八年级下数学期中试卷1

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八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个答案正确，每小题3分，共24分）

BD相交于点O， 3．四边形ABCD中，对角线AC、下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A．AB∥DC，AD∥BC 4．下列三个分式

、

B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC

、的最简公分母是（ ）

D．4（m﹣n）x2

A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2 C．

5．如果分式中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）

A．不变 B．扩大到原来的6倍

C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的倍 6．若关于x的方程A．﹣4 B．1

C．4

﹣

=0有增根，则增根是（ ）

D．﹣1

7．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，

则OH的长等于（ ）A．3.5 B．4 C．7 D．14

3x2－6x＋3

9．若要使分式(x-1)3的值为整数，则整数x可取的个数为（ ▲ ）

A. 5个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒

cm的速度向

终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（ ） A．

B．2

C．2

D．4

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

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9．当x≠ 时，分式有意义． 11．当x= 时，分式的值为0．

10．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是 ．

13．若矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线的长为6，则矩形短边的长等于 ． 14．如图，在周长为10cm的?ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为 ．

15．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积是 ．

16．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为 ．17．已知关于x的方程值范围是

18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 ．

的解是正数，则m的取

23．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．

求证：OE=BC．

25．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF． （1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF和EF的长．

阅读下列材料：

我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形

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的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形. 如正方形就是和谐四边形.

结合阅读材料，完成下列问题：

（1） 下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ▲ ）

A . 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形

（2）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形．．．．ABCD的和谐线，且

AB?BC, 请直接写出∠ABC的度数.

27．操作与证明：

把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，易知：AF=CE，AF⊥CE．（如图1）（不要证明）

（1）将图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转α度（0＜α＜45），连接AF，CE，（如图2），试证明：AF=CE，AF⊥CE． 猜想与发现：

CE，（2）将图2中的直角三角板BEF绕点B顺时针继续旋转，使BF落在BC边上，连接AF，（如图3），点M，N分别为AF，CE的中点，连接MB，BN．

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①MB，BN的数量关系是 ； ②MB，BN的位置关系是 ． 变式与探究：

（3）图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转180°，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN，（如图4），MA，MN的数量关系、位置关系又如何？为什么？

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2014-2015学年江苏省盐城市盐都区八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个答案正确，每小题3分，共24分） 1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误； B、不是中心对称图形，故B选项错误； C、不是中心对称图形，故C选项错误； D、是中心对称图形，故D选项正确． 故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．

2．下列调查中，适合用全面调查方法的是（ ） A．了解一批电视机的使用寿命

B．了解我市居民家庭一周内丢弃塑料袋的数量 C．了解我市中学生的近视率 D．了解我校学生最喜爱的体育项目 【考点】全面调查与抽样调查．

【分析】要选择调查方式，需将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来具体分析． 【解答】解：A、调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，选项错误； B、数量多，不适合全面调查，适合抽查； C、数量多，不适合全面调查，适合抽查；

D、人数不多，容易调查，因而适合全面调查，选项正确． 故选D．

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【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．

3．BD相交于点O， 四边形ABCD中，对角线AC、下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC

【考点】平行四边形的判定．

【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．

【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意； 故选D．

【点评】本题考查了平行四边形的判定． （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

4．下列三个分式

、

、的最简公分母是（ ）

D．4（m﹣n）x2

A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2 C．

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【考点】最简公分母．

【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式x2． 故选：D．

【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

5．如果分式

中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）

、

、的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，故最简公分母是4（m﹣n）

A．不变 B．扩大到原来的6倍

C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的倍 【考点】分式的基本性质．

【分析】根据分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变，可得答案．

【解答】解：分式故选：D．

【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变．

6．若关于x的方程A．﹣4 B．1

C．4

﹣

=0有增根，则增根是（ ） D．﹣1

中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值缩小到原来的，

【考点】分式方程的增根． 【专题】计算题．

【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值即为增根．

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【解答】解：由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4， 则增根为4． 故选C．

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

7．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）

A．3.5 B．4 C．7 D．14

【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．

【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28， ∴AB=28÷4=7，OB=OD， ∵H为AD边中点， ∴OH是△ABD的中位线， ∴OH=AB=×7=3.5． 故选：A．

【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒

cm的速度向

终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（ ）

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A． B．2 C．2 D．4

【考点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）． 【专题】动点型．

【分析】首先设Q点运动的时间t秒，则CQ=tcm，BP=∠P′BQ=∠QBP，再根据勾股定理可得（

t）2+（

xcm，根据菱形的性质可得QP=BP=

tcm，

t）2=（6﹣t）2，再解方程即可．

xcm，

【解答】解：设Q点运动的时间t秒，则CQ=tcm，BP=∵四边形QPBP′为菱形， ∴QP=BP=

tcm，∠P′BQ=∠QBP，

∵∠C=90°，AC=BC， ∴∠CBP=45°， ∴∠P′BP=90°， ∴∠QPB=90°， ∴（

t）2+（

t）2=（6﹣t）2，

解得：t1=2，t2=﹣6（不合题意舍去）， 故选：B．

【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形对角线平分每一组对角．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．当x≠ 2 时，分式

有意义．

【考点】分式有意义的条件． 【专题】计算题． 【分析】分式

有意义的条件为x﹣2≠0．即可求得x的值．

【解答】解：根据条件得：x﹣2≠0．解得：x≠2．故答案为2．

【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．

解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得x的取值范围即可．

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10．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是

．

【考点】概率公式．

【分析】让二等品数除以总产品数即为所求的概率．

【解答】解：∵现有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只， 从中任意取1只，可能出现12种结果，是二等品的有3种可能， ∴概率=

=．

故答案为：．

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

11．当x= 1 时，分式

的值为0．

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1=0，且x+1≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x2﹣1=0，且x+1≠0， 解得：x=1， 故答案为：1．

【点评】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 12．若

，则

= ．

【考点】比例的性质．

【分析】先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：∵ =， ∴a=，

∴=．

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故答案为：．

【点评】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．

13．若矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线的长为6，则矩形短边的长等于 3 ． 【考点】矩形的性质．

【分析】先由矩形的性质得出OA=OB=3，再由∠AOB=60°，证出△AOB是等边三角形，即可得出AB=OA=3．

【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=AC，OB=BD，AC=BD=6， ∴OA=OB=3， ∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=3； 故答案为：3．

【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

14．如图，在周长为10cm的?ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为 5cm ．

【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE=ED，从而可得出△ABE的周长=AB+AD，再由平行四边形的周长为10cm，即可得出答案．

【解答】解：∵点O是BD中点，EO⊥BD，

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∴EO是线段BD的中垂线， ∴BE=ED，

故可得△ABE的周长=AB+AD， 又∵平行四边形的周长为10cm， ∴AB+AD=50cm． 故答案为：5cm．

【点评】此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，属于基础题，解答本题的关键是判断出EO是线段BD的中垂线，难度一般．

15．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积是 5 ．

【考点】平行线的性质；正方形的性质．

【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积． 【解答】解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点． ∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2， ∴EF⊥l1，EF⊥l4， 即∠AED=∠DFC=90°． ∵ABCD为正方形， ∴∠ADC=90°． ∴∠ADE+∠CDF=90°． 又∵∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠CDF=∠DAE． ∵AD=CD， ∴△ADE≌△DCF， ∴CF=DE=1． ∵DF=2，

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∴CD2=12+22=5，

即正方形ABCD的面积为5． 故答案为：5．

【点评】题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．

16．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为 1 ． 【考点】分式的混合运算． 【专题】计算题．

【分析】已知等式两边除以a，求出a+的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵a2﹣3a+1=0， ∴a+=3， 则原式=3﹣2=1， 故答案为：1．

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．已知关于x的方程【考点】分式方程的解． 【分析】首先求出关于x的方程【解答】解：解关于x的方程∵方程的解是正数， ∴m+6＞0且m+6≠2，

解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4． 故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．

【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．

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的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围． 得x=m+6，

的解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣6且m≠﹣4 ．

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18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 6 ．

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 【专题】计算题．

【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论． 【解答】解：连接BD，DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴DE的长即为BQ+QE的最小值， ∵DE=BQ+QE=

=

=5，

∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6． 故答案为：6．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共76分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 19．计算： （1）（a2+3a）÷

（2）÷（1﹣）

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【考点】分式的混合运算．

【分析】（1）先把被除式与分子因式分解，把除法改为乘法，进一步约分得出答案即可； （2）先通分算减法，再进一步把除法改为乘法，进一步约分得出答案即可． 【解答】解：（1）原式=a（a+3）×=a； （2）原式=

÷

=?

=．

【点评】此题考查分式的混合运算，掌握运算顺序，正确通分约分，因式分解是解决问题的关键．

20．解下列方程： （1）

=

（2）﹣=1．

【考点】解分式方程． 【专题】计算题．

【分析】（1）分式方程两边乘以x（x﹣2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分式方程两边乘以（x+1）（x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：4x=x﹣2， 解得：x=﹣，

经检验x=﹣是分式方程的解； （2）去分母得：（x+1）2﹣4=x2﹣1， 去括号得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1， 移项合并得：2x=2， 解得：x=1，

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经检验x=1是增根，原分式方程无解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF． 求证：四边形BEDF是平行四边形．

【考点】平行四边形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论．

【解答】证明：如图，连接BD设对角线交于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD．

∵AE=CF，OA﹣AE=OC﹣CF， ∴OE=OF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．

22．先化简，再求值：（【考点】分式的化简求值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是小于3的非负整数选取合适的x的值，代入进行计算即可．

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﹣

）÷

，其中x是小于3的非负整数．

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【解答】解：原式=?

=?

==x+4．

?

∵x是小于3的非负整数， ∴x=0，1，2， ∵x=0，2， ∴x=1， ∴原式=1+4=5．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

23．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE． 求证：OE=BC．

【考点】菱形的性质；矩形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE． 【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠COD=90°，

∴四边形OCED是矩形， ∴DE=OC，

∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°， ∴BC=

=

=OE

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【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．

24．水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？ 【考点】分式方程的应用．

【分析】设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，根据用1250元所购件数是第一批的2倍，列方程求解．

【解答】解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元， 由题意得，解得：x=120，

经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意． 答：第一批水果每件进价为120元．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

25．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF． （1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF和EF的长．

×2=

，

【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定与性质．

【分析】（1）证得DE=DF，得四边形BFDE是平行四边形，根据折叠的性质知：BF=DF，得四边形BFDE是菱形；

（2）在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得DF的长；连接BD，得BD=8易得EF的长．

【解答】解：（1）由折叠的性质可得∠BFE=∠DFE，

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cm，利用S菱形BFDE=EF?BD，

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∵AD∥BC， ∴∠BFE=∠DEF， ∴∠DFE=∠DEF， ∴DE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形， 由折叠知，BF=DF． ∴四边形BFDE是菱形；

（3）在Rt△DCF中，设DF=x，则BF=x，CF=16﹣x， 由勾股定理得：x2=（16﹣x）2+82， 解得x=10， DF=10cm， 连接BD．

在Rt△BCD中，BD=

∵S菱形BFDE=EF?BD=BF?DC， ∴EF×8解得EF=4

=10×8 cm．

=8

，

【点评】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定和性质，解题的关键是作好辅助线找到相关的三角形．

26．阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由父母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b 则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）

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八年级下数学期中试卷1

∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1

=x2+2+

∴==+

这样，分式解答： （1）将分式

被拆分成了一个整式x2+2与一个分式

的和．

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；

（2）试说明

【考点】分式的混合运算． 【专题】阅读型．

的最小值为10．

【分析】（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可；（2）原式分子变形后，利用非负数的性质求出最小值即可．

【解答】解：（1）设﹣x4﹣8x2+10=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b） ∵对应任意x，上述等式均成立， ∴

，

∴a=9，b=1． ∴

=x2+9+

；

（2）由

=x2+9+

知，

当x=0时，x2+9和

分别有最小值，

因此当x=0时，的最小值为10．

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

27．操作与证明：

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八年级下数学期中试卷1

把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，易知：AF=CE，AF⊥CE．（如图1）（不要证明）

（1）将图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转α度（0＜α＜45），连接AF，CE，（如图2），试证明：AF=CE，AF⊥CE． 猜想与发现：

CE，（2）将图2中的直角三角板BEF绕点B顺时针继续旋转，使BF落在BC边上，连接AF，（如图3），点M，N分别为AF，CE的中点，连接MB，BN． ①MB，BN的数量关系是 相等 ； ②MB，BN的位置关系是 垂直 ． 变式与探究：

（3）图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转180°，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN，（如图4），MA，MN的数量关系、位置关系又如何？为什么？ 【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）延长AF交EC于G，交BC于H，利用正方形ABCD的性质和等腰△BEF的性质，证明△ABF≌△CBE，得到AF=CE，∠BAF=∠BCE，根据∠BAF+AHB=90°，∠AHB=∠CHG，所以∠BCE+∠CHG=90°，即可解答．

（2）①MB，BN的数量关系是相等；②MB，BN的位置关系是垂直；

（3）MA=MN，MA⊥MN，理由：如图4，连接DE，利用正方形ABCD的性质和等腰△BEF的性质，证明△ADF≌△CDE，得到DF=DE，∠1=∠2，利用在Rt△ADF中，点M是DF的中点，得到

MA=DF=MD=MF，再利用中位线的性质，得到得到MN=DE，MN∥DE，通过角之间的等量代换和三角形内角和，得到∠6=90°，从而得到∠7=∠6=90°，即可解答． 【解答】解：（1）如图2，延长AF交EC于G，交BC于H，

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八年级下数学期中试卷1

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABF+∠FBC=90°， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=BF，∠EBF=90°， ∴∠CBE+∠FBC=90°， ∴∠ABF=∠CBE， 在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE， ∴AF=CE，∠BAF=∠BCE，

∵∠BAF+AHB=90°，∠AHB=∠CHG， ∴∠BCE+∠CHG=90°， ∴AF⊥CE．

（2）①相等；②垂直． 故答案为：相等，垂直． （3）MA=MN，MA⊥MN， 理由：如图4，连接DE，

，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∵∵△BEF是等腰直角三角形，

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八年级下数学期中试卷1

∴BE=BF，∠EBF=90°，

∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上， ∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE， ∵

，

∴△ADF≌△CDE， ∴DF=DE，∠1=∠2， 在Rt△ADF中， ∵点M是DF的中点， ∴MA=DF=MD=MF， ∴∠1=∠3，

∵点N是EF的中点， ∴MN是△DEF的中位线， ∴MN=DE，MN∥DE， ∴MA=MN，∠2=∠3，

∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5， ∴∠3+∠5=90°，

∴∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°， ∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．

【点评】本题考查了图形的旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等，得到相等的边与角，作辅助线也是解决本题的关键．

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