式f（x）＞0．

14．（2016春?宁夏校级期末）已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x ﹣）

（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；

（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

15．（2016春?重庆校级期中）已知函数g（x）=log2（x﹣1），f（x）=log（x+1），

（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；

（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．

16．（2016春?淄博校级月考）已知函数f（x）=lg（m x﹣2x）（0＜m＜1）．

（1）当m=时，求f（x）的定义域；

（2）试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明；

（3）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围．

17．（2015?天津校级模拟）对于函数f（x）=log（x2﹣ax+3），解答下列问题：

（1）若f（x）的定义域是R，求a的取值范围；

（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范围；

（3）若f（x）在[﹣1，+∞）内上有意义，求a的取值范围；

（4）若f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，求a的取值范围；

（5）若f（x）在（﹣∞，﹣1]内为增函数，求a的取值范围．

18．（2015?信阳模拟）已知函数f（x）=log2（2x+1）

（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；

（Ⅱ）若g（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

19．（2015?万州区模拟）函数f（x）=（m＞0），x1，x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=．

（1）求m的值；

（2）解不等式f（log2（x﹣1）﹣1）＞f （（x﹣1）﹣）．

20．（2015春?临沂校级期中）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）．

（1）求h（x）的定义域；

（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）若a=log327+log2，求使f（x）＞1成立的x的集合．

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21．（2015秋?莆田校级月考）在对数函数y=log x的图象上（如图），有A、B、C三点，

它们的横坐标依次为t、t+2、t+4，其中t≥1，

（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；

（2）判断函数S=f（t）的单调性；

（3）求S=f（t）的最大值．

22．（2014秋?抚顺期中）设函数f（x）=log3（9x）?log3（3x），且≤x≤9．

（1）求f（3）的值；

（2）若令t=log3x，求实数t的取值范围；

（3）将y=f（x）表示成以t（t=log3x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．

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3.2 对数函数中档题

参考答案与试题解析

一．填空题（共10小题）

1．（2016?长沙校级模拟）函数y=2x+log2x在区间[1，4]上的最大值是．

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性直接求解即可．

【解答】解：∵y=2x和y=log2x在区间[1，4]上都是增函数，

∴y=2x+log2x在区间[1，4]上为增函数，

即当x=4时，函数y=2x+log2x在区间[1，4]上取得最大值y=y=24+log24=16+2=18，

故答案为：18

【点评】本题主要考查函数最值的计算，利用指数函数和对数的函数的单调性是解决本题的关键．

2．（2016?江西模拟）若函数f（x）=alog2x+blog3x+2，且，则f（2012）的值为．

【分析】利用对数的运算性质，可得，由此，即可求解f（2012）的值．【解答】解：由函数f（x）=alog2x+blog3x+2，

得f （）=alog 2+blog 3+2=﹣alog2x﹣blog3x+2=4﹣（alog2x+blog3x+2），

因此f（x）+f （）=4

再令x=2012得f（2012）+f （）=4

所以f（2012）=4﹣=﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了对数的运算性质，函数的简单性质，利用互为倒数的两个自变量的函数值之间的关系，是解决本题的关键．

3．（2016?普陀区一模）方程的解x= ．

【分析】化简可得4x﹣5=4（2x﹣2），从而可得（2x）2﹣4?2x+3=0，从而解得．

【解答】解：∵，

∴4x﹣5=4（2x﹣2），

即（2x）2﹣4?2x+3=0，

∴2x=1（舍去）或2x=3；

∴x=log23，

故答案为：log23．

【点评】本题考查了对数运算及幂运算的应用，同时考查了指数式与对数式的互化．

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4．（2016?静安区一模）方程的解为．【分析】利用换底公式变形，转化为一元二次方程，求解后验根得答案．

【解答】解：由方程，

得=3，

即，

∴，

∴2lg（x﹣1）=lg（x2+x﹣8）．

∴（x﹣1）2=x2+x﹣8

解得：x=3．

验证当x=3时，原方程有意义，

∴原方程的解为x=3．

故答案为：x=3．

【点评】本题考查对数的运算性质，考查了对数方程的解法，关键是注意验根，是基础题．5．（2016?延边州模拟）已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=log a（ax2﹣2x+3）在[，2]上是增函数，则a的取值范围是．

【分析】对a是否大于1进行分情况讨论，利用复合函数的单调性得出二次函数在[，2]的单调性，列出不等式组解出a的范围．

【解答】解：设g（x）=ax2﹣2x+3，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=．

（1）若0＜a＜1，则g（x）在[，2]上是减函数，且g min（x）＞0，

∴，解得；

（2）若a＞1，则g（x）在[，2]上是增函数，且g min（x）＞0，

∴，解得a≥2．

综上，a 的取值范围是（，]∪[2，+∞）．

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【点评】本题考查了复合函数的单调性，对数函数，二次函数的性质，属于中档题．

6．（2016?泰州二模）已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．

【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．

【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，

∴，

解得：

∴a+b=，

故答案为：

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，方程思想，难度中档．

7．（2016春?高安市校级期末）若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是．

【分析】若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，由函数y=log a t为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，由此构造不等式组，解得答案．

【解答】解：若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，

由函数y=log a t为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，

即，解得：a＞2，

故实数a的取值范围是：a＞2．

故答案为：a＞2

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．

8．（2016春?丰城市校级期末）若函数f（x）=|log a x|（0＜a＜1）在区间（a，3a﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围是．

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【分析】由 f（x）在（a，3a﹣1）上递减，知（a，3a﹣1）?（0，1），结合已知a的范围可求．

【解答】解：当0＜x＜1时，f（x）=log a x递减；当x＞1时，f（x）=﹣log a x递增，

所以f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，

因为f（x）在（a，3a﹣1）上递减，所以（a，3a﹣1）?（0，1），

所以，解得a，

故答案为：a．

【点评】本题考查复合函数单调性，解决本题的关键是正确理解“f（x）在区间（a，3a﹣1）上单调递减”的含义，注意（a，3a﹣1）为减区间的子集．

9．（2016春?宝应县期中）已知a=log0.23，b=（π﹣3）﹣1，c=2﹣1；则a，b，c从小到大排列是．（用“＜”连接）

【分析】由于a=log0.23＜0，b=（π﹣3）﹣1＞1，c=2﹣1=，即可得出大小关系．

【解答】解：∵a=log0.23＜0，b=（π﹣3）﹣1＞1，c=2﹣1=，

∴a＜c＜b，

故答案为：a＜c＜b．

【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（2016春?桐城市校级月考）函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为．

【分析】先画出函数图象，再数形结合得到a、b的范围，最后计算b﹣a的最小值即可【解答】解：函数f（x）=|log3x|的图象如图

而f （）=f（3）=1

由图可知a∈[，1]，b∈[1，3]

b﹣a的最小值为a=，b=1时，即b﹣a=

故答案为

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【点评】本题考查了数形结合解决函数问题的方法，解题时要准确画图，精确分析，善于用形解决代数问题

二．解答题（共12小题）

11．（2016?广州二模）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．

（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．

【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；

①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；

②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；

③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；

∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；

（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；

∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；

又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；

∴a+8≤3，即a≤﹣5；

∴a的最大值为﹣5．

【点评】本题考查对数的真数大于0，函数定义域的定义及求法，不等式的性质，以及含绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理方法．

12．（2016春?徐州期末）已知函数f（x）=log 2．

（1）求f（x）的定义域A；

（2）若函数g（x）=3x2+6x+2在[﹣1，a]（a＞﹣1）内的值域为B，且A∩B=?，求实数a 的取值范围．

【分析】（1）通过对数定义域求得f（x）定义域

（2）根据g（x）单调性，求g（x）的值域，并计算两集合关系

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Word 完美格式 【解答】解：（1）由题知

，即（2x ﹣1）（x+2）＞0，所以定义域A= （2）g （x ）的轴为x=﹣1，∴g （x ）在[﹣1，a]上单调递增，∴B=[﹣1，3a 2

+6a+2]，由A∩B=?，得，解得 【点评】本题考查了对数函数定义域及二次函数值域的求法

13．（2016春?泉州校级期末）设a 、b ∈R ，且a ≠1，若奇函数f （x ）=lg

在区间（﹣b ，b ）上有定义．

（1）求a 的值；

（2）求b 的取值范围；

（3）求解不等式f （x ）＞0．

【分析】（1）根据f （x ）为奇函数便可得出

，这样便可得出1﹣a 2x 2=1﹣x 2，从而有a 2=1，再根据a ≠1即可得出a 的值；

（2）求出a 便得出

，从而可求出该函数的定义域，进而求出b 的取值范围； （3）由f （x ）＞0即可得出

，这样便可建立关于x 的不等式，解不等式即可得出原不等式的解集．

【解答】解：（1）f （x ）为奇函数；

∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即

； 即，整理得：1﹣a 2x 2=1﹣x 2； ∴a=±1；

又a ≠1，故a=﹣1；

（2）f （x ）=lg 的定义域是（﹣1，1）；

∴0＜b ≤1；

∴b 的取值范围为（0，1]；

（3）f （x ）=

； ∴； 解得﹣1＜x ＜0；

∴原不等式的解集为（﹣1，0）．

【点评】考查奇函数的定义，多项式相等的充要条件，对数的真数满足大于0，以及对数函数的单调性，分式不等式的解法．

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14．（2016春?宁夏校级期末）已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x ﹣）

（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；

（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

【分析】（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x ﹣）=（log2x）2﹣log2x+1，2≤x≤4，令

t=log2x，则y=t2﹣t+1=（t ﹣）2﹣，由此能求出函数的值域．

（2）令t=log2x ，得t2﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立，从而得到m ＜t+﹣对于t

∈[2，4]恒成立，构造函数g（t）=t+﹣，t∈[2，4]，能求出m的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x ﹣）

=（log2x）2﹣log2x+1，2≤x≤4

令t=log2x，则y=t2﹣t+1=（t ﹣）2﹣，

∵2≤x≤4，

∴1≤t≤2．

当t=时，y min=﹣，当t=1，或t=2时，y max=0．

∴函数的值域是[﹣，0]．

（2）令t=log2x ，得t2﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．

∴m ＜t+﹣对于t∈[2，4]恒成立，

设g（t）=t+﹣，t∈[2，4]，

∴g（t）=t+﹣=（t+）﹣，

∵g（t）=t+﹣在[2，4]上为增函数，

∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，

∴m＜0．

【点评】本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

15．（2016春?重庆校级期中）已知函数g（x）=log2（x﹣1），f（x）=log（x+1），

（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；

（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．

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【分析】（1）由对数函数的单调性和换底公式，可得x﹣1≥＞0，由不等式的解法，即

可得到所求解集；

（2）由复合函数的单调性：同增异减，求得函数y在[，+∞）为增函数，即可得到所求值域．

【解答】解：（1）由g（x）≥f（x）得log2（x﹣1）≥log（x+1），

即为x﹣1≥＞0，

有x ≥或x ≤﹣，且x+1＞0，x﹣1＞0，

则不等式g（x）≥f（x）的解集为{x|x ≥}；

（2）y=g（x）+f（x）=log2（x﹣1）﹣log2（x+1）=log 2，

由y=log2（1﹣），由t=1﹣在（1，+∞）递增，y=log2t在（0，+∞）递增，

可得函数y=log 2在[，+∞）为增函数，

则x=时，y取得最小值log2（3﹣2），

且t＜1，可得y=log2t＜0，

即有函数y=g（x）+f（x）的值域为[log2（3﹣2），0）．

【点评】本题考查对数函数的单调性的运用，以及复合函数的单调性：同增异减，考查不等式的解法，属于中档题

16．（2016春?淄博校级月考）已知函数f（x）=lg（m x﹣2x）（0＜m＜1）．

（1）当m=时，求f（x）的定义域；

（2）试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明；

（3）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围．

【分析】（1）须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，根据单调性求解即可

（2）利用函数单调性判断即可

（3）利用函数的单调性得出，f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值为f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1），所以要使f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，只需f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）＞0

【解答】解：（1）当m=时，要使f（x ）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，

可得：﹣x＞x，∴x＜0

∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．

（2）设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则△=x2﹣x1＞0

令g（x）=m x﹣2x，

则g（x2）﹣g（x1）=m x2﹣2x2﹣m x1+2x1

=m x2﹣m x1+2x1﹣2x2

∵0＜m＜1，x1＜x2＜0，

∴m x2﹣m x1＜0，2x1﹣2x2＜0

g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）

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∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，

∴△y=lg（g（x2））﹣lg（g（x1））＜0，

∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

（3）由（2）知：f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上也为减函数，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值为f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）

所以要使f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，

只需f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）＞0，

即m﹣1﹣2﹣1＞1，∴＞1+=，

∵0＜m＜1，∴0＜m ＜．

【点评】本题综合考查了函数的单调性，运用转化出不等式求解问题，属于中档题，但是难度不大．

17．（2015?天津校级模拟）对于函数f（x）=log（x2﹣ax+3），解答下列问题：

（1）若f（x）的定义域是R，求a的取值范围；

（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范围；

（3）若f（x）在[﹣1，+∞）内上有意义，求a的取值范围；

（4）若f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，求a的取值范围；

（5）若f（x）在（﹣∞，﹣1]内为增函数，求a的取值范围．

【分析】（1）转化为x2﹣ax+3＞0在R上恒成立，利用二次函数性质求解即可．

（2）判断得出y=x2﹣ax+3的图象不能在x轴上方，即△=a2﹣12≥0求解．

（3）转化x2﹣ax+3＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，根据二次函数性质得出△＜0或．（4）利用复合函数性质得出：y=x2﹣ax+3的值域为[2，+∞），最小值=2，

求解即可．

（5）根据复合函数的单调性得出y=x2﹣ax+3在（﹣∞，﹣1]内为减函数，且x2﹣ax+3＞0在（﹣∞，﹣1]恒成立．再利用二次函数性质求解即可．

【解答】解：对于函数f（x）=log（x2﹣ax+3），

（1）∵f（x）的定义域是R，

∴x2﹣ax+3＞0在R上恒成立，

即△=a2﹣12＜0，

得：a∈（﹣2，2）

（2）∵f（x）的值域是R，

∴y=x2﹣ax+3的图象不能在x轴上方，

即△=a2﹣12≥0，得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

（3）∵f（x）在[﹣1，+∞）内上有意义，

∴x2﹣ax+3＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，

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Word 完美格式 即△＜0或

得a ∈（﹣2，2）∪（﹣4，﹣2），

（4）∵f （x ）的值域是（﹣∞，﹣1]，

∴y=x 2

﹣ax+3的值域为[2，+∞），

=2，即a=±2，

故a 的取值范围：a=﹣2或a=2

（5）∵f （x ）在（﹣∞，﹣1]内为增函数，

∴y=x 2﹣ax+3在（﹣∞，﹣1]内为减函数，且x 2﹣ax+3＞0在（﹣∞，﹣1]恒成立． ∴即a ≥﹣2．

【点评】本题结合对数函数的单调性，复合函数的单调性的应用与二次函数及对数函数的性质，还考查了二次函数在区间上单调，但不要忽略了函数的定义域，

18．（2015?信阳模拟）已知函数f （x ）=log 2（2x +1）

（Ⅰ）求证：函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内单调递增；

（Ⅱ）若g （x ）=log 2（2x ﹣1）（x ＞0），且关于x 的方程g （x ）=m+f （x ）在[1，2]上有解，求m 的取值范围．

【分析】（1）根据定义对函数的单调性判断证明．

（2）转化为m=g （x ）﹣f （x ）值域求解范围．

【解答】解：（1）∵函数f （x ）=log 2（2x +1），

任取x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=log 2（2x+1+1）﹣log 2（

+1）=log 2，

∵x 1＜x 2，

∴0＜＜1， ∴log 2＜0，

∴f （x 1）＜f （x 2），

∴函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内单调递增；

（2）∵g （x ）=m+f （x ），

∴m=g （x ）﹣f （x ）=log 2（2x ﹣1）﹣log 2（2x +1）=log 2

=log 2（1﹣）， ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，

. .

Word 完美格式 ∴log 2≤log 2（1﹣）≤log 2，

故m 的取值范围．[log 2，log 2]．

【点评】本题综合考查了指数函数，对数函数的单调性，函数的定义，不等式，方程与函数的关系，属于中档题．

19．（2015?万州区模拟）函数f （x ）=

（m ＞0），x 1，x 2∈R ，当x 1+x 2=1时，f （x 1）

+f （x 2）=．

（1）求m 的值；

（2）解不等式f （log 2（x ﹣1）﹣1）＞f （（x ﹣1）﹣）． 【分析】（1）由得，代入x 1+x 2=1

化简可得

或2﹣m=0；从而解m ；

（2）由（1）知f （x ）在（﹣∞，+

∞）上为减函数，故不等式

可化为

，从而解得．

【解答】解：（1）由得，， ∴

， ∵x 1+x 2=1， ∴

， ∴

或2﹣m=0； ∵

， 而m ＞0时2﹣m ＜2， ∴

， ∴m=2．

. .

Word 完美格式 （2）由（1）知f （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数， 由得，

， ∴， ∴不等式的解集为．

【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．

20．（2015春?临沂校级期中）已知函数f （x ）=log a （1+x ），g （x ）=log a （1﹣x ），其中（a ＞0且a ≠1），设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）．

（1）求h （x ）的定义域；

（2）判断h （x ）的奇偶性，并说明理由；

（3）若a=log 327+log 2，求使f （x ）＞1成立的x 的集合．

【分析】（1）根据对数的定义得出不等式组，求解即可得出定义域．

（2）先判断定义域关于原点对称，利用定义h （﹣x ）=log a （1﹣x ）﹣log a （1+x ）=﹣h （x ），判断即可．

（3）了；利用对数的运算得出即log 2（1+x ）＞log 22，再根据对数函数的单调性得出1+x ＞2，即可求解不等式．

【解答】解：（1）由题意得，即﹣1＜x ＜1．

∴h （x ）=f （x ）﹣g （x ）的定义域为（﹣1，1）；

（2）∵对任意的x ∈（﹣1，1），﹣x ∈（﹣1，1）

h （﹣x ）=log a （1﹣x ）﹣log a （1+x ）=﹣h （x ），

∴h （x ）=log a （1+x ）﹣log a （1﹣x ）是奇函数；

（3）由a=log 327+log 2，得a=2．

f （x ）=lo

g a （1+x ＞1，即log 2（1+x ）＞log 22，

∴1+x ＞2，即x ＞1．

故使f （x ）＞1成立的x 的集合为{x|x ＞1}

【点评】本题本题考察了对数函数的概念性质，解不等式，考察了学生的化简运算能力，属于容易题．

. .

21．（2015秋?莆田校级月考）在对数函数y=log x的图象上（如图），有A、B、C三点，

它们的横坐标依次为t、t+2、t+4，其中t≥1，

（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；

（2）判断函数S=f（t）的单调性；

（3）求S=f（t）的最大值．

【分析】根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为（t，log t），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），

对于（1）由图形得S ABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF﹣S梯形ACNE，根据面积公式代入相关数据即可得到三角形面积的表达式

（2）根据（1）中所求的表达式研究函数的单调性并进行证明即可

（3）由（2）所求的单调性求出三角形面积的最大值．

【解答】解：（1）A、B、C三点坐标分别为（t，log t），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），由图形，当妨令三点A，B，C在x轴上的垂足为E，F，N，则△ABC的面

积为

S ABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF﹣S梯形ACNE

=﹣[log t+log（t+2）]﹣[log（t+2）+log（t+4））]+2[log t+log（t+4））] =[log t+log（t+4）﹣2log（t+2）]==

即△ABC的面积为S=f（t）=（t≥1）

Word完美格式

. .

（2）f（t）=（t≥1）是复合函数，其外层是一个递增的函数，t≥1

时，内层是一个递减的函数，故复合函数是一个减函数，

（3）由（2）的结论知，函数在t=1时取到最大值，故三角形面积的最大值是

S=f（1）==

【点评】本题考查对数函数的图象和性质的综合运算，解题时要结合图象进行分析求解，注意计算能力的培养．

22．（2014秋?抚顺期中）设函数f（x）=log3（9x）?log3（3x），且≤x≤9．

（1）求f（3）的值；

（2）若令t=log3x，求实数t的取值范围；

（3）将y=f（x）表示成以t（t=log3x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．

【分析】（1）根据解析式求解，（2）根据对数函数的单调性求解．（3）转化二次函数求解，g（t）=t2+3t+2，﹣2≤t≤2，

【解答】解：（1）∵函数f（x）=log3（9x）?log3（3x），且≤x≤9．

∴f（3）=log3（9×3）?log3（3×3）=3×2=6，

（2）令t=log3x，

∵f（x）=log3（9x）?log3（3x），且≤x≤9．

∴≤t（x）≤log39，

∴实数t的取值范围：﹣2≤t≤2，

（3）g（t）=t2+3t+2，﹣2≤t≤2，

对称轴t=﹣，根据二次函数的性质可得：

g （）=﹣，，x=，

Word完美格式

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g（2）=12，log3x=2，x=9

故函数y=f（x）的最大值12，x=9，最小值，x=，

【点评】本题考查了二次函数的性质，对数函数的性质，属于中档题．

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