高考数学最后30天冲刺练习：概率统计

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高考数学最后30天冲刺练习：概率统计

例1、如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是________．

因为正方形的面积是16，内切圆的面积是4?，所以豆子落入圆内的概率是

4?16??4．

例2、四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概

率为 （ ） A、

5771024354770 B、 C、 D、

A 4从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有C10=210种，它

可分为两类：4点共面与不共面．

如图1，4点共面的情形有三种：

①取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC在面ACD

B

F 图1

C

G E H

内），这样的取法有4C64种；

②取出的4面所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH与AC、BD平行），这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC与BD、BC与AD、AB与CD）；

③取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG），D

这样的取法共6种．综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为C10-（4C6+3+6）=141种．

故所求的概率为

141210?477044，答案选D．

例3、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A．

17 B．

27 C．

337 D．

47

解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C8个三角形，要得直角非等腰三角形，则每．．个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得

24C83，故C。

例4、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 A.D.

92827 B.

38 C.

37

解析：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于P?C3C5?C3C38213=

27，选A。

例5、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么

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A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件

C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。故选 B

例6、某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据

的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法 【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)+(y-10)=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出x?y，设x=10+t, y=10-t, x?y?2t?4，选D

例7、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ） A． a=105 p=

52132

2

B.a=105 p=

22421 C.a=210 p=

521 D.a=210 p=

421

解：选A，a＝

C7C4C22！＝105，甲、乙分在同一组的方法种数有

（1） 若甲、乙分在3人组，有C5C4C22！3122＝15种 25105521（2） 若甲、乙分在2人组，有C5＝10种，故共有25种，所以P＝

＝

例8、从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被

3整除的概率为

54545460解析：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被

19353841（A） （B） （C） （D）

3整除。所有的三位数有A10?A9?648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，

324，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位数被3

3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A3?12个；② 若三

32个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A4?A3?18个；③ 若三

1113组各取一个数字，第三组中不取0，有C3?C3?C3?A3?162个，④若三组各取一个数字，

112第三组中取0，有C3?C3?2?A2?36个，这样能被3 整除的数共有228个，不能被3整除

的数有420个，所以概率为

420648=

3554，选B。

例9、一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以

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数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，则

P(??0)?C3C3?C3C3?CC3C6C6C1C1111111111113?34，P(??1)?C2C2C6C6491111?19，P(??2)?C2C1?C1C2C6C6111111?19，

P(??4)?C6C61?136，∴ E??19?29?436?.

例10、设离散型随机变量?可能取的值为1，2，3，4。P(??k)?ak?b（k?1，2，3，4）。又?的数学期望E??3，则a?b? ;

解：设离散性随机变量?可能取的值为1,2,3,4,P???k??ak?b?k?1,2,3,4?，所以

(a?b)?(2a?b)?(3a?b)?(4a?b)?1，即10a?4b?1，又?的数学期望E??3，0?则(a?b)?2(2a?b)?3(3a?b)?4(4a?b)?3，即30a?1ba?b?1103，a?110,b?0,∴

.

例11、设集合A?{1，2}，B?{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x?y?n上”为事件

Cn(2≤n≤，5n?N，若事件)Cn的概率最大，则n的所有可能值为（ ）A．3

B．4 C．2和5 D．3和4

【答案】D【试题分析】事件Cn的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时

的基本事件个数即可。当n=2时，落在直线x?y?2上的点为（1，1）；

当n=3时，落在直线x?y?3上的点为（1,2）、（2,1）；当n=4时，落在直线x?y?4上的点为（1,3）、（2,2）；

当n=5时，落在直线x?y?5上的点为（2,3）；显然当n=3,4时，事件Cn的概率最大为

13。

例12、以?(x)表示标准正态总体在区间（??,x）内取值的概率，若随机变量?服从正态

分布N(?,?)，则概率P(?????)等于 （A）?(???)－?(???)

2（B）

?(1)??(?1) （C）?(1???) （D）2?(???)

解析：以?(x)表示标准正态总体在区间（??,x）内取值的概率，若随机变量?服从正态

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分布N(?,?2)，则概率P(?????)=P(???)?P(???)=?(?(??????)=?(1)??(?1)，选B。

??????)－

例13、如图，三行三列的方阵有9个数（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 A

37 B

47 C

114 D

1314

111解析：从中任取三个数共有C93?84种取法，没有同行、同列的取法有C3C2C1?6，至少

有两个数位于同行或同列的概率是1?684?1314，选D

=

例14、设随机变量?服从标准正态分布N(0，已知?(?1.96)?0.025，则P(1)，|?|19.?6)（ ） A．0.025

B．0.050

C．0.950

D．0.975

【答案】C 【解析】1)，?P(|?|?1.96)?P(?1.96???1.96)? ?服从标准正态分布N(0， ?(1.96?)??(1.9?6)??1?2(1?.9?6)?12?0. 0例15、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） ．．Ａ．

19 Ｂ．

112 Ｃ．

115 Ｄ．

118

解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有63个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为

1863?112，选B

例16、连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m，n)与向量b?(1，?1)的夹

?????512712角为?，则???0，?的概率是（ ）A．

12?

D．

56 B． C．

答案：选C解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点A?m,n?位于直线y?x上及其下方时，满足???0，?，点A?m,n?的总个数为6?6个，而位于直线y?x上及其下方

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1111的点A?m,n?有6?1?C2?C3?C4?C5?21个，故所求概率?2136?712，选C

例17、已知随机变量?服从正态分布N(2，?2)， P(?≤4)?（ ） A．0.16

B．0.32

C．0.68

D，0.84

??22?≤，则0.84P(?≤0)?【答案】：A【分析】：由P(?≤4)?P(??2≤2)?P(P(?≤0)?P(??2≤?2)?P(?)?0.84.又 ≤2)?0.16.故选A.

??2????例18、甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

≤?2)?1?P(??2甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

Ａ．s3?s1?s2 【

答5?[(7?Ｂ．s2?s1?s3Ｃ．s1?s2?s3

Ｄ．s2?s3?s1

(7?8?9?10)?520?8.5,

案

2】：

2B

?8.5?)【

2分析

2】：?x甲?s?218.5?)?(8(9?8.?5)20(108.5)]?1.25 ,

x乙?(7?10?)?620?(8?9)4?8.5,s?226?[(7?8.5?)2?(1028?.5?)]?4[?(8?8.5)2220x丙?(7?10)?4?(8?9)?62022(98.5)] ,?1.45?8.5,22s?234?[(7?8.5)?(10?8.5)]?6?[(8?8.5)?(9?8.5)]20由s2?s1?s3得s2?s1?s3.

222?1.05,[来源:学.科.网]

例19、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A．

14 B．

79120 C．

34 D．

C5C3C2C3101112324

【答案】：C【分析】：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，?P?1??34.

例20、一个坛子里有编号为1，2，?，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，

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随机变量?的数学期望E??0?0.03?2?0.24?3?0.01?4?0.48?5?0.24?3.63 （3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB?BBB?BB)

?P(BBB)?P(BBB)?P(BB)?2(1?q2)q2?q2?0.896;

22该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wjhh.html