结构化学第一章课后习题答案

结构化学第一章课后习题答案

4. 对一运动速度v<<c的自由电子，有人作了如下推导：

mυ=p=

h

λ

=

hν

λν

=

E

υ

=

1mυ 2

结果是1=1/2，错在何处，请说明理由。 解：正确过程应为：

mυ=p=

h

λ

=

hν

λν

=

E u

第一处错误：

u是微粒的传播速度，它既不等于光速c，也不等于微粒的运动速度υ，所以在公式推导中此处应用u表示。要理解物质波的意义。 第二处错误：

1

mυ2=T这仅仅是动能的表达，不能用T来代表E。如果是探讨一维势箱模型中的电子运动，则该式2成立。

所以上述推导过程是错误的。

9. 金属钾的临阈频率为5.464×1014 S-1，用它做光电池的负极，当用波长为300 nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？其动量和德布罗意波长为多大？ 解：

1

hν=hν0+mυ2

21c

h=hν0+mυ2

2λ

3.0×1081 34 34 31214

6.626×10×6.626105.464109.10910υ=×××+×× 9

300×102

∴υ=8.12×105m

S 1T=

1

mυ2=hv hv02

p=mυ==

==7.40×10 25J S m 1

λ=

6.626×10 34==8.95×10 10m 25p7.40×10

13. 在电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000 V，电子运动速度的不确定量Δυ为υ的10%，

结构化学第一章课后习题答案

判断电子的波动性对荧光屏上成像有无影响？ 解：根据不确定关系：Δx

Δpx≥h Δx m Δυx≥h∴Δx=

hh

=m Δυxm υx 10%

1

Qmυ2=eU2

∴υ=Δx=

=

34

=3.88×10 10m

这坐标不确定度对于电视机于荧光屏的大小(电子的运动范围)来说 ，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

d22

14. 下列函数，哪个是算符 dx的本征函数？若是，求出相应的本征值。 eimx

解：

sinx

x2+y2(a x)e x

d2imxdimx2imx

eimeme== 2dxdxd2d

x=sincosx= sinxdx2dx

2222dd2dd2222

+=+=+()2xyxyy

dx2dx2dx2dx2d2 x x

= +2axeaxe()()dx2

所以前两者是该算符的本征函数，本征值分别为-m2和-1。后两者不是该算符的本征函数。

注意：在本证值的表达形式中，不能带有虚数i

15. ψ=xe

ax2

d222 是算符 2 4ax 的本征函数，求本征值。 dx

解：应用到的数学知识

结构化学第一章课后习题答案

d(uv)=udv+vdude kx= 2kxe kxdxdx=nxdxdeax=aeaxdx

n

n 1

2

2

d2 ax2d d ax22222 ax2 ax2 ax2

=+ xeaxxexeeaxxe44 2 dx dx dx

222d

=x ( 2ax) e ax+e ax 4a2x3e ax

dx

222222d

=(1 2ax2) e ax 4a2x3e ax=e ax ( 4ax) 2axe ax+4a2x3e ax 4a2x3e ax

dx

= 6axe ax= 6aψ

所以本征值为-6a

17. 试求在长度l =200 pm的一维势箱中运动的电子， （1）n = 2跃迁到n = 1时发射电子的能量、波长和波数； （2）n = 3时，电子的xxpx与p值。

2

2

2

h2ΔE=En+1 En=(2n+1)

8ml2

3h23×(6.626×10 34)2 18

J4.5210===×2 31 122

8ml8×9.109×10×(200×10)

c

解： （1） ΔE=hv=h

λ

hc6.626×10 34×3.0×108

∴λ===4.40×10 8m 18

4.52×10ΔE

1

ν%==2.27×107m 1

λ

（2）

x

×10 8m20此处应用到的积分公式为：

2x∫cosaxdx=

1222

xsinax+2xcosax 3sinax+C aaa

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=100pm0

=

22

=2 m 2

18. 三维势箱中运动的电子，其薛定谔方程的解为：

ψnnn(x,y,z)=

xyz

nπynπxnπzxsinysinz abc

（1） 试证明波函数已归一化；

（2） 在a=b=c=100 pm的条件下，试求坐标为x=20 pm， y=30 pm，z=50 pm处边长为Δx=Δy=Δz=0.1 pm

微体积元中发现电子分别处于ψ211与ψ112时的概率。

（3） 在立方势箱中试求能量最低的前5个能量值，计算每个能级的简并度。

abc

*ψ(x,y,z)ψ(x,y,z)dτnnnnnn∫∫∫

xyz

xyz

000

abc

=∫∫∫

000

nyπy2nπxnπz8

sin(x2sin(sin(z)2dxdydzabcabc

a

解：（1）

nxπx nxπy nxπz

1cos2b1 cos2c1 cos28 dx dy dz= ∫ ∫ abc∫2220 0 0

8abc=×××=1abc222

nyπynxπxnzπzsinsin aaa

（2） a=b=c

此时，方程变为ψnxnynz(x,y,z)=

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ψ∫2πz =a

∫4πz =a ψ代入具体数值计算即可。

h2

（3）E=(nx2+ny2+nz2) 2

8ma

h2

能量最低的前五个能量依次为（以为单位）： 2

8maE111=3

E112=E121=E211=6E122=E221=E212=9 E113=E131=E311=11E222=12

能级的简并度1，3，3，3，1

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