结构化学第一章课后习题答案
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结构化学第一章课后习题答案
4. 对一运动速度v<<c的自由电子,有人作了如下推导:
mυ=p=
h
λ
=
hν
λν
=
E
υ
=
1mυ 2
结果是1=1/2,错在何处,请说明理由。 解:正确过程应为:
mυ=p=
h
λ
=
hν
λν
=
E u
第一处错误:
u是微粒的传播速度,它既不等于光速c,也不等于微粒的运动速度υ,所以在公式推导中此处应用u表示。要理解物质波的意义。 第二处错误:
1
mυ2=T这仅仅是动能的表达,不能用T来代表E。如果是探讨一维势箱模型中的电子运动,则该式2成立。
所以上述推导过程是错误的。
9. 金属钾的临阈频率为5.464×1014 S-1,用它做光电池的负极,当用波长为300 nm的紫外光照射该电池时,发射的光电子的最大速度是多少?其动量和德布罗意波长为多大? 解:
1
hν=hν0+mυ2
21c
h=hν0+mυ2
2λ
3.0×1081 34 34 31214
6.626×10×6.626105.464109.10910υ=×××+×× 9
300×102
∴υ=8.12×105m
S 1T=
1
mυ2=hv hv02
p=mυ==
==7.40×10 25J S m 1
λ=
6.626×10 34==8.95×10 10m 25p7.40×10
13. 在电视机显像管中运动的电子,假定加速电压为1000 V,电子运动速度的不确定量Δυ为υ的10%,
结构化学第一章课后习题答案
判断电子的波动性对荧光屏上成像有无影响? 解:根据不确定关系:Δx
Δpx≥h Δx m Δυx≥h∴Δx=
hh
=m Δυxm υx 10%
1
Qmυ2=eU2
∴υ=Δx=
=
34
=3.88×10 10m
这坐标不确定度对于电视机于荧光屏的大小(电子的运动范围)来说 ,完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此,电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
d22
14. 下列函数,哪个是算符 dx的本征函数?若是,求出相应的本征值。 eimx
解:
sinx
x2+y2(a x)e x
d2imxdimx2imx
eimeme== 2dxdxd2d
x=sincosx= sinxdx2dx
2222dd2dd2222
+=+=+()2xyxyy
dx2dx2dx2dx2d2 x x
= +2axeaxe()()dx2
所以前两者是该算符的本征函数,本征值分别为-m2和-1。后两者不是该算符的本征函数。
注意:在本证值的表达形式中,不能带有虚数i
15. ψ=xe
ax2
d222 是算符 2 4ax 的本征函数,求本征值。 dx
解:应用到的数学知识
结构化学第一章课后习题答案
d(uv)=udv+vdude kx= 2kxe kxdxdx=nxdxdeax=aeaxdx
n
n 1
2
2
d2 ax2d d ax22222 ax2 ax2 ax2
=+ xeaxxexeeaxxe44 2 dx dx dx
222d
=x ( 2ax) e ax+e ax 4a2x3e ax
dx
222222d
=(1 2ax2) e ax 4a2x3e ax=e ax ( 4ax) 2axe ax+4a2x3e ax 4a2x3e ax
dx
= 6axe ax= 6aψ
所以本征值为-6a
17. 试求在长度l =200 pm的一维势箱中运动的电子, (1)n = 2跃迁到n = 1时发射电子的能量、波长和波数; (2)n = 3时,电子的xxpx与p值。
2
2
2
h2ΔE=En+1 En=(2n+1)
8ml2
3h23×(6.626×10 34)2 18
J4.5210===×2 31 122
8ml8×9.109×10×(200×10)
c
解: (1) ΔE=hv=h
λ
hc6.626×10 34×3.0×108
∴λ===4.40×10 8m 18
4.52×10ΔE
1
ν%==2.27×107m 1
λ
(2)
x
×10 8m20此处应用到的积分公式为:
2x∫cosaxdx=
1222
xsinax+2xcosax 3sinax+C aaa
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=100pm0
=
22
=2 m 2
18. 三维势箱中运动的电子,其薛定谔方程的解为:
ψnnn(x,y,z)=
xyz
nπynπxnπzxsinysinz abc
(1) 试证明波函数已归一化;
(2) 在a=b=c=100 pm的条件下,试求坐标为x=20 pm, y=30 pm,z=50 pm处边长为Δx=Δy=Δz=0.1 pm
微体积元中发现电子分别处于ψ211与ψ112时的概率。
(3) 在立方势箱中试求能量最低的前5个能量值,计算每个能级的简并度。
abc
*ψ(x,y,z)ψ(x,y,z)dτnnnnnn∫∫∫
xyz
xyz
000
abc
=∫∫∫
000
nyπy2nπxnπz8
sin(x2sin(sin(z)2dxdydzabcabc
a
解:(1)
nxπx nxπy nxπz
1cos2b1 cos2c1 cos28 dx dy dz= ∫ ∫ abc∫2220 0 0
8abc=×××=1abc222
nyπynxπxnzπzsinsin aaa
(2) a=b=c
此时,方程变为ψnxnynz(x,y,z)=
结构化学第一章课后习题答案
ψ∫2πz =a
∫4πz =a ψ代入具体数值计算即可。
h2
(3)E=(nx2+ny2+nz2) 2
8ma
h2
能量最低的前五个能量依次为(以为单位): 2
8maE111=3
E112=E121=E211=6E122=E221=E212=9 E113=E131=E311=11E222=12
能级的简并度1,3,3,3,1
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