大学物理下册课后习题答案

大学物理下册课后习题答案

习题八

8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷

1q212cos30??4π?0a24π?0解得 q???qq?(32a)3

3q 3 (2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的

解: 如题8-2图示

Tcos??mg??q2 ?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?

解得 q?2lsin?4??0mgtan? 8-3 根据点电荷场强公式E?q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强

→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: E??q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求

场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=

q24??0d2,又有人说，因为f=qE,E?q，所?0Sq2以f=．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少?

?0S解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个?0S1

q2板的电场为E?，另一板受它的作用力f?q，这是两板间相互作用?2?0S2?0S2?0Sqq的电场力．

????8-5 一电偶极子的电矩为p?ql，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为?,(见题8-5图)，且r??l．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量E?分

别为

pcos?psin?, = E?2??0r34??0r3???证: 如题8-5所示，将p分解为与r平行的分量psin?和垂直于r的分量psin?． ∵ r??l ∴ 场点P在r方向场强分量

pcos? Er?32π?0r垂直于r方向，即?方向场强分量

psin? E0?34π?0rEr=

题8-5图 题8-6图

-1

8-6 长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q 解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

dEP?1?dx 24π?0(a?x)l?2dx EP??dEP?l2??4π?02(a?x)?11?[?]

ll4π?0a?a???lπ?0(4a?l)2222

?9?1用l?15cm，??5.0?10C?m, a?12.5cm代入得

EP?6.74?102N?C?1 方向水平向右

1?dx(2) dEQ? 方向如题8-6图所示

4π?0x2?d22?由于对称性?dEQx?0，即EQ只有y分量，

l

2

∵ dEQy1?dx?4π?0x2?d22d2x?d222

l2l?2EQy??dEQyld??24π?222?dx(x2?d22)32

?以??5.0?10?9?l2π?0l?4d2

C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向

8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取dl?Rd?

题8-7图

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为

?Rd?方向沿半径向外 dE?24π?0R则 dEx?dEsin???sin?d?

4π?0R??cos?d?

4π?0R dEy?dEcos(???)?积分Ex???? sin?d???04π?0R2π?0R???Ey??cos?d??0

04π?0R?∴ E?Ex?，方向沿x轴正向．

2π?0R8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E

?q解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷在P点产生物强dEP方向如图，大小为

4??cos?1?cos?2? dEP?2l4π?0r2?4 3

∵ cos?1?l22l2cos?2??cos?1

r2?

∴ dEP??2l2

llr2?42?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?

?lr∴ dE??

222lll4π?0r2?r2?r2?4244π?0r2?

题8-8图

由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为

EP?4?dE??4?lr4π?0(r2?ll)r2?4222

∵ ??∴ EP?q 4l2qr4π?0(r2?ll)r2?422 方向沿OP

8-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个

面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面．q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量．(??arctan 解: (1)由高斯定理E?dS?s???R) xq?0

立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量?e?q． 6?0q 6?0q， 24?04

(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e?对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?

如果它包含q所在顶点则?e?0．

如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图

(3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为R2?x2的球冠面的电通量，球冠面积*

S?2π(R2?x2)[1?∴ ??xR?x22]

q0S?04π(R2?x2)??xq[1?]

222?0R?x*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

S??2πrsin??rd?

0?2πr2??0sin??d?

?5-3

?2πr2(1?cos?)

8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C·m求距球心5cm，

8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理E?dS?s?0?当r?5cm时，?q?0,E?0

r?8cm时，?q?p????q,E4πr2??q

?04π33(r ?r内) 34π32r?r内3?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． ∴ E?24π?0r4π33r?12cm时,?q?? ）(r外?r内34π33?r外?r内3?4.10?104 N?C?1 沿半径向外. ∴ E?24π?0r8-11 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．

???q解: 高斯定理?E?dS?

?????s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl

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