信号与系统课件(郑君里) 第三章

§3.1 引言
1
频域分析从本章开始由时域转入变换域分析， 时域转入变换域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的， 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 频域分析）。将信号进行正交分解 分析）。将信号进行正交分解， （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量， 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。 制和频分复用等重要概念。2
? 时域分析：信号或者系统模型的自变量 为时间（t） ? 变换域分析：自变量为其他物理量 ? 频域分析：自变量为频率。 ? 相互关系密切3
?1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 年 法国数学家傅里叶 在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论” 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 ?泊松 泊松(Poisson)、高斯 等人把这一成果应用到电学中去， 泊松 、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得 等人把这一成果应用到电学中去 到广泛应用。 到广泛应用。 ?19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 世纪末， 世纪末 人们制造出用于工程实际的电容器。 ?进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 进入20世纪以后 进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 前景。 ?在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中， 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中 具有很多的优点。 具有很多的优点。 ?“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 “ 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力4
发展历史
主要内容?本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论， 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论 傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 傅里叶变

换，建立信号频谱的概念。 ?通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究， 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究 掌握傅里叶分析方法的应用。 掌握傅里叶分析方法的应用。 ?对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅 对于周期信号而言， 对于周期信号而言 在进行频谱分析时， 里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于 里叶级数，也可以利用傅里叶变换， 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 ?本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换， 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换 引入抽样定理。
5
线性时不变（LTI)系统分析方法? 基本思路：已知一些基本信号，将任意一个信号e(t) 基本思路：（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合 来表示（信号分解），如果已知基本信号通过LTI系统的 响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的 线性组合来表示。 ? 这些基本信号应该具备下列性质： 1、由这类基本信号能构成相当广泛的一类信号 2、LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上因该 十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一个方便的表 达式。
δ(t)，冲激响应，卷积 ，冲激响应，6
正弦信号通过LTI系统电阻 电容1 iR (t ) = v(t ) R d v(t ) iC (t ) = C dti L (t ) = 1 t v (τ ) d τ L ∫? ∞
电感
diL (t ) v(τ ) = L dt
当
iL (t ) = A sin(ωt + θ ) vC
时 (t ) = A sin(ωt + θ )
电阻 电容
A 1 iR (t ) = v(t ) = sin( ωt + θ ) R R
diL (t ) d ( A sin( ωt + θ )) = LAω cos(ωt + θ )7 电感v(τ ) = L dt = L dt
d v(t ) d ( A sin( ωt + θ )) =C = ACω cos(ωt + θ ) iC (t ) = C dt dt
? 指数信号与正弦信号具有相同的特性
? 由系统的组成来说：当输入为指数信号时， 系统的输出一定也是一个指数信号，只不 过指数信号幅值发生变化。
8
指数信号通过LTI系统的输出利用卷积法：输入为 e jωt
re jωt (t ) = ∫ e?∞
∞
jωτ
h (t ? τ ) dτ = ∫ e jω ( t ?τ ) h (τ ) dτ?∞ jω t
∞
=∫ e e?∞
∞
jω t
? jωτ
h (τ ) dτ = e? jωτ
∫
∞
?∞
e ? jωτ h (τ ) dτ
设 H( jω) = ∫?∞ e
∞
re jωt (t ) = e jωt H ( jω ) h(τ )dτ 则
输入为正弦信号？
9
δ(t)
h（t）
e (t ) = ∫ e(τ )δ (t ? τ ) d τ∞ ?∞
r (t ) = ∫ e (τ )h(t ? τ ) d τ∞ ?∞
e(t) ejωt
r（t）
re jωt (t ) = e jωt H ( jω ) H（t）r (t ) = H (ω0 ) sin [ω0t + ? (ω0 )]Sin(ωt) f(t)∞
H（t） r（t）
f (t ) = a0 + ∑ [an cos(nω1t ) + bn sin (nω1t )]n =1
10
二．正弦信号激励下系统

的稳态响应设激励信号为 sin(ω 0 t )， 系统的频率响应为H (ω ) = H (ω ) e j? (ω )， 则系统的稳态响应为
r (t ) = H (ω0 ) sin [ω0t + ? (ω0 )]正弦信号sin(ω 0 t )作为激励的稳态响应为 与激励同 H ( jω )代表了系统对信号的处 理效果。 理效果 。
频率的信号， H 加权， 频率的信号 ， 幅度由 ( jω 0 ) 加权 ， 相移? (ω 0 )。
11
12
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
13
主要内容?三角函数形式的傅氏级数 三角函数形式的傅氏级数 ? 指数函数形式的傅氏级数 ?两种傅氏级数的关系 两种傅氏级数的关系 ? 频谱图 ?函数的对称性与傅里叶级数的关系 函数的对称性与傅里叶级数的关系 ?周期信号的功率 周期信号的功率 ?傅里叶有限级数与最小方均误差 傅里叶有限级数与最小方均误差
14
一．三角函数形式的傅里叶级数1.三角函数集 {cos(nω 1t ), sin(nω 1t )} 是一个完备的正交函数集由积分可知 t在一个周期内，n=0,1,...∞ 在一个周期内， 在一个周期内 ∞T 2 T ? 2 T 2 T ? 2
∫
cos(nω 1 t ) ? sin(m ω 1 )t = 0
?T ? , ∫ cos(nω 1t ) ? cos(mω 1t ) = ? 2 ? 0, ? T ?T ? , 2 ∫? T2 sin(nω 1t ) ? sin(mω 1t ) = ? 2 ? 0, ?
m=n m≠n
m=n m≠n15
2．级数形式2π 周期信号 f (t ) , 周期为T1 , 基波角频率为 ω 1 = T1 在满足狄氏条件时， 在满足狄氏条件时，可展成f ( t ) = a0 + ∑ [a n cos(nω 1 t ) + bn sin(nω 1t )]n =1 ∞
(1)
称为三角形式的傅里叶级数， 称为三角形式的傅里叶级数，其系数1 t0 +T 直流分量 a0 = ∫ f (t ) d t T t0 2 t 0 +T 余弦分量的幅度 an = ∫t f ( t ) cos(nω 1t )d t T 0
2 正弦分量的幅度 bn = T
∫
t0 +T
t0
f ( t ) sin(nω 1t ) d t
16
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。A f (t ) = t T1T1 2 T ? 1 1 2 T1 2 T ? 1 1 2 T1 2 T ? 1 1 2
T1 ? ? T1 ?? ≤ t ≤ ? 2? ? 2? T1 2
f (t )A/2 /2T1 2t
1 A a0 = ∫ tdt = 0 T T1 2 A t cos(nω 1 t ) d t = 0 an = ∫ T1 T
2 A A bn = ∫ t sin(nω 1 t ) d t = ( ?1) n+1 n = 1,2,3 L T T1 nπ 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 A A f (t ) = 0 + sin ω 1t ? sin 2ω 1 t ? L π 2π 17直流 基波 谐波
2π ω1 = T1
其他形式余弦形式f ( t ) = c 0 + ∑ c n cos(nω 1 t + ? n )n =1 ∞
(2)
c0 = a0
cn = a + b2 n∞
2 n
an = cn cos ? n bn = ? cn sin ? n正弦形式n =1
? ? bn ? ? n = arctan ? ? a ? ? ? n ?
f ( t ) = d 0 + ∑ d n sin(nω 1 t + θ n )
d 0 = a0 a n = d n sinθ n
dn =
2 an
2 + bn
bn = d n cosθ n
? an ? θ n = arctan ? ? ? bn ?
18
幅度频率特性和相位频率特性， 基波（ ） 周期信号可分解为直流 基波 （ω 1 和各次谐波 基波角频率的整数倍） 的线性组合。 （

nω 1 : 基波角频率的整数倍 ） 的线性组合 。cn ~ ω 关系曲线称为幅度频谱图； 关系曲线称为幅度频谱图；
? n ~ ω关系曲线称为相位频谱图。 关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。 可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
19
频谱图幅度频谱 cn ~ ω或 Fn ~ ω曲线c0 cn
c1
离散谱， 离散谱，谱线
c3
相位频谱
O ω1
3ω 1
ω
? n ~ ω曲线
?n
π
O
ω1
3ω 1
20 ω
二．指数函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集 e j nω 1t 2．级数形式 3．系数 利用复变函数的正交特性f (t ) =∞ n = ?∞
{
}
n = 0,±1,±2 Lj nω 1 t 1
∑ F ( nω ) e
(4)
∫ F ( nω ) = ∫1
T1
0 T1 0
f ( t ) e ? j nω 1 t d t e j nω1t e ? j nω 1t d t
1 T1 = ∫ f (t )e ? j nω1t d t T1 0
( 5)
21
说明f (t ) =n = ?∞
F ( n ω 1 ) e j nω 1 t ∑
∞
(4)( 5)
1 T1 ? j nω1t F ( nω1 ) = ∫ f (t ) e dt 0 T1
? 周期信号可分解为 (? ∞ , ∞ )区间上的指数信号e j nω1t 的线性组合。 的线性组合 。
惟一确定， (5 (4 ? 如给出F ( nω 1 )， 则f (t )惟一确定 ，)、 )式是一对 变换对。 变换对 。22
三．两种系数之间的关系及频谱图1 F ( nω 1 ) = T
∫
T
0
f ( t )e ? j nω1t d t
利用欧拉公式
1 T 1 T = ∫ f ( t ) cos(nω 1t ) d t ? j ∫ f ( t ) sin(nω 1t ) d t T 0 T 0 1 = (a n ? jbn ) 2 1 T 1 T F ( ? nω 1 ) = ∫ f ( t ) cos(nω 1t ) d t + j ∫ f ( t ) sin(nω 1t ) d t T 0 T 0 1 = (a n + j bn ) 2
F ( nω 1 ), F ( ? nω 1 )是复数
F (nω 1 ) = F ( nω 1 ) e j? n23
幅频特性和相频特性幅频特性 相频特性an bn F ( nω 1 )
1 2 1 2 F ( nω 1 ) = a n + bn = c n 2 2? ? bn ? ? n = arctan ? ? a ? ? ? n ?取正值） 的偶函数（ 关于ω的偶函数 （ 实际 n 取正值 ） 的奇函数（ 取正值） 关于ω的奇函数 （ 实际 n 取正值 ） 关于ω的偶函数 关于 ω的奇函数24
? (nω 1 )
π? ? 已知f ( t ) = 1 + sin ω 1t + 2 cos ω 1t + cos? 2ω 1 t + ?， 4? ? 请画出其幅度谱和相位谱。 请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式π? ? f ( t ) = 1 + 5 cos(ω 1t ? 0.15π ) + cos? 2ω 1t + ? 4? ? 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图cn c 1 c0
c0 = 1
?0 = 0
2.24
?n0.25π
c1 = 5 = 2.236 ? 1 = ?0.15 π
c2
c2 = 1
? 2 = 0.25 π25
1
1
O
ω1
2ω 1 ω
ω1O
2ω 1 ω
? 0.15π
X
化为指数形式1 jω 1t f (t ) = 1 + e ? e ? jω 1t 2j
(
)
π? π? ? ? ? ? 2 j nω 1 t + ? ? 2 jω 1t 1 ? ? 2 jω 1t + 4 ? 4? ? + e + e ? jω 1t + ?e? +e ? ? 2? ? 整理 2 ? ? ? 1 ? jω 1t ? 1 ? ? jω 1t 1 jπ j 2ω 1t 1 ? jπ ? j 2ω 1t f ( t ) = 1 + ? 1 + ?e + ? 1 ? ?e + e 4e + e 4e ? ? 2 j

? 2 j? 2 2 ? ? ? ? 2 = ∑ F ( n ω 1 ) e j nω 1 t
(
)
指数形式的傅里叶级数的系数? 1? F (0) = 1 F (ω 1 ) = ? 1 + ? = 1.12e ? j0.15π ? 2j ? ? ? ? 1? F (? ω 1 ) = ? 1 ? ? = 1.12e j0.15π ? 2j ? ? ?1 jπ F (2ω 1 ) = e 4 2 1 ? jπ F (? 2ω 1 ) = e 4 2
n = ?2
26
谱线F0 = F ( 0) = 1 F1 = F (ω 1 ) = 1.12 F?1 = F ( ?ω 1 ) = 1.12 F2 = F ( 2ω 1 ) = 0.5 F? 2 = F ( ?2ω 1 ) = 0.5
?0 = 0
? 1 = ?0.15 π? ?1 = 0.15 π
? 2 = 0.25 π? ? 2 = ?0.25 π?n
指数形式的频谱图F (nω 1 )
0.5
1.12
1
1.12
0.52ω 1 ω
0.15 π? 2ω 1? ω1
0.25 π
? 2ω 1 ? ω 1
O
ω1
ω1O? 0.15 π
2ω 1 ω27
? 0.25 π
三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图cn c 1 c02.24
?n0.25 π
c2
1
1
O
ω1
2ω 1 ω
ω1O
2ω 1 ω
指数形式的频谱图F (nω 1 )
? 0.15 π
?n0.52ω 1 ω
0.5
1.12
1
1.12
0.15 π? 2ω 1? ω1
0.25 π
? 2ω 1 ? ω 1
O
ω1
ω1O? 0.15 π
2ω 1 ω28
? 0.25 π
四．总结（1）周期信号 的傅里叶级数有两种形式 ）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 ） （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 ）周期信号的频谱是离散谱， （4）引入负频率 ）
29
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式f ( t ) = a0 + ∑ [a n cos(nω 1 t ) + bn sin(nω 1 t )]∞
∞
n =1
= c0 + ∑ cn cos( nω 1t + ? n )n =1
指数形式
f (t ) =
n = ?∞
∑ F ( nω )1
∞
e
j nω 1 t
30
(2)两种频谱图的关系● 三角函数形式 ： n ~ ω，? n ~ ω 三角函数形式： c
单边频谱 双边频谱F0 = c0 = a0
指数函数形式： F 指数函数形式 ：n ~ ω，? n ~ ω1 关系 F ( nω 1 ) = cn (n ≠ 0) 2● 指数形式的幅度频谱为 偶函数
F ( nω 1 ) = F ( ? nω 1 )●
相位频谱为奇函数 ? ( nω 1 ) = ?? ( ? nω 1 )31
(3)三个性质收敛性： 收敛性 ： n ↑ , F (nω 1 ) ↓ 谐波性： 离散性）， ），频率只出 谐波性 ： （ 离散性 ）， 频率只出 现在nω 1处 惟一性： 惟一性 ： f ( t )的谱线唯一
注意： 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率对于双边频谱， 只有数学意义， 对于双边频谱 ，负频率 ( nω 1 ) ，只有数学意义 ，而无 物理意义。为什么引入负频率? 物理意义 。为什么引入负频率?f (t )是实函数 ， 分解成虚指 ， 必须有共轭对 是实函数， 数 e j nω 1 和e－j nω 1， 才能保证f ( t )的实函数的性质不变 。 的实函数的性质不变。 32
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数 注：指交流分量
33
1．偶函数信号波形相对于纵轴是对称的f (t )
f (t ) = f (? t )bn = 04 an = T
E
L?TO
LT t
∫
T 2 0
f ( t ) cos(n

ω 1 t ) d t ≠ 0
1 1 F n= F ( nω 1 ) = (an ? jbn ) = an 2 2F ( nω 1 )为实函数 。 为实函数。
?n = 0
项 傅里叶级数中不含正弦 ， 只含直流项和余弦 。 项34
2．奇函数对称的：f ( t ) = ? f ( ? t ) 波形相对于纵坐标是反 对称的 ： 1 T f (t ) 2 a0 = ∫ T f ( t ) d t = 0 L 1 T ?22 an = T
Lt
∫
T 2 T ? 2
f ( t ) cos(nω 1 t ) d t = 0
?T
O ?1
T
2 bn = T
4 T2 ∫0 f (t ) sin(nω 1t )d t = T ∫0 f (t ) sin(nω1t )d t ≠ 0 1 1 Fn = F ( nω 1 ) = (an ? jbn ) = ? jbn 2 2T35
量 为虚函数。 傅里叶级数中无余弦分 ，F ( nω 1 )为虚函数 。
3．奇谐函数若波形沿时间轴平移半个周 期并相对于该轴上下反转， 期并相对于该轴上下反转， L 此时波形并不发生变化： 此时波形并不发生变化： ?T ? T? f (t ) = ? f ? t ± ? 2? ? f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即 的傅氏级数偶次谐波为零， 的傅氏级数偶次谐波为零 a0 = 0f (t )
LO T 2
T
t
n = 2,4,6 L时n = 1,3,5 L时
a n = bn = 0 4 T a n = ∫ 2 f ( t ) cos(nω 1 t ) d t T 0 4 T bn = ∫ 2 f ( t ) sin(nω 1 t ) d t T 0
36
4．偶谐函数T1 与原波形重合， 波形移动± 与原波形重合 ， 2 L 称为偶谐函数。 称为偶谐函数 。? (t ) = f ? t ± T1 ? f ? 2? ?2π ω1 = T1? T1
f (t )
LT1 O ? 2 T1 2T1
t
f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量 的傅氏级数奇次谐波为零， 的傅氏级数奇次谐波为零
当n = 1,3,5 L时当n = 2,4,6 L时
a n = bn = 04 a n = ∫ f ( t ) cos(nω 1 t ) d t T1 T1 4 2 bn = ∫ f ( t ) sin(nω 1 t ) d t T1 0T1 2 0
37
信号的分类 从不同的角度可以将信号分类为： 从不同的角度可以将信号分类为：? 确定性信号和随机信号 ? 周期信号和非周期信号 ? 连续时间信号和离散时间信号一维信号和多维 信号 ? 时限信号和非时限信号 ? 能量信号和功率信号 ? 电信号和非电信号 ? 实信号和复信号38
6.能量信号和功率信号 6.能量信号和功率信号Signal energy and power ? 能量信号：一个信号如果能量有限，称之为能量信号，如 持续时间有限的信号。 ? 功率信号：如果一个信号功率是有限的，称之为功率信号， 如周期信号和其它一些持续时间无限的信号。
连续信号能量： 离散信号能量：
∫ x (t )t1
t2
2
dt2
∑n
n
2
x (n )1
39
7.实信号和复信号 实信号和复信号
物理可实现的信号常常是时间t (或n)的实（real）函数(或序列)， 其在各时刻的函数(或序列)值为实数。例如，单边指数信号， 正弦信号等。称它们为实信号。如：
f (t ) = 3t , f (t ) = f (t )*
函数（或序列）值为复数的信号称为复信号 (complex signal)，最常用的是复指数信号(complex exponential signal)。如：
f (t ) = xr (t ) + jxi (t )
40
六．周

期信号的功率1 P= T
∫
T
0
∞ 1 ∞ 1 ∞ 2 2 2 2 2 2 f ( t ) d t = a0 + ∑ a n + bn = a0 + ∑ c n = ∑ Fn 2 n =1 2 n =1 n = ?∞ 2
(
)
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明： 表明： 周期信号平均功率=直流、 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分 量有效值的平方和； 量有效值的平方和； 也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 也就是说，时域和频域的能量是守恒的。Fn ~ ω 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 绘成的线状图形， 率随频率分布的情况，称为功率谱系数 功率谱系数。 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。241
证明对于三角函数形式的傅里叶级数f ( t ) = a0 + ∑ [a n cos(nω 1t ) + bn sin(nω 1 t )]∞
平均功率1 P= TT 2
n =1
? 1 T? ∫0 f (t )dt = T ∫0 ?a0 + ∑ [an cos(nω 1t ) + bn sin(nω 1t )]? d t n =1 ? ? 2 ∞ ∞ 1 ∞ 2 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 cn ? = a0 + ∑ a n + bn = a0 + ∑ cn = a0 + ∑ ? 2 n =1 2 n =1 ? n =1 ? 2
∞
2
(
)
对于指数形式的傅里叶级数1 P= T
∫
T
0
f ( t ) d t = ∑ F (nω 1 ) =2
∞
2
n= ? ∞
n= ? ∞
∑ Fn
∞
2
F0 = a042
总平均功率= 总平均功率=各次谐波的平均功率之和
七．傅里叶有限级数与最小方均误差f (t ) = a0 + ∑ [a n cos(nω 1 t ) + bn sin(nω 1 t )]∞
取前( 2 N + 1)项来逼近f ( t )S N = a0 + ∑ [a n cos(nω 1 t ) + bn sin(nω 1 t )]N n =1
n =1
误差函数 方均误差
ε N (t ) = f ( t ) ? S NEN = ε N2
1 (t ) = T1
∫
t 0 + T1
t0
ε N (t ) d t2
? 2 1 N 2 2 2 ? 2 E N = ε N ( t ) = f (t ) ? ?a 0 + ∑ a n + bn ? 2 n =1 ? ?
(
)
43
如果完全逼近，则 n=∞ ; ? 实际中，n=N, N是有限整数。 ? 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 ? 若用2N＋1项逼近，则
S N (t ) = a 0 + ∑ ( a n cos ω 1t + bn sin ω 1t )n =144
N
误差函数和均方误差? 误差函数 ? 均方误差
εN (t) = f (t) ? SN (t)
1 2 2 E N = ε (t ) = f (t ) ? [ a + ∑ ( an + bn )] 22 N 2 2 045
例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数只有奇次谐波的余弦项。E/2 -T1/4 -E/2 T1/4 t
nπ 2E an = sin nπ 2
f (t ) = 2πE (cosω1t ? 1 cos3ω1t + 1 cos5ω1t ? L) 3 546
对称方波有限项的傅里叶级数 ? N=1S2 = 2E1
E1 ≈ 0 .05 E
π
(cos ω 1t )2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.5
? N=21 S2 = (cos ω 1t ? cos 3ω 1t ) π 3 E 2 = 0 .02 E 2 2E 2E
? N=32E
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1 1 S3 = (cos 1t ? cos3ω1t + cos5ω1t) ω π 3 5
E3 = 0.01E 2
47
有限项的N越大，误差越小例如: N=111 1 1 S9 = (cosω1t ? cos3ω1t + cos5ω1t + L? cos11 1t ) ω π 3 5 111 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -0 . 2 -0 . 4 -0 . 6 -0 . 8 -1 -0 . 5
2E
-0 . 4
-0 . 3
-0 . 2
-0 . 1
0
0 .1

0.2
0.3
0 .4
0.5
48
由以上可见：N →∞ N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时， 波形将会失真 ? 有吉伯斯现象发生
? ? ? ?
lim S N = f ( t )
49
周期信号通过线性系统对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成： 当其满足狄氏条件时，可展成： 对于周期信号
f (t ) = A0 + ∑ An cos( n?t + ? n ) =n =1
∞
n = ?∞
Fn e jn?t ∑y (t )
∞
一、基本信号 ：
y (t ) = h (t ) * f (t )=∫∞ ?∞
f (t ) = e jωtjωt
h(τ)e
jω ( t ? τ )
dτ = e
∫
∞
?∞
h(τ)e
? jωτ
= H ( jω )e jωt dτ
可见， ω 通过线性系统后响应随时间变化服从e ω 可见，ejωt通过线性系统后响应随时间变化服从 jωt ， H(jω)相当 ω 相当 加权函数。 加权函数。 H(jω)为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。 ω 为 的傅立叶变换， 的傅立叶变换 也称为系统频率特性或系统函数。50
二、基本信号 ：
f (t ) = A cos ?t
y (t )
e j?t + e ? j?t A cos ?t = A 2
e j ω t ? H ( j ω ) e j ωt
A y (t ) = [ H ( j?)e j?t + H ( ? j?)e ? j?t ] 2 A = [ H ( j?) e j? ( ? ) e j?t + H ( ? j?) e j?( ? ? ) e ? j?t ] 2 ?( ??) = ??(?) Q H (? j?) = H ( j?) A ∴ y (t ) = H ( j?) [e j [ ?t + ? ( ? )] + e ? j [ ?t + ? ( ? )] ] 2 = A H ( j?) cos[?t + ? (?)]∴ 激励与响应为同频率的 正弦量。 正弦量 。51
三、任意周期信号： 任意周期信号：
f (t ) = A0 + ∑ An cos( n?t + ? n )n =1
∞
y (t )
e
jωt
? H ( jω ) e∞
jωt
h(t ) ? H ( jω ) = H ( jω ) ∠φ (ω )
A cos ?t ? A H ( j?) cos[ ?t + ?(?)]
∑An =1 =1
∞
n
cos( n?t + ? n ) ?∞
∑Bn =1
n
cos[ n?t + ? n + φ(n?)]
f (t ) = A0 + ∑ An cos( n?t + ? n ) ? y (t ) = B0 +n =1
∑Bn =1
∞
n
cos[ n?t + ? n + φ(n?)]
其中： 其中 ：B0 = A0 H (0)
Bn = An H ( jn?)
∴ 激励与响应均为周期信 。 号52
四.
周期信号通过线性系统响应的频谱
f (t ) ? F ( j ω )
h (t ) ? H ( j ω )Y ( jω ) = F ( jω ) H ( jω )jn?t
y (t ) = f (t ) * h(t )对于周期信号
f (t ) = f (t ± nT ) =
n = ?∞
∑F en∞
∞
F ( jω ) = 2π
n = ?∞
∑F
∞
n
δ (ω ? n?)
Y ( jω ) = 2π结论： 结论：
n = ?∞
∑ H ( jn?) F
n
δ (ω ? n?)
周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号； 周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号； 周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列。 周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列。
53
例：图（a）所示系统，若激励如图 所示系统， (b)所示，求响应i(t

)。 (b)所示 求响应i(t)。 所示，
1 【解】 H ( jω ) = 1 + jω
1 nπ jnt u (t ) = ∑ sin( )e (a) (n为奇数 为奇数) 为奇数 2 n = ?∞ n 2 2 2 即：u(t ) = 2 cos t ? cos 3t + cos 5t ? cos 7t + L 3 5 7∞
(b)
1 1 = ∠ ? 45° 1+ j 2 1 1 H ( j 3) = = ∠ ? 71.56° 1 + j3 10 1 1 H ( j 5) = = ∠ ? 78.69° 1 + j5 26 H ( j) =
∴ i (t ) = 2 cos(t ? 45°) ? 0.21 cos(3t ? 71.56°) + 0.08 cos(5t ? 78.69°) + L54
激励u(t)的频谱 激励u(t)的频谱：u (t ) = 2 cos t ? 2 cos 3t + 2 cos 5t ? 2 cos 7t + L 的频谱：
1 nπ jnt u(t ) = ∑ sin( )e 2 (n为奇数 为奇数) 为奇数 n = ?∞ n∞
3
5
7
响应i(t)的频谱 响应i(t)的频谱： 的频谱：
nπ 1 U ( jω) = ∑ sin( )2πδ(ω ? n) 2 n = ?∞ n∞
1 1 + jω I ( jω) = H ( jω)U ( jω) H ( jω ) =∞
1 nπ 1 = ∑ sin( ) 2πδ(ω ? n) 2 1 + jω n = ?∞ n = 1 nπ 1 sin( ) ∑ n 2 1 + jn 2πδ(ω ? n) n = ?∞∞
(n为奇数 为奇数) 为奇数
i (t ) = 2 cos(t ? 45°) ? 0.21 cos(3t ? 71.56°) + 0.08 cos(5t ? 78.69°) + L55
练习：图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中 所示系统，频率特性如图 所示 求响应y(t)。 如图(b)所示， 练习：
f ( t ) = 2 + 4 cos 5t + 4 cos 10 t【解】 方法1： 方法 ：(a) (b)
H ( j 0) = 1
1 H ( j 5) = 2
H ( j10) = 0
∴ y(t ) = 2 + 2 cos 5t方法2： 方法 ： f (t ) =
n = ?2
2e j 5nt ∑
2
F ( jω) =
n = ?2
∑ 4πδ(ω ? 5n)
2
Y ( jω) = F ( jω) H ( jω) = 2πδ(ω + 5) + 4πδ(ω) + 2πδ(ω ? 5n)
∴ y (t ) = e ? j 5t + 2 + e j 5t = 2 + 2 cos 5t56
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
57
主要内容本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。 频带宽度，能量分布。 其他信号，如周期锯齿脉冲信号 其他信号， 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号 周期全波余弦信号58
一．频谱结构f (t )E
脉宽为τ E 脉冲高度为T1t
? T1
?
τO τ2
周期为T1
2
1. 三角函数形式的谱系数 2. 指数函数形式的谱系数 3. 频谱特点59
1．三角形式的谱系数f (t )E
? T1
?
τO τ2
T1
t
f (t ) 是个偶函数bn = 0, 只有a 0 , a n
2
60
2．指数形式的谱系数
? jnω 1t
1 T21 F ( nω 1 ) = ∫ T1 f ( t )e ? jnω 1t d t T1 ? 2 τ 1 2 E 1 ? jnω 1 t = ∫ τ Ee dt = e ? jnω 1t T1 ? 2 T1 ? jnω 1? E ? ? jnω1○ jnω 1 2 ? 2 e = ?e ? ? jnω 1T1 ? ? 2E τ? ? sin? nω 1 ? = nω 1T1 ? 2? τ? ? sin? nω 1 ? Eτ 2? ? Eτ ? τ? = Sa? nω 1 ? = τ T1 T1 2? ? nω 1 2τ τ
τ2 ?
τ2
61
3．频谱及其特点图中T = 5τEτ T1
Eτ ? τ? F (nω 1 ) = Sa? nω 1 ? T1

2? ? F ( nω 1 )
2πO ω 1 2ω 1
τ
ω
Eτ 包络线形状： (1)包络线形状：抽样函数 ( 2)其最大值在 n = 0处 ， 为 T1 2π 第一个零点坐标： （4)第一个零点坐标 ： 离散谱（谐波性） (3)离散谱（谐波性） 2π τ ωτ 令 = π → ω＝ 当ω = nω 1时取值 2 τ 5 是复函数（ ），幅度 （ ）F ( nω 1 )是复函数 （ 此处为实函 数 ）， 幅度/ 相位 62 Fn > 0， 相位为 0，Fn < 0, 相位为± π 。
4．总结? 幅度 ↓ ? 2π T1 ↑ ? ? 谱线间隔ω 1 = ↓ ? T1 ?Eτ 为无限小， 当T1 → ∞， 时 ，ω 1 → 0， 为无限小 ， T1 f (t )由周期信号→ 非周期信号 。 由周期信号→ 非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点 ： 离散性、谐波性、收敛性。 离散性、谐波性、收敛性。
63
二．频带宽度1.问题提出Eτ T1F ( nω 1 )
2πO ω 1 2ω 1
τ
ω
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。 64
T n = ?∞ 1 1 s, T1 = s为例 ， 取前5 次谐波 为例， 以τ = 20 42 2 2 2 2
周期矩形脉冲信号的功率 ∞ 1 T 2 2 P = ∫ f ( t )dt = ∑ F (nω 1 ) 0
P5 n = F (0 ) + F (ω 1 ) + F (2ω 1 ) + F (3ω 1 ) + F (4ω 1 )2 2
2 2
+ F (? ω 1 ) + F (? 2ω 1 ) + F ? (3ω 1 ) + F ? (4ω 1 )
= 0.181E 2 1 T1 2 f ( t )dt = 0.2 E 2 而总功率 T1 ∫0 P5 n 二者比值 = 90.5% P
65
2．频带宽度在满足一定失真条件下， 在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2π 1 Bω = 或B f = ， 带宽与脉宽成反比 τ τ 1 对于一般周期信号， 对于一般周期信号，将幅度下降为10 F (nω 1 ) max 的 频率区间定义为频带宽度。 频率区间定义为频带宽度。
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真300~3400Hz， 语音信号 频率大约为 ， 50~15,000Hz， 音乐信号 ， 扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。66 。
§3.4 傅里叶变换?傅里叶变换 傅里叶变换 ?傅里叶变换的表示 傅里叶变换的表示 ?傅里叶变换的物理意义 傅里叶变换的物理意义 ?傅里叶变换存在的条件 傅里叶变换存在的条件
67
一．傅里叶变换1. 引出T1 → ∞ f (t ) ：周期信号
非周期信号 0
1 T21 谱系数F ( nω 1 ) = ∫ T1 f ( t )e ? j nω 1t d t T1 ? 2 2π 谱线间隔 ω `1 = 0 T1 离散谱 连续谱，幅度无限小； 连续谱，幅度无限小；
表示频谱就

不合适了， 再用 F (nω 1 )表示频谱就不合适了，虽然各 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 引入频谱密度函数。 引入频谱密度函数。68
F (nω 1 ) F (nω 1 ) T1 F (nω 1 ) = = 1 f T1 当T1 → ∞时 ，
? T1
1 T21 F (nω1 ) = ∫ T1 f (t )e ? j nω1t d t T1 ? 2
? T1
（1） ）
? (nω 1 ) = ω 1 → d ωT1 →∞
1 f = → 0, F ( nω 1 ) → 0 T1
F (nω 1 ) → 有界函数 f
单位频带上的频 谱值
(nω 1 )， ω 连续 →T1 → ∞ T1 2 T ? 1 2T1 2
F (ω ) = limT1 F (nω 1 ) = lim ∫频谱密度函数 简称频谱函数
f ( t )e ? j nω 1t d t
∞ ω ?j nω1 t T1 → ∞ f ( t )e dt ?∞? T1 2
69
X
频谱密度函数的表示F (ω ) = ∫∞ ?∞
f ( t )e ? jω t d t = F [ f ( t )]
称为傅里叶变换。 由f ( t )求F (ω )称为傅里叶变换 。F (ω )一般为复信号 故可表示为 ,F (ω ) =| F (ω ) | e j? (ω )
F (ω ) ~ ω : 幅度频谱
? (ω ) ~ ω : 相位频谱70
2．反变换由复指数形式的傅里叶级数f (t ) =
n = ?∞
∑ F ( nω )e1∞
∞
j nω 1 t
f ( t )应是F (ω )的反变换 ？ 的反变换？F (ω ) = lim T1 F ( nω 1 )T1 → ∞
除以ω 1， 再乘以ω1f (t ) =
n = ?∞
∑
F ( nω 1 )
ω1
? ω 1 ? e j nω 1 t
= limT1 → ∞
F ( nω 1 )
ω1
2π
当T1 → ∞时, ω 1 → d ω , nω 1 → ω1 f (t ) = 2π
limT1 → ∞
F ( nω 1 )
ω1
F (ω ) = 2π
∫
∞
?∞
F (ω )e jω t d ω
71
3．傅里叶变换对F (ω ) = ∫∞ ?∞
f ( t )e ? jω t d t = F [ f ( t )]∞
1 f (t ) = 2π
∫
?∞
F (ω )e jω t d ω = F ?1 [F (ω )]
简写
f (t ) ? F (ω )
72
二．傅里叶变换的表示(ω ) = F (ω ) e j? (ω ) = R(ω ) + j X (ω ) F模 相位
实部
虚部
f ( t ) = f e (t ) + f o (t )实信号 偶分量 奇分量
F (ω ) = ∫=∫
∞
?∞∞
f ( t )e ? jω t d t
欧拉公式
[ f e (t ) + f o (t )]? [cos ωt ? j sin ωt ]d t ?∞∞ ∞73
= 2∫ f e ( t ) cos ωt d t ? j 2∫ f o ( t ) sin ωt d t 0 0 实部 虚部
R(ω ) = 2∫ f e ( t ) cos(ωt ) d t∞ 0
关于ω 的偶函数关于ω 的奇函数
X (ω ) = ?2∫ f o ( t ) sin(ωt ) d t∞ 0
F (ω ) =
[R(ω )]
2
+ [ X (ω )]
2
关于ω 的偶函数关于ω 的奇函数
f (t ) 偶函数 函数， ? F (ω ) 为实函数，只有 R(ω ) ，相位 ± π 分量为零 （奇分量为零） f (t ) 奇函数 ? F (ω )为虚函数，只有 X (ω )，相位 ± π 函数， 74 2 分量为零 （偶分量为零）
X (ω ) ? (ω ) = arctan R(ω )
三．傅里叶变换的物理意义1 ∞ f (t ) = F (ω )e jω t d ω F (ω ) = F (ω ) e j? (ω ) 2π ∫? ∞ 实函数 = 1 ∞ F (ω )e j? (ω )e jω t d ω 欧拉公式 2π ∫? ∞1 = 2π
∫∞
∞
?∞
F (ω ) cos[ω t + ? (ω )]d ω 1 +j 2π
积分为0 积分为
∫
∞
?∞
F (ω ) sin[ω t + ? (

ω )]d ω
=
π∫∞ 0
1
0
F (ω ) cos[ω t + ? (ω )]d ω
=∫
F (ω )
π
d ω cos[ω t + ? (ω )]
75
解释F (ω ) f (t ) = ∫ d ω cos[ωt + ? (ω )] 0 π 求和 振幅 正弦信号 ?1 ? 无穷多个振幅为无穷小 ? F (ω ) d ω ? 的连续余弦信号 ?π ? 之和, 频域范围: 0 → ∞ ∞ F (ω ) 1 ∞ jω t f (t ) = F (ω )e d ω = ∫ d ω ? e jω t ? ∞ 2π 2π ∫? ∞ ? 1 ? F (ω ) d ω ? 的连续指数 无穷多个幅度为无穷小 ? ? 2π ? 信号之和， 信号之和 ， 占据整个频 , ω : ?∞ → ∞。 域 76∞
四．傅里叶变换存在的条件∫∞ ?∞
f (t ) d t = 有限值
(充分条件)
即f (t )绝对可积
所有能量信号均满足此条件。 所有能量信号均满足此条件。函数的概念后， 当引入δ (ω )函数的概念后 ， 允许作 傅里叶变换的 函数类型大大扩展了。 函数类型大大扩展了 。
77
§3.5 典型非周期信号的 傅里叶变换?矩形脉冲 矩形脉冲 ?单边指数信号 单边指数信号 ?直流信号 直流信号 ?符号函数 符号函数 ?升余弦脉冲信号 升余弦脉冲信号78
一．矩形脉冲信号f (t )
E ? jω t ? jω t 2 e F (ω ) = ∫ τ Ee dt= ? jω ? 2Eτ e . =jω
τ
τ2 ?
τ2
E?τ 2 O
τ2
τ 2
t
ω
τ
?e 2j
? jω
τ2
? ωτ ? sin? ? ? 2 ? = Eτ
ωτ2
2
? ωτ ? 幅度频谱： 幅度频谱： F (ω ) = Eτ Sa? ? ? 2 ?
? ωτ ? = Eτ Sa? ? ? 2 ?4 nπ
? 0 ? 相位频谱： 相位频谱： ? (ω ) = ? ?π ?
( (
2 ( 2 n +1)π
τ
<ω <
2 ( 2 n +1)π
τ
<ω <
4 ( n +1)π
τ
) )79
τ
E?τ
t 0τ2
2
Eτ
F (ω )2π
频宽： 频宽：6π
? ωτ ? F (ω ) = Eτ Sa? ? ? 2 ?Bω ≈ 2π 或B f ≈ 1
τ
τ
τ
τ
? (ω )
π?π80
二．单边指数信号? Ee f (t ) = ? ?0?α t
t >0 α >0 t<0
f (t )
E
O
t
F (ω ) = F [ f ( t )]
= ∫ Ee ?α t u(t )e ? jω t dt∞ ?∞∞
= ∫ Ee ? (α + jω ) t d t0
E = α + jω81
频谱图幅度频谱： 幅度频谱：F (ω ) =? ?ω = 0, ? ?ω → ±∞, ?
E
α2 +ω2F (ω ) = E
E
F (ω )
α
F (ω ) → 0O
α
ω
(ω ) = ? arctan ω 相位频谱： ? 相位频谱：? ?ω → 0, ? ? ?ω → +∞, ? ? ?ω → ?∞, ?
α
? (ω )π 2O
? (ω ) = 0
(ω ) → ? π ? 2 π ? (ω ) → 2
ω
?π 282
三．直流信号f ( t ) = E ,?∞ < t < +∞
E ? 2π Eδ (ω )E
f (t )
不满足绝对可积 条件， 条件，不能直接 用定义求 F (ω )
O
t
τ →∞f 1 (t ) E
?τ
O
τ
t83
F (ω ) = lim ∫ Ee ? jω t d t? e ? jω t ? τ = E lim ? ? τ → ∞ ? ? jω ? ? ττ →∞?τ
τ
推导F (ω )
(2π E )O
e ? jωτ ? e jωτ = E lim ? jω τ →∞
= E limτ →∞
ω τ sin(ωτ ) = 2π E lim ωτ τ →∞ π= 2π Eδ (ω )
2 sin(ωτ )

E ? 2π Eδ (ω )时域无限宽， 时域无限宽，频带无限窄
ω
lim π Sa(ωτ ) = δ (ω ) τ→∞84
τ
4．抽样信号(Sampling Signal)Sa( t ) = sin t t1 Sa (t )
性质 ① ②Sa (? t ) = Sa (t ) 偶函数 ，
2π ?π O t π 3π
t = 0 , Sa(t ) = 1，即 limSa(t ) = 1 t →0 n ③ Sa(t ) = 0, t =± π，n = 1,2,3 L ∞ sin t ∞ sin t π ④ ∫ dt = , ∫∞ dt =π ? 0 t 2 t ⑤ lim Sa(t ) = 0 →±∞
⑥
t →±∞
sinc( t ) = sin (π t ) (π t )
85
lim π Sa(ωτ ) = δ (ω ) τ 证明 Sa( ωτ ) Sa(ωτ )→∞
τ
Eτ
?
π
πO
τ
τ2
π
τ
ω
π π τ ↑, ↓, 曲线下的面积 减小。 减小。 τ τ
τ → ∞, 能量压缩到 ω = 0，面积仍为
π
τ86
四．符号函数? + 1, f ( t ) = sgn(t ) = ? ? ? 1, t>0 t<0
不满足绝对 可积条件
sgn(t )1αt
e
?α t
处理方法： 做一个双边函数 处理方法：求极限得到F (ω )。0 ?∞
f1 (t ) = sgn(t )e
?α t
， 求F1 (ω )，α t ? jω t
?e
O
t ?1
F1 (ω ) = ∫ ? e e
d t + ∫ e ?α t e ? jω t d t0
∞
1 ?1 ? j 2ω = + = 2 α ? jω α + jω α + ω 2 2 ? j 2ω F (ω ) = lim F1 (ω ) = lim 2 = 2 jω α →0 α →0 α + ω
87
频谱图2 2 2 m jπ sgn(t ) ? e 2 =?j = jω ω ωF (ω )
2
? ? 2 ?2 2 ? ? F (ω ) = ? ? ? = ? ?ω ? ω? ? ?
ωO
ω? (ω )π 2
F (ω ) 是偶函数? π ? ?? 2 , ω =? arctan ? 0 ?π , ?2 ? ? (ω )是奇函数 2
ω >0 ω <0O π ? 2
ω
88
五．升余弦脉冲信号E f (t ) = 2 ? ? π t ?? ?1 + cos? τ ? ? ? ?? ?∞ ?∞
f (t )
0≤ t ≤τ
E
E 2?τ
F (ω ) = ∫=∫
f (t )e ? jωt d tE? ? π t ? ? ? jωt ?1 + cos? τ ? ? e d t 2? ? ??τ πt
?
τ O2
τ2
τ
t
τ
?τ
E τ jπτ ? jωt E τ ? jπτ ? jωt e ? jωt d t + ∫ e e d t + ∫ e e d t ∫?τ 4 ?τ 4 ?τ Eτ ?? π ? ? Eτ ?? π? ? Sa ?? ω ? ?τ ? + Sa ?? ω + ?τ ? = EτSa(ωτ ) + 2 τ? ? 2 τ ? 89 ?? ?? ? E = 2
πt
F (ω ) =
频谱图 E sin(ωτ )? ? ωτ ? ω ?1 ? ? ? ? ? π ? ?EτEτ 22
? ? ? ?
=
Eτ Sa(ωτ ) ? ωτ ? 1? ? ? ? π ?2
F (ω )
O
π
τ
2
π
τ
3
π
τ
4
π ω
τ90
其频谱比矩形脉冲更集中。 其频谱比矩形脉冲更集中。
§3.6冲激函数和阶跃函数的傅 里叶变换?冲激函数 冲激函数 ?冲激偶 冲激偶 ?单位阶跃函数 单位阶跃函数
91
一．冲激函数F (ω ) = ∫ δ (t )e ? jω t d t = 1∞ ?∞
f (t )
F (ω )
1
(1)Ot
O
ω
的矩形脉冲， δ (t )看作τ × 的矩形脉冲 ， → 0时, Bω → ∞ τ τ 冲激函数积分是有限值 可以用公式求。 有限值， 冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不 不 满足绝对可积条件，不能用定义求。 绝对可积条

件 满足绝对可积条件，不能用定义求。 192
h(t)δ(t)幅度谱 的含义：很 多个不同频 率的ejωt分 量。每个频 率分量的幅 值F(ω)都等 于1
r(t)
r (t ) = e
jωt∞
H ( jω )e? jωτ h(τ )
δ(t)Φ (ω )1
h(t)
h(t)1
H ( jω) = ∫
?∞
H (jω )ω
O
这两个信号的 频率分量的关 系Eτ
? ωc O
ωc ω
h(t)幅度谱的含义： 很多个不同频率 的ejωt分量。每个 频率分量的幅值 F(ω)不再都等于1 发生了变化。 了，发生了变化。 变化由于H(jω)引 变化由于 引 起的
F (ω )
对于输入f(t)的而言，他 的频率分量也要经过同样 的系统，也会发生同样的 改变。输出F(t)Eτ
Eτ 2O
F (ω )
π π 2 τ τ
3
π τ
4
π ω τ
h(t)
F(t)
Eτ 2O
f(t)
w
3
π 93 ω τ
比较δ (t ) ? 1f (t ) F (ω )
1
(1)Ot
O
ω
1 δ (ω ) ? 2πF (ω )
(1)O
1 f (t ) 2π
ω
O
t94
二．冲激偶的傅里叶变换∫∞ ?∞
f (t )δ ′(t ) d t = ? f ′(0)∞
F [δ ′(t )] = ∫ δ ′(t )e ? j ω t d t?∞
=? e
[
? jω t
]
′t =0
= ? (? jω ) = jω
95
三．单位阶跃函数1 1 u(t ) = + sgn(t ) 2 21 2O
t
1 2 O
1 sgn(t ) 2
1O
u (t )t
t? 1 2
1 ? π δ (ω ) 2
1 1 sgn(t ) ? 2 jω
1 u( t ) ? π δ (ω ) + jω F (ω )(π )O
(π )O
ω
O
ω
ω96
§3.7 傅里叶变换的 基本性质
97
主要内容对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质 线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
98
意义傅里叶变换具有惟一性。 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： ?了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系 ?用性质求 用性质求F(ω)； 用性质求 ； ?了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用
99
一．对称性质1．性质若f ( t ) ? F (ω )若f (t )为偶函数
则F (t ) ? 2π f (? ω )则F (t ) ? 2π f (ω )
2． 意义
( 相同， 若F ( t )形状与F (ω )相同 ，ω → t )幅度差2π 。
形状相同， 则F ( t )的频谱函数形状与 f (t )形状相同 ，(t → ω ),
100
例3-7-1δ (t ) ? 1 , F (t ) = 1 ? 2π δ (ω )
例3-7-2已知F [sgn( t )] = 2 , jω
2 则 ? 2π sgn( ?ω ) jt 1 即 ? ? jπ sgn(ω ) t
相移全通 网络
101
例3-7-3? ? τ? ? τ ?? ? ωτ ? f (t ) = E ? u? t + ? ? u? t ? ? ? ? F (ω ) = Eτ Sa? ? 2? 2 ?? ? ? 2 ? ? ?
τ → ωc ,t ? ω? ? ωc ? ? ω c ?? 1 ? ωc t ? f (ω ) = E ? u? ω + Eω c Sa? ? ? u? ω ? ? ? ? F (t ) = ? 2

? ? 2 ?? 2π ? 2 ? ? ? ωc ? ωc t ? Sa? =E ? 2π ? 2 ?
宽度为 2ω 0 的方波
若ω c = 2ω 0，则有Sa(ω 0 t ) ? π G 2ω (ω ) 0 ω0
102
二．线性性质1．性质若f1 ( t ) ? F1 (ω ) , f 2 ( t ) ? F2 (ω )则c1 f1 ( t ) + c2 f 2 ( t ) ? c1 F1 (ω ) + c2 F2 (ω ) c1 , c2为常数
2 ．例3 - 7 - 31 1 1 u(t ) = + sgn(t ) ?F (ω ) = π δ (ω ) + 2 2 jω
103
三．奇偶虚实性3.4的 傅里叶变换的表示”中曾介绍过。 在§3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。若f ( t ) ? F (ω )， 则f ( ? t ) ? F ( ?ω ) 证明： 证明：
由定义 可以得到F [ f ( ? t )] = ∫
F [ f ( t )] = ∫∞
∞
?∞
f ( t )e ? j ω t d t = F (ω )∞
?∞
f ( ? t )e
? jω t
dt = ∫
?∞
f ( u)e ? j(?ω ) u d u = F ( ?ω )
若 f ( t ) ? F (ω )， 则f ( ? t ) ? F ? (ω )104
奇偶虚实性证明设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略） 是 函数（为虚函数或复函数情况相似，F (ω ) = ∫∞ ?∞ ? jωt
f ( t )e
d t= ∫
∞
?∞
f (t ) cos(ωt ) d t ? j ∫
∞
?∞
f (t ) sin(ωt ) d t
关于ω 的偶函数 ∞ R(ω ) = ∫ f (t ) cos(ω t ) d t ? R(ω ) = R(? ω ) ? ?∞ 显然 ? ∞ X (ω ) = ∫ f (t ) sin(ω t ) d t ? 关于ω 的奇函数 ?∞ ? X (ω ) = ? X (? ω )
所以
F (? ω ) = F ? (ω )
已知F [ f (? t )] = F (? ω )
F [ f (? t )] = F ? (ω )
105
a
四．尺度变换性质1 ?ω 若f (t ) ? F (ω ), 那么 f ( at ) ? F? a ?a ? ?, ?a是非零常数
意义(1) 01 时域压缩，频域扩展 倍。 时域压缩，频域扩展a倍
( 3) a = ?1
f (t ) → f (? t ), F (ω ) → F (? ω )。106
尺度变换性质证明 尺度变换性质证明因为F [ f (at )] = ∫∞ ?∞
f (at )e ? jω t d t
x 1 当a > 0， 令x = at , t = , d t = d x a a x ? jω ∞ 1 ?ω ? 1 a F [ f (at )] = ∫?∞ f ( x )e d x = a F ? a ? a ? ? 当a < 0，a = ? a ,x 1 1 t = = ? x, d t = ? d x 令x = at = ? a t , a a a x ω ? jω ?j x 1 ?ω ? ? 1 ?∞ 1 ∞ a a F [ f (at )] = ∫+ ∞ f ( x )e d x = a ∫?∞ f ( x )e d x = a F ? a ? a ? ?
综合上述两种情况
1 ?ω ? F [ f (at )] = F ? ? a ?a?
107
f (t )
F (ω )Eτ
E
?
τ2
o
τ2
t
?
2π o 2π
ω
τ
τ
(1) 02 Eτ? π
2F (2ω )
Et
π
τ
?τ
o
τ
o
τ
ω
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 脉冲持续时间增加 倍 变化慢了， 带压缩a倍 高频分量减少，幅度上升a倍 带压缩 倍。高频分量减少，幅度上升 倍。 108
时域压缩，频域扩展a倍 （2）a>1 时域压缩，频域扩展 倍。 ）f (2t ) E
Eτ 2t
1 ?ω

? F? ? 2 ?2?
τ o τ ? 4 4
?
4π
o
4π
ω
τ
τ
持续时间短， 变化快。 信号在频域高频分量增加， 频 持续时间短 ， 变化快 。 信号在频域高频分量增加 ， 带展宽，各分量的幅度下降a倍 带展宽，各分量的幅度下降 倍。 此例说明： 信号的持续时间与信号占有频带成反比， 此例说明 ： 信号的持续时间与信号占有频带成反比 ， 有时为加速信号的传递， 要将信号持续时间压缩， 有时为加速信号的传递 ， 要将信号持续时间压缩 ， 则 要以展开频带为代价。 要以展开频带为代价。109
( 3) a = ?1
f (t ) → f (? t ), F (ω ) → F (? ω ) = F * (ω )
当f (t )为实函数时, F (? ω ) = F * (ω )共轭
R(ω )为偶函数, X (ω )为奇函数
F ( ?ω ) = R( ?ω ) + j X ( ?ω ) = R(ω ) ? j X (ω ) = F * (ω )
110
五．时移特性若f ( t ) ? F (ω ),若F (ω ) = F (ω ) e j? (ω ) 则f ( t ? t 0 ) ? F (ω ) ? e j[? (ω )?ω t0 ]则f ( t ? t 0 ) ? F (ω )e ? jωt0 ;
幅度频谱无变化，只影响相位频谱， 幅度频谱无变化，只影响相位频谱， ? 右 ? ωt 0 相移ωt 0 ? ωt 0 ?左
时移加尺度变换若f ( t ) ? F (ω )b 1 ? ω ? jω a 则f (at + b ) ? F ? ? ? e a ?a?
? ? 1 ? 仿δ (at ) = δ (t )?的证明过程 ? ? a ? ?
111
时移加尺度变换证明x?b 1 ,d t = d x 当a > 0时, 设at + b = x , 则t = a a ω b b jω ?j x ∞ 1 1 ? ω ? jω a F1 (ω ) = ∫ f ( x )e a ? e a ? d x = F ? ? ? e ?∞?∞
F1 (ω ) = ∫
∞
?∞
f (at + b)e ? jωt d t
a
a
?a?
x?b x?b 1 ,d t = ? d x 当a < 0时, a = ? a , 设at + b = x , 则t = = a a ?a x?b jωb ωe? jω t
=e
? jω
a
=e
?j
a
x
?e
ab jω a
F1 (ω ) = ∫
?∞
∞
f ( x )e
?j
ωa
x
?e
1 1 dx = ? a ?a
∫
∞
?∞
f ( x )e
?j
ωa
x
?e
jω
b a
dx
b b ω ?j x 1 jω a ∞ 1 ? ω ? jω a = e ∫ f ( x )e a d x = F ? ? ? e ?∞ a a ?a?
112
例3－2 P130 －求图(a)所示三脉冲信号的 求图 所示三脉冲信号的 频谱。 频谱。 解：信号， 其频谱函数 0 (ω ), F 信号 ， 令f 0 (t )表示矩形单脉冲E?T
f (t )
?
τ2
O
τ2
T
t
( a ) 三脉冲信号的波形
? ωτ ? F0 (ω ) = Eτ ? Sa? ? ? 2 ?
Eτ
F0 (ω )
2π
τO(b)
ω
113
因为f (t ) = f 0 (t ) + f 0 (t + T ) + f 0 (t ? T )由时移性质知三脉冲函 数f (t ) 的频谱函数F (ω )为:
Eτ
F0 (ω )
2π
τOF (ω )
ω
F (ω ) = F0 (ω ) 1 + e
(
jωT
+e
? jωT
)O
? ωτ ? = Eτ ? Sa? ?[1 + 2 cos(ωT )] ? 2 ?
3 Eτ
2π
τ2π 4π T T ( c ) 三脉冲信号的频谱114
脉冲个数增多， 脉冲个数增多，频谱 包络不变，带宽不变。 包络不变，带宽不变。
ω
? ωτ ? 的频谱密度函数。 已知f (t ) ? F (

ω ) = Eτ Sa? ?， 求f (2t ? 5 )的频谱密度函数 。 ? 2 ? 方法一：先标度变换， 方法一：先标度变换，再时延? ? ? 因为a = 2, 所以f (2t ) ? 1 F ? ω ? = Eτ Sa? ωτ ? ? 2 ?2? 2 ? 4 ? 5 Eτ ? ωτ ? ? j 5 ω 向右） Sa? 因为b = ?5， 对t时移 （ 向右 ） 所以f (2t ? 5 ) ? ?e 2 2 2 ? 4 ?
方法二： 方法二：先时延再标度变换
? ωτ ? ? jω 5 对t时移5 向右 ）：f (t ? 5) ? Eτ Sa? （ 向右）： ?e ? 2 ? Eτ ? ωτ ? ? j 5ω Sa? 对所有ω压缩2：f (2t ? 5 ) ? ?e 2 2 ? 4 ?
相同
115
已知双Sa信号 已知双Sa信号 Sa 试求其频谱。 试求其频谱。 π 令所示。 (a ), (b )所示 。.
例3-6 ωc f (t ) = {Sa (ωc t ) ? Sa[ωc (t ? 2τ )]}ωc f0 (t ) = Sa(ωc t ) π
波形， F 为矩形。 因f0 (t )为Sa波形 ， 其频谱 0 (ω)为矩形 。f0 (t )和f (t )的波形如图ωC
f 0 (t )
F0 (ω) 1τ
π
o
t
? ωC
o
ωC116
ω
(a)
(b)
f0 (t ? 2τ )的波形如图 所示 。 (c)所示。
已知?1 F [ f0 (t )] = ? ?0 ( ω < ωc ) ( ω < ωc )
? f0 (t ? 2τ )
o
2τt
由时移特性得到?e? j2ωτ F[ f0 (t ? 2τ )] = ? ?0 因此f (t )的频谱等于?1? e?j2ωτ =? ?0
( ω < ωc ) ( ω < ωc )
(c)
F(ω) = F[ f0 (t )] ? F[ f0 (t ? 2τ )] ( ω < ωc ) ( ω < ωc )117
从中可以得到幅度谱为?2sin (ωτ ) ( ω < ωc ) F(ω) = ? ( ω < ωc ) ?0 π τ 在实际中往往取 = , 此时上式变成 ωc? ? πω? ?2 sin? ?ω ? ? F (ω) = ? ? c ? ?0 ? ( ω < ωc ) ( ω < ωc )118
双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。 信号的波形和频谱如图 ） ）所示。
ωC π
f (t )
F (ω) 2
τo
2τ
t
? ωC
o (e)
ωC
ω
(d)
119
六．频移特性1．性质若 f ( t ) ? F (ω )
则
f ( t )e jω 0 t ? F (ω ? ω 0 ) ? ? ? ? jω 0 t f ( t )e ? F (ω + ω 0 )? ?
ω 0为常数 ， 注意± 号 为常数，
2．证明
F[ f (t )e
jω 0 t
] = ∫ [ f (t )e ]e∞ jω 0 t ?∞
? jω t
dt
=∫
∞
?∞
f ( t )e ? j(ω ?ω 0 )t d t = F (ω ? ω 0 )120
3．说明F (ω )
F (ω ? ω 0 )
F (ω + ω 0 )
O
ω
O
ω0
ω
?ω0
O
ω
时域f ( t )乘e jω 0t , 频域频谱搬移 右移ω 0
时域f ( t )乘e ? jω 0 t , 频域频谱搬移 左移ω 0
4．应用通信中调制与解调，频分复用。 通信中调制与解调，频分复用。121
P133 3-4 已知矩形调幅信号 f (t ) = G (t ) cos(ω 0 t ),
f (t )
为矩形脉冲， 其中G (t )为矩形脉冲 ， 脉冲幅度 E， 为
E
试求其频谱函数。 脉宽为τ , 试求其频谱函数 。 o τ τ t ? 解： 2 2 G 已知矩形脉冲 (t )的频谱G (ω )为 ( a ) 矩形调幅信号的波形 ? ωτ ? G (ω ) = Eτ ? Sa? ? ? 2 ? 因为 1 f (t ) = G (t ) e jω 0 t + e ? jω 0t 2 根据频移性质， f 根据频

移性质 ， (t )频谱F (ω )为 1 1 122 F (ω ) = G ω ? ω 0 + G ω + ω 0 2 2
(
)
(
)
(
)
频谱图1 1 F (ω ) = G ω ? ω 0 + G ω + ω 0 2 2 Eτ ? ω ? ω 0 τ ? E τ ? ω + ω 0 τ ? Sa ? Sa ? = ?+ ? 2 2 2 2 ? ? ? ?
(
(
)
)
(
)
(
)
将包络线的频谱一分为 ， 向左 、 右各平移 0 二 向左、 ωEτ 2F (ω )
? ω0
O
ω0ω0 +2π
ωτ123
( b ) 矩形调幅信号的频谱
一个未经调制的高频正弦信号为： a 0 (t ) = A0 cos(ω c t + ? 0 ) 均为常数 振幅 载频 相位 调幅 载波振幅随调制信号的变化规律而变。 调频 载波频率随调制信号的变化规律而变。脉冲调制 调相 载波相位随调制信号的变化规律而变。 经调制后的高频振荡信号叫已调波（调幅波、调频波、调相波和 脉冲调制波），调频和调相均表现为总相角受到调变，因此统称 为调角。 二、调幅波 振幅按照调制信号的规律变化的高频振荡信号叫调幅波。 a (t ) = A(t ) cos(ω c t + ? 0 ) A(t ) = A0 + ?A(t ) = A0 + Ke(t ) 其中 e(t ) 是调制信号， K是信号强度与振幅增量间成比例关系的系数 124 载波
∴ a (t ) = [ A0 + Ke (t )] cos(ω c t + ? 0 )
e(t )0
t
a(t )?Aa
A max ?Ab A00Amin
t
125
调幅信号的频谱（载波技术）的频谱？ 求： f (t ) cos ω 0t 的频谱？
1 jω 0 t + e ? jω 0 t ) cos ω 0 t = ( e 2
1 FT [ f (t ) cos ω 0 t ] = [ F (ω ? ω 0 ) + F (ω + ω 0 )] 2 1 jω 0 t ? jω 0 t sin ω 0 t = (e ?e ) 2 j 1 FT [ f (t ) sin ω 0 t ] = [ F (ω ? ω 0 ) ? F (ω + ω 0 )] 2j 126
1 jω 0 t ? jω 0 t cos ω 0t = (e + e ) 2 载波频率ω 0
f (t )
1 jω 0 t e 2
1 ? jω 0 t e 2
f (t )
1 F (ω ? ω 0 ) 2
1 F (ω + ω 0 ) 2
1 [ F (ω ? ω 0 ) + F (ω + ω 0 )] 2
127
FT [ f ( t ) cos ω 0 t ]
FT [ f (t )] = F0 (ω )
F0 (ω )
1 jω0t ? jω0t f (t )[e + e ] 2频 移 特 性
ω01 2
F0 (ω )
F (ω )
1 2
F0 (ω )
? ω0
ω0
ω128
1 [ F 0 (ω ? ω 0 ) + F 0 (ω + ω 0 )] 2
调幅信号都可看成乘积信号? 矩形调幅 ? 指数衰减振荡 ? 三角调幅
f (t ) cos ω 0t
G(t ) cosω0t
e cosω0t?at
? 2t ?1 ? ? τ ?
? ? cosω0t ? ?129
求它们的频谱= ？（略）
七．微分性质时域微分性质f ( t ) ? F (ω )， 则f ′( t ) ? jωF (ω ) 频域微分性质 若f ( t ) ? F (ω ), 则tf ( t ) ? jd F (ω ) d ωd F (ω ) ? jtf ( t ) ? dω d n F (ω ) n (? jt ) f ( t ) ? dω n
或
t f ( t ) ? ( j) F n (ω )n n
130
1．时域微分f ( t ) ? F (ω )， 则f ′( t ) ? jωF (ω )一般情况下 f(n)
(t ) ? (jω )
n
F (ω )
F f n (t ) 若已知F f (t ) ， F (ω ) = 则 (jω )nn
[
]
[
]
?幅度乘ω F [ f ′( t )] = jωF (ω ) : ? 相位增加, j → 90o ?
注意
131
1 f (t ) = 2π
时域微分性质证明 时域微分性质证明
∫
∞
?∞
F (ω )e jωt d ω F (ω ) jωe

jωt d ω
1 f ′(t ) = 2π
∫
∞
?∞
f ′( t ) ? F (ω ) jω = jωF (ω )
即F [ f ′( t )] = jωF (ω )
132
注意如果f(t)中有确定的直流分量， 如果 中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶 中有确定的直流分量 变换，余下部分再用微分性质。 变换，余下部分再用微分性质。? 1 u (t ) ? F (ω ) 直流 ? π δ (ω ) ? 2 ? ? 1 1 1 余下部分 f2 ( t ) = u( t ) ? = sgn( t ), ? u (t ) ? π δ (ω ) + 2 2 jω ? 1 ? ′( ) f2 (t )微分f2 t = δ (t ) ? 1, f2 ( t ) ? ω? j ? d[u(t ) ? f 1 (t )] u(t ) f1 (t )1
1 2t
(1)t
dt
o
o
o
t
133
例3-7-7求三角函数的频谱密度函数． 求三角函数的频谱密度函数．f (t )
Eτ F (ω ) 2
E
?
τ2
o
τ2
t
?
4π
o
4π
ω
τ
τ
134
f (t )
分析?
E
τ2
o
τf ′(t )
t
2
三角形函数 ?? → 方波 ?
求导
2E
τ?
τ2t
τ2
o
方波 ?? → 冲激函数 ?? 2E ? ? ? τ ? ?
求导
f ′′(t )? 2E ? ? ? ? τ ?
?
τ2
o
τ2 ? 4E ? ? ? ? τ ?
t135
X
? 2E ? 解? 4E τ 2 E ? τ ? ? ? jωt F [ f ′′(t )] = ∫ ? δ?t + ? ? δ (t ) + δ ? t ? ? ?e d t ?∞ τ ? 2 ?? ? τ ? 2? τ∞
页
第 13 6
=
2E
τ
e
jω τ
2
?
4E
τ
+
2E
τ
e
? jω τ
2
= ( jω ) F (ω ) = ?ω 2 F (ω )2
1 ? 2 E jω τ 2 4 E 2 E ? jω τ 2 ? F (ω ) = e e ? + 2 ? ? τ τ ?ω ? τ ?
2 E ? jω τ 2 ? jω τ 2 ? e = ? 2+e 2 ? ? ? ?ω τ ? 1
? 2E ? e = 2 ? τω ?
? ?e ? ? ?ω τ 2 ? 8E ? ω τ ? ? 4 sin = ? 2 ? 4 ? ?ω τ τω ? ? ? 44 4
jω τ
? jω τ
2
? 2E ? ωτ 2 j sin = 2 ? 4 τω ? 2 ? ? 2 τE ? ω τ ? ? Sa? = ? 2 2 ? 4 ? ? ? ?
? ? ?
2
136
X
2．频域微分性质dF ω 若f ( t ) ? F (ω ), 则tf ( t ) ? j dω
( )
推广
d F (ω ) 或 ? j tf ( t ) ? dω
(? j t )n或n
d n F (ω ) f (t ) ? dω nn
t f ( t ) ? ( j) F n (ω )
137
已知f ( t ) ? F (ω )， 求F [(t ? 2) f (t )] = ？
解：F [(t ? 2) f (t )] = F [tf (t ) ? 2 f (t )]d F (ω ) =j ? 2 F (ω ) d(ω )
138
求F t n 解： tn = tn ?1
[ ]
1 ? 2π δ (ω ) = F (ω )d F (ω ) t ?1 ? j dω ? d F 2 (ω ) ? t ? (t ? 1) ? j? ? j ? 2 ? dω ?d n F (ω ) d n [2π δ (ω )] n (j)n (j)n t ?1 ? = n dω dω n
KK
139
八．时域积分性质若f (t ) ? F (ω )， 则t
F (ω ) F (0 ) ≠ 0时 ， f (τ ) d τ ? π F (0 )δ (ω ) + ∫?∞ jωt
F (ω ) F (0 ) = 0时 ， f (τ ) d τ ? ∫?∞ jω
也可以记作： 也可以记作：? 1 ? F (ω ) ? ? + π δ (ω )? ? jω ?
140
时域积分性质证明? t f (τ ) d τ ? e ? jω t d t ∫?∞ ? ∫?∞ ? ? ?∞
? ∞ f (τ )u(t ? τ ) d τ ? e ? jω t d t =∫ ∫ ?

?∞ ? ?∞ ? ?∞
变上限积分用带时移的 单位阶跃的无限积分表 示，成为 f (t ) ? u(t ) 交换积分顺序 先t 后τ， 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
? ∞ u(t ? τ )e ? jω t d t ? d τ = ∫ f (τ ) ∫ ? ?∞ ? ?∞ ? ? ∞ ? 1 ? ? jω τ dτ = ∫ f (τ )?π δ (ω ) + ?e ?∞ jω ? ? ? 1 ? ∞ ? ∫ f (τ )e ? jω τ d τ = ?π δ (ω ) + ? jω ? ? ∞ ? ?∞
对积分变量τ 而言ω 为 常数， 常数 ， 移到积分外141
续……
……续 续? 1 ? ∞ f (τ )e ? jω τ d τ = ?π δ (ω ) + jω ? ∫? ∞ ? ?
? 1 ? ? 1 ? f (t ) ? u(t ) ? F (ω )?π δ (ω ) + ? F (ω ) = ?π δ (ω ) + ? jω ? ? jω ? ? 1 F (ω ) = π δ (ω )F (ω ) + jω F (ω ) = π F (0 )δ (ω ) + 如果F (0 ) = 0 , 则第一项为零 jω
∫
t
?∞
? 1 ? F (ω ) f (τ ) d τ ? F (ω ) ? ?π δ (ω ) + ? = π F (0 )δ (ω ) + jω jω ? ?142
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换。 求单位阶跃函数的傅里叶变换。 t 解： 已知 u( t ) = ∫ δ ( t ) d t δ ( t ) ? 1 ?∞ 1 1 则u( t ) ? + π δ (ω ) ? 1 = + π δ (ω ) jω jωGτ (t )1
2.求门函数Gτ (t )积分的频谱函数 。 积分的频谱函数。 ? ωτ ? 解： Gτ ( t ) ? τ Sa? ?t
?
τ2
O?1
τ
2 Gτ ( t )
? 2 ? 由Sa(0) = τ， 知F (0) ≠ 0
τ?
τ2
O
τ2
t
? t G (τ ) d τ ? = π τδ (ω ) + τ Sa? ωτ ? F ∫ τ ? ? ? ?∞ ? ? ? jω ? 2 ? t (τ )d τ ? π τδ (ω ) + τ Sa? ωτ ? ? ? ∫?∞ Gτ jω ? 2 143 ?
§3.8卷积特性（卷积定理） 3.8卷积特性（卷积定理）?卷积定理 卷积定理 ?卷积定理的应用 卷积定理的应用
144
一．卷积定理?时域卷积定理 时域卷积定理 若 f1 (t ) ? F1 (ω ) , f 2 (t ) ? F2 (ω )则 f1 (t ) ? f 2 (t ) ? F1 (ω ) ? F2 (ω ) 时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。 时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。
?频域卷积定理 频域卷积定理 若 f 1 (t ) ? F1 (ω ), f 2 (t ) ? F2 (ω ) 1 F1 (ω ) ? F2 (ω ) 则 f1 (t ) ? f 2 (t ) ? 2π 时间函数的乘积 ? 各频谱函数卷积的1 2π 倍 。 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。145
时域卷积定理的证明f1 (t ) ? f 2 (t ) = ∫∞
卷积 定义
因此∞
?∞
f1 (τ ) f 2 (t ? τ ) d τ
? ∞ f (τ ) f (t ? τ ) d τ ?e ? jω t d t F [ f 1 (t ) ? f 2 (t )] = ∫?∞ ? ∫?∞ 1 2 ? ? ? 交换积分次序
=∫
∞
?∞
? ∞ f (t ? τ )e ? jωt d t ? d τ f 1 (τ ) ∫ 2 ? ?∞ ? ? ?
=∫
∞
?∞
f1 (τ )F2 (ω )e
? jωτ

dτ
时移 性质
所以
F [ f 1 (t ) ? f 2 (t )] = F1 (ω )F2 (ω )
146
二．应用用时域卷积定理求频谱密度函数。 用时域卷积定理求频谱密度函数。求∫t ?∞
f (τ ) d τ的傅里叶变换 。 的傅里叶变换。
∫t
t
? 1 ? F (ω ) ∫?∞ f (τ )d τ ? F (ω ) ? ?π δ (ω ) + jω ? = π F (0)δ (ω ) + jω ? ? 求系统的响应。 求系统的响应。f (t ) h(t ) g (t )
?∞
f (τ ) d τ = ∫
∞
?∞
f (τ )u(t ? τ ) d τ = f (t ) ? u(t )
g (t ) = f (t ) ? h(t )
G (ω ) = F (ω )H (ω ) ? g (t ) = F ?1 [G (ω )]147
将时域求响应，转化为频域求响应。 将时域求响应，转化为频域求响应。
? ωτ ? ) ? Eτ Sa? 已知 f1 ( t 例3-8-1 ?， 求 f (t ) = f1 (t ) ? f1 (t )的 ? 2 ? 频谱密度函数F (ω )。
F [ f (t )] = F1 (ω ) ? F1 (ω ) = E τf1 (t )
2 2
? Sa ? ? ? 2 ?EτF1 (ω )
2 ? ωτ
E
?
τ2E 2τ
O
τ2
t
?
2π 0
2π
4π
f 1 (t ) ? f1 (t )
τ2 2
τF (ω )
τ
ω
E τ
?τ
O
τ
t
?
2π o
2π
ω
148
τ
τ
X
F 求信号f ( t )的傅里叶变换 (ω ) 。21
f (t )
O
1
t
分析： 不满足绝对可积条件 不满足绝对可积条件， 分析：f(t)不满足绝对可积条件，所以无法用定义求其傅 里叶变换， 里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求 下面用三种方法求解此题。 解。下面用三种方法求解此题。 方法一： 方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二： 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三： 方法三：线性性质
149
方法一：利用傅里叶变换的微分性质要注意直流， 为交流分量， 要注意直流，设fA(t)为交流分量， 为交流分量 fD(t)为直流分量，则 为直流分量， 为直流分量f (t )
21
f (t ) = fA (t ) + fD (t )F (ω ) = FA (ω) + FD (ω)其中1 f D (t ) = Tt 0 +T
O
1
t
f A (t ) 12O1 ?1 2 t
∫
t0
f (t ) d t
3 f D (t ) = 2 FD (ω) = 3 π δ(ω)
′ f A (t )
1
′ f ′(t ) = fA (t )
O
1
150
t
因为 所以
? 1? f A (t ) = G1 ? t ? ? ? 2? ? ω ? ? jω jωFA (ω) = Sa? ? e ?2?
′
? ω ? ? jω Sa? ? e ?2? FA (ω) = jω ? ω ? ? jω Sa? ? e ?2? F (ω) = FA (ω) + FD (ω) = + 3 π δ(ω) jω151
f (t ) = 1 + f 1 ( t )
方法二：利用傅里叶变换的积分性质f 1 ( t )为f 2 ( t )的积分f (t )
21
? ω ? ? jω F2 (ω) = Sa? ? e ?2?? 1 ? ? ω ? ? jω ( 所以 F1 (ω ) = ? πδω ) + ? Sa ? 2 ? e jω ? ? ? ? ? ω ? ? jω Sa ? ? e ?2? ( = πδω ) + jω ? ω ? ? jω Sa ? ? e ?2? F (ω) = F [1] + F1 (ω) = 3 π δ (ω) + jω
O
1
t
f1 (t )
1
O
1f 2 (t )
t
1
O
1152
t
方法三：利用线性性质进行分解此信号也可以利用线性性 质进行分解， 质进行分解，例如

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wjyq.html