高阶微分方程

第五章 高阶微分方程

§1 几个例子

一、【内容简介】

本节结合几个具体的实例，介绍了与高阶微分方程有关的定解条件、定解问题和高阶微分方程的降阶技巧。

二、【关键词】 自治微分方程 三、【目的与要求】

掌握高阶微分方程的降阶技巧，能熟练地运用降阶法解二阶方程，会用已有知识建立高阶微分方程及其相应的条件解决简单的几何、物理问题。

四、【教学过程】

§2

n维线性空间中的微分方程

一、【内容简介】 在这一节里，主要介绍如何把n阶微分方程式化为标准微分方程组并采用向量的记号，将标准微分方程组写成向量的形式，从而可以从理论上把n维向量形式的微分方程的研究与一阶微分非常的研究统一起来。

二、【关键词】 模；线性微分方程组 三、【目的与要求】

掌握将高阶微分方程化成等价的n阶标准微分方程组的方法；会叙述n维向量形式的微分方程和n阶线性微分方程组相应的毕卡存在和唯一性定理；掌握n阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。 四、【教学过程】

§3 解对初值和参数的连续依赖性

一、【内容简介】 在这一节里，主要讨论解对初值和参数的连续依赖性，由于解对初值和参数的连续依赖性问题可归结为解对参数的同一问题。因此我们只讨论方程的解对参数的连续依赖性。

二、【关键词】 参数；连续依赖性 三、【目的与要求】

解对初值和参数的连续依赖性定理揭示了微分方程的解的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。

四、【教学过程】

§4 解对初值和参数的连续可微性

一、【内容简介】

本节主要讨论解对初值和参数的连续可微性。如上一节一样，只考虑方程的解对参数的连续可微性。

二、【关键词】 连续可微性；变分方程 三、【目的与要求】

与上一节一样，解对初值和参数的连续可微性揭示了微分方程的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。

四、【教学过程】 教学过程

前面我们主要讨论的是关于一阶方程的几个初等解法，在实际应用中，大多数微分方程是高阶的。二阶以及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对于高阶微分方程没有较为普遍的解法，下面我们通过例题介绍几种高阶微分方程的解法。这些解法的基本思想就是把高阶微分方程通过某些变换降为低阶的微分方程。

§1 几个例子

若方程不明显包含字变量，即：

F(y,y', ,y(n)) 0 （1）

'

(n)

这类方程叫作自治（或驻定）微分方程。

若方程明显包含字变量，即：

F(x,y,y, ,y

dy，则 ) 0 （2）

这类方程叫作非自治（或非驻定）微分方程。

对于（1）可考虑降阶。令

z

d2ydy z dxdydxdydx2

d3ydydy 3 dx(zdy) zdy(dy) dx dy dy dx dx

22)2 z z( dydy2 n 1dny) (z,, , nn 1dydxdy

代入（1），则得一个n-1阶的微分方程F

n 1

) 0

(y,z,, ,1dydyn 1

2例

dt f(x) （3）

，则 v dt

这是一个二阶的自治方程。令

d2xdt2

dv dx v dx

dv dtdxdtdt

代入（3）则得一阶方程v分离变量积分得v2

f(x)

c f(x)dx c F(X) 11

或

v2 2F(X) c1 （4）

其中

c1是常数，F(x)是f(x)的一个原函数。

（4）是一个一阶微分方程 c1，

对于固定的

1

分离变量，积分得其中

G(x,c1) t c2， （5）

c2是第二个常数，而G(x,c1)

，

1

称（5）为微分方程（3）的通积分。

例1、 单摆方程

取一根长度为的细线OM，把端点

l

o固定在一顶板上，而另一端点M挂上

一个质量为m的小球，将小球拉离平衡位置，然后松开，让它在一垂直平面内自由摆动，这样就构成一个单摆。（设单摆除重力外不受其他力的作用）。

设直线OM与垂线op的有向夹角为动可以用弧度x

x，并设逆时针方向为正，则单摆的振

x(t)来描述，单摆振动时，M端只能在圆周上运动，且它的

2

，切向加速度为l 。 l dt角速度为，切线速度为

dt

现将重力mg分解到切线T及向径N上，在T上的分力为T

mfsinx

其中负号的力学意义：T与号。

x的方向总是相反的(|x| )，即T与sinx异

2

由牛顿第二定律，即可得单摆的运动方程为：m(l)

dt2

mgsinx 或写

成 2

dt

a2sinx 0 （6） 2

其中常数a

0

2

v ,2 v,则得 dtdtdx

方程（6）为自治方程，可以用上述方法降阶，令

2 或写成v asinx 0dx

dv2

2

a2sinxdx

这是一个为函数为自变量的一阶微分方程，积分得

2v2 a2cosx c，上式可改写为 2acosx c1

1dt（7）

分离变量积分得

vx

2acosx c1

t c2

上式出现了椭圆积分，为了克服这一困难，我们可以利用的泰勒级数sin时，sin

sinx

x3 x5 x7 线性化。即当|x|很小x x 2dt2

x x，可用线性方程 a2x 0 （8）

来代替方程（6）。

dxdxd2x2dx ax 0 对于方程（8），以乘以方程（8），即得2

dtdtdtdt

对它可以直接积分，得

dx21dx212212

() a2x2 c12 () ax c1 （c1 0） 或 dt2dt22

于是有

dx

c12 a2x2 dt

1ax

) t c2 ac1

分离变量积分得通积分

由此求得通解 x Asin(at D) （9）

c1

0 D其中 A a

由通解（9）可见，当当

ac2 是两个任意常数。

dx

0 ； dt

A 0时，得到单摆的静止状态：x 0 v

A 0时，单摆将以A为振幅，a为频率作简谐振动。

2 l

2 ag

由（9）可知，单摆将作周期振动，而且周期T

由此说明，单摆的振动周期只与单摆的长度l和重力加速度g有关，而与初始条件无关。这就是所谓单摆振动的等时性。老式的单摆钟就是利用了这种“等时性”。

例2 悬链线方程

设一理想的柔软而不能伸缩的细线，将两端挂在支点A和B上，由于受重力的作用，自然弯曲，试求悬链线的形状 y y(x)。

这个问题是历史上的名题，最初1690年由詹姆斯 贝努里提出来，伽里略曾猜想这条曲线是抛物线，但是后来发现不对，最后由约翰 贝努里解决了，莱布尼兹把它命名为悬链线。下面就来解决这一问题。

设在xy平面上，悬链线的最低点为M，过M作垂直线为y轴，在上取一点

O，OM的长度后面再确定，过O点，取与y轴垂直的直线为x轴（如图）

对于曲线AB是任意一点P，在MP弧段上T,H为张力，W为重力。由于MP处于平衡状态，则有

Tcos H,Tsin W 0s 0为单位长度的重量，消去T，得 tan

s为MP弧长。

0s

H

令

0

H

a 则有

dy

as dx

d2yds

s a为了消去，将上式求导得 2

dxdx

dydy2dsdy

()2 代入得 2 a () 而 （10）

dxdxdxdx

此方程是一个二阶的自治系统，令z y'，则方程（10）降为一阶方程

dz

a z2，分离变量积分，得 ln|z z2| ax c1 dx

2

因为当x 0时，z y' 0，代入得c1 0 从而得 ln|z z2| ax 即 z由此又可得 z

z2 eax （11）

z2 e ax （12）

1ax

(e e ax) 2

（11）+（12） 得z 即

dy1ax

(e e ax) dx2

积分，得 y

1ax

(e e ax) c2 2a

若把x 轴取在合适的位置，使当于是所求悬链线方程为y

x=0 时 y 1 代入 得 c2 0

a

1ax1

(e e ax) chax 2aa

例3 二体问题

天体运动中的二体问题是历史上一个著名的问题，牛顿早在发明微积分的同时，就研究了二体问题。

假设太阳是静止的，它的质量为mS，地球的质量为mE，由于太阳系中除太阳外所有行星的总质量远小于mS，因此我们可以忽略别的行星的作用。现把坐标系的原点取在太阳S上，这就构成了一惯性坐标系，地球E的坐标向量为

r(t) (x(t),y(t),z(t))，则E的速度和加速度分别为

(t) (x (t),y (t),z (t), (t), (t)) (t)) rr (t) ( xyz

由牛顿第二定律

F ma

，则地球的惯性力为

(t), (t), (t)) mE r (t) mE( xyz

GmEmSr(t) mr(t) 2再根据万有引力定律，可建立地球的运动方程为E |r(t)||r(t)|

Gmr S(t) 即 r(t) （13） |r(t)|3

将（13）写成分量形式，即得如下的非线性方程组

Gmsx x (x2 y2 z2)3 Gmsy

y （14）

(x2 y2 z2)3 Gmsz z 2223

(x y z)

这是一个自治的微分方程组。

求解这种高阶非线性方程组常用首次积分，由（14）可以得到

d2yd2zddydzz2 y2 0 即 (z y) 0

dtdtdtdtdt

由此可得一个首次积分

yz c1 （15）zy

其中c1是任意常数，同理可得：

c2 （16） zxxz xy c3 （17）yx

这里c2，c3都是任意常数。

用x乘以（15），y乘以（16），z乘以（17），然后相加得，

c1x c2y c3z 0

这就是地球运行轨道所在平面的方程，这就证明了地球运行的轨道永远在一平面上。即二体问题是一个平面问题。下面设这个平面为x，y，坐标平面。即地球的轨道永远在平面z=0上，那么描述地球位置的坐标只要两个，即x和y，而运动的方程为一个4阶方程：

x (x2 yux y2)

uy32

（18）

3

(x2

y2)

2

其中 u

GmS

用y乘以（18）的第一式，用x乘以（18）的第二式，相减得：

d

dt

(yx xy ) 0 由此可得一个首次积分 yx

xy c4 用

zx

乘以（18）的第一式，用zy 乘以（18）的第二式，相加得： zx x zy y

zu(xx

yy )3

(x2 y2)2

d1

即 dt(x 2 y 2) 2uddt

(x2 y2

) 2 x 2 y 2 2u(x2 y2

1

由此又得到一个首次积分

)2

c5 为讨论方便，引进极坐标

x rcos ,y rsin

，那么

x (drd cos rsin )d dt y (drd sin rcos )d

dt

代入（19）得 r2

d

dt

c4 即有 12d 2r

dt 1

2

c4 19） 20）

21）

22） （（（（

12

注意在dt时间内向量r扫过的扇形面积为rd

2

12d 的面积为r

2dt

，故向量r在单位时间扫过

。这样就得到了开普勒第二定律：从太阳到行星的向量在单

位时间内扫过的面积是常数。

dr2d 22u2

) r]() c5 将（21）代入（20），得：[(d dtr

即 (

dr2d 22u

) (r) c5 （23） dtdtr

注意到（22）式有

c422udr2d 22u

() c5 (r) c5 2 dtdtrrr

u2c422uu2u2c4u2

c5 () 2 2 c5 () ( )

c4rrc4c4rc4

为使上式有意义，我们设c5 (

drr2 再利用（22），推得d c4

cdruuu2

c5 ()2 (4 )2 ) 0因此有dtc4rc4c4c5 (

cu2u

) (4 )2 c4rc4

d(

从而得

c5 (

c4

)cu2u) (4 )2c4rc4c4u rc4

d

积分得arccos

c5 (

u2)c4

0

2

cc4

0,e 4其中 0为任意常数，若又记p

uu

c5 (

u2

) 0 c4

则可得行星运行轨道方程r

p

(24)

1 ecos( 0)

由平面解析几何知，（24）表示一条二次曲线，当0 e 1时，它是椭圆，这表示地球运行轨道为椭圆，且它以坐标原点为焦点。这表明太阳正好是这个椭圆的一个焦点。此时e是离心率。这样又得到了开普勒的第一定律：行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。利用上面类似的推演，牛顿还证明了开普勒的第三定律。

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