第3章 时域分析法教案

第3章 时域分析法

3.1 稳定性分析

系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。

3.1.1 稳定性的概念

系统的平衡状态

系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化时，这样的状态称为系统的平衡状态。

对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态。

3.1.2 系统稳定的条件

系统的全部特征根或闭环极点都具有负实部，或者都位于复平面左半部。 系统的脉冲响应为

k

i 1i 1系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础。

但直接检查全部特征根是否都具有负实部是困难的。 因此，后面将陆续介绍各种稳定性判据。如：

稳定性的代数稳定判据

奈奎斯特稳定判据 李雅普诺夫稳定判据 系统稳定性必要条件

y(t)

Cie

it

r

e

it

(Aicos

di

t Bisin

di

t)

系统稳定的必要条件是系统特征方程的系数同号，而且都不为零 3.1.3 劳斯稳定判据

劳斯稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳斯表的第一列数的符号相同。 而且，系统正实部特征根的个数等于劳斯表第一列数的符号变化次数。 特殊情况（1）：劳斯表中某一行的第一列数为0，其余不为0。

解决办法：用一个很小的正数（也可以是负数）然后继续列劳斯表。

特殊情况（2）：劳斯表中某一行的数全为0

解决办法： 用上一行的数构成辅助多项式，将辅助多项式对变量求导得到一个新的多项式。然

后用这个新多项式的系数代替全为0一行的数，继续列劳斯表。

3.2 暂态性能分析

3.2.1 典型输入信号 阶跃信号、速度信号、加速度信号、脉冲信号、正弦信号

3.2.2 暂态性能指标

利用系统的单位阶跃响应曲线的特征来定义控制系统的动态性能指标,直观，含义清楚。 （1） （最大）超调量

（2）（最大）超调时间 （3） 上升时间 （4）调节时间

3.2.3 一阶系统的暂态性能分析 为什么要研究典型系统的性能分析？

现实中存在大量的系统，他们本身就属于典型的一阶或二阶系统。（温度计系统，单自由度机

械振动系统等等） 大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为典型的系统，以便于系统的分析与设计。 在校正系统时，往往把系统设计成一个典型的系统。 分析和理解高阶系统的动态响应的基础。

一阶系统的单位阶跃响应是单调升的。因而，不存在超调量。

可以用上升时间或者调节时间来 作为动态性能指标。

为了提高一阶系统的快速响应和跟踪能力，应该减少系统的时间常数 T。 单位阶跃输入，一阶系统的稳态响应值为 K，稳态值与 T 无关。

3.2.4 典型二阶系统的暂态性能

（1

（2）典型二阶系统的单位阶跃响应

典型二阶系统的特征方程：

D(s) s

2

2

n

n

n

s

2n

0

s1

2

1

2

n

n

s2

1

特征根的分布主要取决于系统的阻尼比

（1） 过阻尼状态 ζ>1 （2） 临界阻尼状态 ζ=1

（3） 欠阻尼状态 0<ζ<1 （4） 无阻尼状态 ζ=0

（5） 负阻尼状态 ζ<0

在欠阻尼情况下，系统的单位阶跃响应具有衰减振荡形式

（1）上升时间 （2）超调时间 （3）超调量 p% e

/

1

2

100%

2,ts

4

（4）调节时间

2,ts

3

4T

n

3T

n

小结：

当ζ=0时，系统的输出为正弦曲线。这种情况称为无阻尼振荡，系统处于临界稳定状态。 当0< ζ<1 时，系统为欠阻尼振荡状态。 ζ 增加，将减少系统的振荡，减少超调量；但上升时间、调节时间加大。

当ζ=1 时，系统为临界阻尼状态，这是总能保持系统的输出值小于1的最小阻尼值。 当ζ>1 时，系统为过阻尼状态，在ζ 增加时系统的响应减慢。

当自然频率ωn 增加时，系统的响应速度加快但是系统响应的峰值保持不变，超调量由阻尼系

数唯一确定。

3.2.5 高阶系统的暂态性能近似分析

设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），单位阶跃响应的拉氏变换式为：

C(s)

M(0)D(0)

1s

s

i 1

M(s)1

|s p isD(s)s pi

对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：

c(t)

M(0)D(0)M(0)D(0)

s

i 1

M(s)pt|s p ei

(s)isD

M(s) t

|s ei (s)isD

pi i

A

i

cos( dit i)

pi i j di

结论：

1）若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响应分量较小。

2）若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态分量。

忽略上述两类极点所引起的暂态分量后，一般剩下为数不多的几个极点所对应的暂态分量。这些分量对系统的动态特性将起主导作用，这些极点通常称为主导极点。

3.3 稳态性能分析

3.3.1 控制系统误差与稳态误差的定义

e(t)=r(t)-b(t) 偏差 H(s)=1(单位反馈)，期望输出为参考输入，反馈信号与输出相同，误差！

3.3.2 控制系统型号或无差度的定义

系统跟踪输入信号的能力主要取决于开环传递函数中所包含的积分环节的数目。

m

K (s zi)

0型系统 G(s)H(s)

i 1n

pi)

(s

i 1

m

K (s zi)

V型系统

3.4 MATLAB辅助分析控制系统时域性能

G(s)H(s)

i 1

s

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wiv4.html