2018年高考江苏省南通学科基地密卷数学理科(9)

2018年高考模拟试卷（9）

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z1＝2+i，z1·z2()z2＝5，则z2＝ ▲ ．

3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的

频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．

（第3题）

（第4题）

4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机

分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．

26． 函数y?log2(3?2x?x)的值域为 ▲ ．

7． 已知P?ABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16π，且∠APO＝∠BPO＝∠CPO

＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．

y28． 已知双曲线x??1的左、右顶点为A、B，焦点在y轴上的椭圆以A、B为顶点，

42且离心率为

3，过A作斜率为k的直线l交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N，2若AN?NM，则k的值为 ▲ ．

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9． 已知函数f(x)＝cosx(sin x＋cosx)?1?2 ，若f(?)?，则cos(?2?)的值为 ▲ ．246

10．已知?an?是首项为1，公比为2的等比数列，数列?bn?满足b1?a1，且bn?a1?a2??an?1?an?an?1?值为 ▲ ．

?a2?a1（n≥2,n?N?），若am?(bm?28)?2018，则m的

11．定义在??1,1?上的函数f(x)?sinx?ax?b(a?1)的值恒非负，则a?b的最大值

为 ▲ ． 12．在△ABC中，若

352115??，则cosC的值为 ▲ ．

CA?ABAB?BCBC?CA2213．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x?y?1，直线l:x?ay?3?0，过直线l上一

点Q作圆O的切线，切点为P,N，且QPQ?N?2，则正实数a的取值范围是 ▲ ． 3214．已知偶函数y?f(x)满足f(x?2)?f(2?x)，且在x???2,0?时，f(x)??x?1，

若存在x1，x2，，xn满足0≤x1?x2?且f?x1??f?x2??f?x2??f?x3??为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?Asin?x????A?0,0?????的最小值是－2，其图象经过 点M(,1)．

?xn，

?f?xn?1??f?xn??2017，则xn最小值

?3f(x)的解析式；

?824（2）已知?,??(0,)，且f(?)?，f(?)?，求f(???)的值．

2513（1）求

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16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，?BAD?90?，AD∥BC，AD?2BC，AB?PA． （1）求证：平面PAD?平面ABCD；

（2）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB．

P E D C （第16题）

A

17．（本小题满分14分）

B 有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；

（2）若要在△ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求

这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和?)

18．（本小题满分16分）

22如图，点an?1?2an?8，{bn}，Sn分别为椭圆bn?bn?1?4Sn+25的左、右顶点和右

D A O B （第17题） ?焦点，过点n?N的直线{an}（异于{bn}轴）交椭圆C于点{bn}，cn?an?bn．

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（1）若AF?3，点4r，s，t与椭圆C左准线的距离为5，求椭圆C的方程； （2）已知直线(r?s?t)的斜率是直线r，s，t斜率的f(m?x)?f(x)倍． ① 求椭圆C的离心率；

② 若椭圆C的焦距为f(m?x)?f(x)，求△AMN面积的最大值．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?xlnx?ax．

2yMAOFBxN（第18题） ?2)． （1）若曲线y?f(x)在x?1处的切线过点A(2，① 求实数a的值；

f(x)1，当s?0时，试比较g(s)与g()的大小； xs1 （2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2（x1?x2），求证：f(x1)??．

2② 设函数g(x)? 20．（本小题满分16分）

设数列{an}的各项均为不等的正整数，其前n项和为Sn，我们称满足条件“对任意的

m，n?N*，均有(n?m)Sn?m?(n?m)(Sn?Sm)”的数列{an}为“好”数列．

n?1*{bn}是否为“好”数列，（1）试分别判断数列{an}，其中an?2n?1，bn?2，n?N，

并给出证明；

高三数学试卷 第 4 页 共 20 页

（2）已知数列{cn}为“好”数列．

① 若c2017?2018，求数列{cn}的通项公式；

② 若c1?p，且对任意给定正整数p，s（s?1），有c1，cs，ct成等比数列， 求证：t≥s．

22018年高考模拟试卷（9）

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，连接AD交⊙O于E，若BD∥CE， AB交CE于M，求证：AB?AE?AD

B．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）

CED2AMB（第21-A）

?x??x???x?2y?已知点A在变换T:????????作用后，再绕原点逆时针旋转90?， ?yyy??????4)，求点A的坐标． 得到点B．若点B的坐标为(?3，

C．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，圆C的方程为??2acos?(a?0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴

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正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为?与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．

D．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）

已知正数a,b,c满足2a?3b?6c?2，求

?x?3t?1,，若直线l (t为参数）

?y?4t?3321??的最小值． abc【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答． ．．．．．．．．22．已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，延长BB1至M，使BB1?B1M， ?ABC为等边三角形，

连接A1M,AC1C?90． 1,CM，若?MA（1）求直线C1M与平面CA1M所成角的正弦值；

A1B1?M（2）求平面CA1M与平面AAC11C所成的锐二面角．

23．（本小题满分10分）

kk?1（1）求证：kCn?k?(n?k)Cn?k?1；

AC1BC （第22题）

(?1)n1nC2017? （2）求证：?． ?n2017?n2017n?01008

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2018年高考模拟试卷（9）参考答案

数学Ⅰ

一、填空题： 1．【答案】4

【解析】因为A∩B ={4}，所以4∈A，故x＝4． 2．【答案】2+i

5－【解析由z1·z2＝5，得－z2＝2+i＝2－i，所以z1＝2+i． 3．【答案】50

【解析】三等品总数n?[1?(0,05?0.0375?0.0625)?5]?200?50． 4．【答案】30

【解析】A?3，N?1，输出3；A?6，N?2，输出6；A?30，N?3，输出30；则这列数中的第3个数是30． 15．【答案】

5【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）

（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率P?6．【答案】???,2?

【解析】因为3?2x?x2??(x?1)2?4??0,4?，所以log2(3?2x?x2)????,2?，即值域为

21?． 105???,2?．

7．【答案】93 4【解析】设球的半径为R，△ABC的外接圆圆心为O′，则由球的表面积为16π， 可知4πR2＝16π，所以R＝2.设△ABC的边长为2a，

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因为∠APO＝∠BPO＝∠CPO＝30°，OB＝OP＝2， 所以BO′＝

3

R＝3，OO′＝OB2－BO′2＝1， 2

23

PO′＝OO′＋OP＝3.在△ABC中，O′B＝××2a＝3，

32

3119所以a＝，所以三棱锥PABC的体积为V＝××32×sin60°×3＝3. 2324

8．【答案】?23

3【解析】对于椭圆，显然b?1,AN?NM得

2x0(2x0?1)222因为点M在双曲线上，点N在椭圆上，所以?y0?1，M(2x0?1,2y0)．?4y0?1，

442c3，所以椭圆方程为x?y2?1，设N(x0,y0)，则由?4a2解得，x0?1,y0??3，故直线l的斜率k??23．

2319．【答案】

31＋cos 2x111111

解析一：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－2＝sin xcosx＋cos2x－2＝2sin 2x＋－＝sin 2x＋2222π?2?2?12x＋cos 2x＝2sin，因为，所以f(?)?sin(2??)?，所以4??643????1??cos(?2?)?cos??(2??)??sin(2??)?。

44?43?21＋cos 2x111111解析二：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－2＝sin xcosx＋cos2x－2＝2sin 2x＋－＝sin 2x＋2222cos 2x， 因为f(?)?22，所以sin 2α＋cos 2α＝3， 6???2221cos(?2?)?coscos2??sinsin2???cos2??sin2?????4442233。 所以

10．【答案】10

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【解析】因为?an?是首项为1，公比为2的等比数列，所以an?2n?1，

a1(1?qn)a1(1?qn?1)?所以bn??2n?1?2n?1?1?3?2n?1?2，因为am?(bm?28)?2018，

1?q1?q所以2m?1?(3?2m?1?2?28)?2018，所以2m?1?512，即m?10． 11．【答案】sin1

【解析】由题可知sinx?ax?b?0恒成立，即sinx?ax?a?a?b恒成立，令

g(x)?sinx?ax?a，

所以g?(x?)cxo?sa?，所以g(x)?sinx?ax?a在[?1,1]上是减函数，所以

a?b?g(1)?sin1，

即a?b的最大值为sin1． 12．【答案】2 4?CA?A?B35,k?3521151?C21, k 所以【解析】设???，所以?AB?B?CA?ABAB?BCBC?CAk?A15,k??BC?C?cosA???bc?cosB???ac??abcosC??35k2 1k,15k,?a2?b2?c2?35k,?a2??36k,

?2?2a2?b2?c236?50?56222即?b?c?a?21k, 所以?b??50k, 所以cosC?． ??2ab42?6?52?2?222?c?a?b?15k,?c??56k,

13．【答案】[2,??) 【Q?解P|析

2?Q|】N?c设

2??PQO??(0???),OQ?d?12Qo?Ps ?2?(d?1，)?(则

1?(d2?1)(1?22222222x?y?3d?3，所以，解得，即点Q在圆)?d??3d??3?d2d2d23上．

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又点Q在直线l:x?ay?3?0上，所以圆心O到直线l的距离a≥2．31?a2≤3，所以正实数

14．【答案】1009 解析：因为偶函数y?f?x?满足f(x?2)?f(2?x)，所以f(x?4)?f(?x)?f(x)，

所以函数y?f?x?是最小正周期为4的偶函数，且在x???2,0?时，f?x???x2?1， 所以函数y?f?x?的值域为[﹣3，1]，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使xn取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，且f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为0≤x1?x2??xn，且

f?x1??f?x2??f?x2??f?x3???f?xn?1??f?xn??2017，

根据2017?4?504?1，相应的xn最小值为1009． 二、解答题：

15．【解】（1）因为f(x)的最小值是－2，所以A＝2． …… 2分

???1又由f(x)的图象经过点M(,1)，可得f()?1，sin(??)?， …… 4分

3332?????所以???2k??或???2k??，

3636?

又0????，所以??，

2?故f(x)?2sin(x?)，即f(x)?2cosx． …… 6分

2824（2）由（1）知f(x)?2cosx，又f(?)?，f(?)?，

513824412故2cos??,2cos??，即cos??,cos??， …… 8分

513513?35又因为?,??(0,)，所以sin??,sin??， …… 10分

2513所以f(???)?2cos(???)?2(cos?cos??sin?sin?) …… 12分

41235126． …… 14分 ?2(???)?5135136516．【证】（1）在四棱锥P?ABCD中，因为?BAD?90?，

所以AB?AD．

又AB?PA，且AP?平面PAD，AD?平面PAD，ADAP?A，

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所以AB?平面PAD． …… 4分

又AB?平面ABCD，所以平面PAD?平面ABCD． …… 7分

（2）取AP的中点F，连EF，BF．

1AD，又AD∥BC，BC?1AD，

22所以EF∥BC，且EF?BC，所以四边形BCEF为平行四边形， 在△PAD中，EF∥AD，且EF?所以CE∥BF． …… 11分

因为CE?平面PAB，BF?平面PAB，

所以CE∥平面PAB． …… 14分

17.【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,2)． （1）小路的长度为OA?OB?AB，因为OA,OB长为定值， 故只需要AB最小即可．

作OM?AB于M，记OM?d，则AB?2OA2?OM2?24?d2， B D 又d≤OD?2，故AB≥24?2?22， A 此时点D为AB中点．

故小路的最短长度为4?22(百米)．……………4分 （2）显然，当广场所在的圆与△ABO内切时， 面积最大，设△ABO的内切圆的半径为r， y O x 1AB?d，……………6分 22ABAB2?(16?AB2)222由弦长公式AB?24?d可得d?4?，所以r?，………8分

4(AB?4)24则△ABO的面积为S?ABO?(AB?AO?BO)?r?12x2?(16?x2)x2?(4?x)?设AB?x，则r?f(x)?， 2（4x?4）4(x?4)所以

?2x3?8x?32x?2x?(x?4x?16)f'(x)??， …………………………………10分

4(x?4)24(x?4)222又因为0?d≤OD，即0?d≤2，所以x?AB?24?d2??22,4，……………12

?分

??2x?(x2?4x?16)?0，所以f(x)max?f(22)?6?42 ， 所以f'(x)?4(x?4)2高三数学试卷 第 11 页 共 20 页

即△ABC的内切圆的面积最大值为(6?42)?．………………………………………14分

?a?c?3,?2?a?5, …… 2AF?3，点F与椭圆C左准线的距离为5，??c?c??c?a2?b2,?18．【解】（1）

分

?x2y2?a?2,?椭圆C的方程为 解得???1． …… 4分

43b?3,??（2）①法一：显然A(?a,0)，B(a,0)，F(c,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

x12b22则点M在椭圆C上，?y?b(1?2)??2(x1?a2)，

aa22yyyb?kMA?kMB?1?1?212??2(i)x1?ax1?ax1?aa212，

…… 6分

设直线MN:x?my?c，

x2y2与椭圆C:2?2?1(a?b?0)联立方程组消去x得：

ab(a2?m2b2)y2?2cmb2y?b4?0，其两根为y1，y2， ?2cmb2y?y2??2,??1a?m2b2??b4?yy??,12?a2?m2b2?(*)

…… 8分

?kBM?kBN?y1yy1y2?2?? x1?ax2?amy1?c?amy2?c?ay1y2， ?2my1y2?m(c?a)(y1?y2)?(c?a)2代入上式化(*)将

kBM?kBN简得：

b4??2(ii) …… 10分

a(a?c)2又2kMA?kBN(iii)

2b2b4由(i)(ii)(iii)得：?2??2，

aa(a?c)21?a2?4ac?3c2?0，即3e2?4e?1?0，解得e?或e?1，

31又0?e?1，?e?，即椭圆C的离

3高三数学试卷 第 12 页 共 20 页

心率为

1． …… 12分 3法二：显然A(?a,0)，B(a,0)，F(c,0)， 2kMA?kB，N?设直线MA的方程为y?k(x?a)，直线NB的方程为y?2k(x?a)，

?y?k(x?a),? 由?x2y2得(a2k2?b2)x?2a3k2x?(a4k2?a2b2)?0，

?2?2?1b?aa3k2?ab2 注意到其一根为x??a，?另一根为x??22，

ak?b2a3k2?ab22kab2，即?y?k(?22?a)?22ak?b2ak?b22a3?2k2a2bk． …… 6分 M(?2,)a??k2b2a2k2?y?2k(x?a),?2 同理由得?xy2??1?2b2?a4a3k2?ab24kab2N(22,?22)． …… 8分 224ak?b4ak?b 由M，N，F三点共线得：FM//FN，

a3k2?ab24kab24a3k2?ab22kab2?， (?22?c)(?22)?(22?c)22?0ak?b24ak?b24ak?b2ak?b2 …… 10分

化简得：(a?3c)(2a2k2?b2)?0，?a?3c，

c1，即椭圆的离心率为?e??Ca31． …… 12分 3②由①a?3c，又椭圆C的焦距为2，?c?1，?a?3，?b2?a2?c2?8，

16m?y?y??,12??9?8m2 由①方法一得?

64?yy??,12?9?8m2?11 ??AMN面积S?AFy1?y2??4(y1?y2)2?4y1y2 2296m2?1?,m?R …… 9?8m214分

令t?m2?1,m?R，则S?

96t,t?1， 1?8t296(1?8t2)96tS???0，?S?在[1,??)为减函数， 22(1?8t)1?8t2高三数学试卷 第 13 页 共 20 页

?t?1，即m?0时，Smax?16分

3232，即?A …… MN面积的最大值为．3319．【解】（1）①因为f?(x)?lnx?2ax?1，所以f?(1)?2a?1， 由曲线y?f(x)在x?1处的切点为(1，a)，

所以在x?1处的切线方程为y?a?(2a?1)(x?1)．

因为切线过点A(2，?2)，所以a??1． …… 4分 ②g(x)?lnx?x，

由g(s)?g(1)?(lns?s)?(ln1?1)?2lns?s?1． …… 6分

ssss(s?1) 设h(s)?2lns?s?1（s?0），所以h?(s)?2?1?1??≤0，

sss2s2所以h(s)在(0，??)为减函数．

()?g()1；()?g()1；因为s?0，所以当s?1时，有s?1，则gs当s?1时，有s?1，则gs

ssss2当0?s?1时，有s?1，则g(s)?g(1)． …… 10分

ss（2）由题意，f?(x)?lnx?2ax?1?0有两个不等实根x1，x2（x1?x2）． 设g(x)?lnx?2ax?1，则g?(x)?1?2a（x?0），

x当a≥0时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,??)上是增函数，不符合题意； 当a?0时，由g?(x)?0，得x??1?0，

2a列表如下： x

g?(x) g(x)

(0,?1)

2a? ↗

?1 2a0 极大值

(?1,??) 2a? ↘

由题意，

g(?1)?ln(?1)?0，解得?1?a?0，所以g(1)?1?2a?0，

2a2a2因为x1?x2，所以0?x1?1． …… 13分 因为f?(x1)?lnx1?2ax1?1?0，所以ax1??1?lnx1， 2高三数学试卷 第 14 页 共 20 页

所以f(x1)?x1lnx1?x1?令?(x)?1?lnx1x1(lnx1?1)?（0?x1?1）． 22x(lnx?1)（0?x?1）， 2因为??(x)?lnx?0，所以?(x)在(0,1)上为减函数，

2所以?(x1)??(1)??1，即f(x1)??1，

22所以，命题得证． …… 16分 20．【解】（1）若an?2n?1，则Sn?n2，所以(n?m)Sn?m?(n?m)(n?m)2，而(n?m)(Sn?Sm)?(n?m)(n2?m2)?(n?m)2(n?m)， 所以(n?m)Sn?m?(n?m)(Sn?Sm)对任意的m，n?N*均成立，

即数列{an}是“好”数列； 若b1n?2n?，取n?2，m?1，

则(n?m)Sn?m?S3?7，(n?m)(Sn?Sm)?3b2?6， 此时(n?m)Sn?m?(n?m)(Sn?Sm)，

即数列{bn}不是“好”数列． （2）因为数列{cn}为“好”数列，取m?1，则

(n?1)Sn?1?(n?1)(Sn?S1)，即2Sn?(n?1)an?1?(n?1)a1恒成立．

当n≥2，有2Sn?1?(n?2)an?na1，

两式相减，得2an?(n?1)an?1?(n?2)an?a1（n≥2）， 即nan?(n?1)an?1?a1（n≥2）， 所以(n?1)an?1?(n?2)an?a1（n≥3）， 所以nan?(n?1)an?1?(n?1)an?1?(n?2)an，

高三数学试卷 第 15 页 共 20 页

…… 2分 …… 4分

即(2n?2)an?(n?1)an?1?(n?1)an?1，即2an?an?1?an?1（n≥3）， 当n?2时，有2S2?a3?3a1，即2a2?a3?a1， 所以2an?an?1?an?1对任意n≥2，n?N*恒成立，

所以数列{cn}是等差数列． …… 8分 设数列{cn}的公差为d，

① 若c2017?2018，则c1?2016d?2018，即d?2018?c1，

2016因为数列{cn}的各项均为不等的正整数，所以d?N*，

所以d?1，c1?2，所以cn?n?1． …… 12分 ② 若c1?p，则cn?dn?p?d，

由c1，cs，ct成等比数列，得cs2=c1ct，所以(ds?p?d)2?p(dt?p?d)， 即(p?d)(2ds?p?d?p)?d(ds2?pt)?0 化简得，p(t?1?2s)?d(s?1)2，

sp． …… 14分 即d?t?1?22(s?1)s?N*， 因为p是任意给定正整数，要使d?N*，必须t?1?22(s?1)s，由于s是任意给定正整数， 不妨设k?t?1?22(s?1)所以t?k(s?1)2?2s?1≥(s?1)2?2s?1?s2． …… 16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案

21A. 【解】连接CB

因为AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，

高三数学试卷 第 16 页 共 20 页

所以AB?BD

因为BD∥CE，所以AB?CE

因为AB交CE于M，所以M为CE的中点， 所以AC=AE，?CAB??EAB……………………5分

因为BD是⊙O的切线，所以∠ABD=90° CMBAED因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90° 所以∠ACB=∠ABD

因为?CAB??EAB，所以△ACB∽△ABD 所以

ACABAB?AD，所以AB2?AD?AC 即AB2?AE?AD……………………10分

21B. 【解】?0?1??12??0?1??10?????01?????12?． ?设A(a,b)，则由?0?1???a??12????b?????3????b??3,?4?，得???a?2b?4.． 所以??a??2,?b?3,即A(?2,3)． 21C．【解】由??x?3t?1?y?4t?3(t为参数）

，可得直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0， 由??2acos?(a?0)得?2?2?acos? 所以，圆C的标准方程为(x?a)2?y2?a2， 若直线l与圆C恒有公共点， 所以，4a?542?(?3)2?a

所以，实数a的取值范围a??59或a?5． ………10分

21D．【解】由于a,b,c?0，

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…… 4分 …… 8分 …… 10分

所以

3213321???(a?b?3c)(??)abc2abc

?(a3321??3c)2?(3?3?3)2?27 a2bc3ba23c 当且仅当??，即a:b:c?3:2:1时，等号成立.

321abc 所以

321??的最小值为27. …… 10分 abc22.解：以BC的中点O为原点，分别以BC,AO,OF的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建

立空间直角坐标系O?xyz， （1）设AB?a,AA1?b，

3111所以，C(a,0,0)，A1(0,?a,b)，M(?a,0,2b)，C1(a,0,b)

2222ZM若?MA1C?90?，则A1M?A1C?0，

?1??1?33?a,a,b?a,a,?b所以，????2???2??0，所以，a?2b， 22????A1B1C1??n1?A1C?0, 设面CA1M的法向量为n1??x,y,z?，所以，???n1?CM?0,?132?AC?a,a,?a??又因为，1?22?，CM??a,0,2a， 2??AOCxBy???132ay?az?0,?ax? 所以，n1?2,0,2， 22即?2??ax?2az?0,????2??a,0,a?又因为C1M????，设直线C1M与平面CA1M所成角为?， 2??高三数学试卷 第 18 页 共 20 页

所以，sin???a6a?62?1， 31。 ……5分 3所以，直线C1M与平面CA1M所成角的正弦值为（2）连结CM交B1C1于点F，则OF⊥面ABC,

?1??32?a,a,0AA?0,0,a?又因为，AC?? ，??1?2???， 22??????n2?AC?0, 设面AA1C1C的法向量为n2??x,y,z?，所以，?n?AA?0,??11?13ay?0,?ax??22 所以，n1??3,3,0， 即??2az?0,??2??所以，cosn1,n2??6612?2， 2所以，面CA1M与面AA1C1C所成的锐角二面角为45?。 ……10分

k23. 解析：（1）由kCn?k?n(n?1)(n?2)k!(n?k?1)?n(n?1)(n?2)(n?k?1)k?1?nCn?1

(k?1)!kk?1 所以kCn?k?(n?k)Cn?k?1 ． …… 3分

法二：证明也可直接用组合数定义证明，如下：

k kCn?k?k?1008(n?k)!n(?k?1)!k?1?(n?k)??n(?kC)n?k?1 …… 3分

k!?(n?k2)!k?(n1?)!k(2)!?11008 C10091009(?1)n1111n0123 （2）?C2017C2017?C2016?C2015?C2014?n?2017201620152014n?02017?n ??1?0123123C?(1?)C?(1?)C?(1?)C20172016201520142017?201620152014?1?0123(C2017?C2016?C2015?C2014?2017?1008?C1009)?(?(1?10081008?)C1009? 1009??123123C2016?C2015?C20142016201520141008100C10091009

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由（1）得， 则有

kkk?1，n=2017,k依次取1,2，……， Cn?1?Cn?k?1n?k100810081007 C1009?C10081009121021C2016?C2015,C2015?C2014,20162015所以，…… 原式?6分

0122?Cn 构造数列?an?，令an?Cn?1?Cn?2?Cn?3?10?(C2017?C12016?C22015?C3?20172014?C10081009)?(C0?C20151?2014C22013?C1007…… ?)?1008

0122 则an?1?Cn?1?Cn?Cn?1?Cn?2?

0122)?(Cn?1?Cn?Cn?1?Cn?2?0122 所以an?1?an?(Cn?1?Cn?Cn?1?Cn?2?)

00112233 ?(Cn?1?Cn)?(Cn?Cn?1)?(Cn?1?Cn?2)?(Cn?2?Cn?3)?

012 ??Cn?1?Cn?2?Cn?3???an?1

所以an?1?an?an?1，即an?2?an?1?an?(an?an?1)?an??an?1， 即an?3??an，所以an?6??an?3?an，即数列?an?是周期为6的数列．

又因为a1?1,a2?0,a3??1,a4??1,a5?0,a6?1,1008a2017?a1?1,a2015?a5?0

(?1)n11n所以?． …… 10分 C2017?a?a????n2017201520172017n?02017?n

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