2018年中考数学压轴题专题练习 - 由动点产生的特殊四边形问题

2018年中考数学压轴题专题练习---由动点产生的特殊四边形问题

知识纵横

抛物线与直线形的结合另一表现形式是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式： （1）抛物线上的点能否构成平行四边形；

（2）抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形； （3）抛物线上的点能否构成梯形；

特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的关键。

例题求解

【例1】如图，抛物线y?x2?2x?3与x轴交A,B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A,C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A,C,F,G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

（义乌市中考题）

思路点拨 对于（3），AF可能为平行四边形的边或对角线，故四个点能组成四边形的情况由多种，需全面讨论。

【例2】如图，对称轴为直线x?7的抛物线经过点A?6,0?和B?0,4?． 2（1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E?x,y?是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ ②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （河南省中考题） 思路点拨 对于（2），若OE?AE，则平行四边形OEAF为菱形；若OA?EF且OA?EF，则平行四边形OEAF为正方形。先求出E点坐标，再看E点是否在抛物线上。

【例3】如图：二次函数y??x2?ax?b的图象与x轴交于A???1?,0?,B?2,0?两点，且与2??y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A,C,D,B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； （3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A,C,B,P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． （临江市中考题） 思路点拨 问题（1）中已经确定了?ABC的形状，只需再构造直角就可解决问题（3）。点P是直线与抛物线的交点，但梯形的另一直角顶点不确定。

【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，?ABC的A,B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA:OB?1:5，OB?OC，?ABC的面积S?ABC?15，抛物线

y?ax2?bx?c(a?0)经过A,B,C三点。

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点

E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直

于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

(3)在抛物线上是否存在异于B,C的点M，使?ABC中

BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，

请说明理由．

分析 对于（2），设出E点的坐标，由EH?EF，建立方程；对于（3），假设存在点M，使?MBC中BC边上的高为72，则点M应在与直线BC平行且与直线相距72的两条平行线上。

学力训练

1. 如图，抛物线y??5217x?x?1与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一44点B，过点B作BC?x轴，垂足为点C?3,0?．

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为x秒，线段MN的长为s个单位，求s与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM,BN，四边形

BCMN能否为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

2. 已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数y?x?3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y?3x的图象上，且MO?MA．二次函数y?x2?bx?c的图象经过点2A,M． （1）求线段AM的长； （2）求这个二次函数的解析式； （3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y?x?3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

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