函数零点和极值教案

第三讲 函数的极大（小）值和最大（小）值

核心考点了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大

值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次). 会利用导数解决某些实际问题.

1. 内容梳理

函数的极值与极值点的定义：已知函数y?f(x)，x0是定义域(a,b)内任意一点，若对

x0附近的所有点x, 都有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)），则称函数f(x)在点x0处取极大

（小）值，并称x0为极大（小）值点. 函数f(x)的最大（小）值是函数f(x)在指定区间的最大（小）值.

利用导数求函数极值的方法：(1)求导数f?(x)；(2)求方程f?(x)?0的所有实数根； (3)考查在每个根x0附近，从左到右，若f?(x)的符号由正变负（由负变正），则f(x0)是极大（小）值. 若在x0附近的左右两侧符号不变，则f(x0)不是极值.

利用导数求函数最大（小）值的步骤：求函数f(x)在开区间(a,b)内使f?(x)?0的点；计算f(x)在开区间(a,b)内使f?(x)?0的所有点和区间(a,b)端点的函数值，其中最大（小）的一个为最大（小）值.

利用导数判定函数的极大（小）值或最大（小）值，都是以不等式的形式呈现，体现出函数极大（小）值和最大（小）值与导数、不等式的紧密联系，是试题综合性的重要体现.

2. 典型例题

32例1 函数f(x)?x?3x?1在x?处取得极小值.

思路分析求导；解方程f?(x)?0求出x0；考查在x0附近，f?(x)的符号的变化.

322参考答案f(x)?x?3x?1?f?(x)?3x?6x?3x(x?2).

令f'(x)?0,得x?0,或x?2.当0?x?2时，f'(x)?0,f(x)单调递减；当x?0或

1

x?2时，f'(x)?0,f(x)单调递增，故函数f(x)?x?3x?1在x?2处取得极小值.

32

反思总结这是一道求极值点的试题，是容易题，只要按照方法和步骤操作，就能解决问题，但求解过程中综合考查函数、导数与方程、不等式的命题意图十分明确.

拓展训练1（2012陕西高考，理7）设函数f(x)?xex，则（） A. x?1为f(x)的极大值点 B.x?1为f(x)的极小值点 C. x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点

[学

例2 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在

(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小

值点有( )

A．1个 B．2个 C．3个D．4个

思路分析观察导函数f?(x)在(a,b)内的图象，既要关注方程f?(x)?0的所有实数根的个数，又要满足在根x0附近，从左到右，f?(x)的符号应是由负变正.

参考答案导函数f?(x)在(a ,b)内的图象与x轴有4个交点．但只有从左边数第二个交点x=x0满足xx0时， f?(x)>0．即在x0附近，当xx0时，f(x)递增．所以x=x0是极小值点．其他交点均不符合极小值点的条件．故选A．

反思总结此题揭示了极值点的数量特征与导函数图象的几何特征的密切联系，体现了考查数形结合的数学思想的命题意图，把握极值与最值与导函数图象的联系是判定极值与最值的有效方法．

拓展训练2（2012重庆高考，理8）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

2

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) D.函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 例3 若函数f(x)?x?ax?12在x?1处取极值，则a?.

思路分析依题意，x?1是方程f?(x)?0的根，可以依此确定参数a的值. 参考答案由f(x)?3?a4x?ax?12?f?(x)?2x(x?1)?(x?a)(x?1)22?x?2x?a(x?1)22，依题意

f?(1)??0,解得a?3.

反思总结依据极值的定义，将问题转化为由x?1是方程f?(x)?0的根求a的值，函数、导数与方程的联系自然又密切，命题的导向作用十分明确，既体现综合性，又有效控制难度，这就是近几年的命题趋势.

拓展训练3（2012重庆高考，理16）设f(x)?alnx?y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.

12x?32x?1,其中a?R，曲线

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值.

ax例4 设a?R，若函数f(x)?e?3x（x?R）有大于零的极值点，则( )

A.a??3 B.a??3 C.a??13 D.a??13

ax思路分析函数f(x)?e?3x（x?R）有大于零的极值点，就是方程f?(x)?0有大于

零的实数根.

axax参考答案f(x)?e?3x?f'(x)?ae?3;f'(x)?0?x?1?3?ln???，依题意x?0，a?a?可知a?0,且0??3a?1，解得a??3,故选B.

3

反思总结这是一道中等难度的综合性试题，运算量不大，但函数、导数与方程、不等式的联系自然而且紧密，求导，解方程，由方程f?(x)?0有正实根，转化为关于a的不等式，并求解，脉络清楚，一气呵成，应加强训练，有效应对.

拓展训练4（2012全国大纲高考，理10）已知函数y?x3?3x?c的图象与x恰有两个公共点，则c＝（）

A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1

例5 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=

(梯形的周长)梯形的面积2，则S的最小值是________ ．

思路分析S的变化取决于平行于底边的直线的变化，应选择刻画 平行于底边的直线的变化的量为自变量，并建立表示S的目标函数

参考答案设AD?x,(0?x?1)，则AE?AD?DE?x,BD?CE?1?x, 梯形DBCE的周长为2(1?x)?x?1，面积为所以S?[2(1?x)?x?1]34?34x223443?34x.

222?43?(x?3)1?x22,S???2(x?3)(1?x)?(x?3)(?2x)(1?x)22

?43??2(x?3)(3x?1)(1?x)22.因为0?x?1，当x?1时，S??0,x??0,?,S??0,S(x)单调递减，3?3?(3?1)2?1?41?1?3?323.?x??,1?,S??0,S(x)单调递增．故x?时，S取得最小值Smin? 132333??1?()3反思总结这是一道由图形的变化引发的最小值的问题，考察图形的变化，选好自变量，建立目标函数是关键. 找到目标函数后，利用导数求最小值就顺理成章了.

拓展训练5（2011福建高考，理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y?4

ax?3?10(x?6)，

2其中3?x?6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （Ⅰ）求a的值;

（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

例6 设函数f(x)?（Ⅰ）当a?43ex21?ax，其中a为正实数.

时，求f(x)的极值点；

（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.

思路分析第（Ⅰ）问可按求极值的常规方法. 第（Ⅱ）问，由f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围，则需要不等式f?(x)?0在R上恒成立，导出关于a的不等式，并求解. 参考答案f(x)?43ex21?ax?f?(x)?e(1?ax?2ax)(1?ax)22x2.①

3212 （Ⅰ）当a?2时，由f?(x)?0,得4x?8x?3?0,解得x1?,x2?.由①,可得

x 1????,?? 2??12 ?13??,? ?22?32 ?3?,???? ?2?f?(x) + ↗ 0 极大值 12- ↘ 0 极小值 + ↗ f(x) 所以,x1?

32是极小值点,x2?是极大值点.

（Ⅱ）因为f(x)为R上的单调函数，所以f?(x)在R上不变号，结合①与a>0，知

22ax?2ax?1?0在R上恒成立，因此??4a?4a?4a(a?1)?0,综上，0?a?1.

反思总结这是一道解答题，难度中等.综合考查函数、导数与方程、不等式的基本特点十分明显，既要熟练掌握求函数的极值点的基本方法与步骤，又要灵活运用转化的思想，将

f(x)为R上的单调函数，转化为关于a的不等式.

拓展训练6 （2012高考江苏，18节选）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点.

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