已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。

an?1an3an?1an3an????{}是，则，故数列n?1nn?1nn2222222an3a23??1?1?(n?1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，21222n231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。

22解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为

an?1an3?n?，说明数列n?1222aan3{n}?1?(n?1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列nn222{an}的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。

2

例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3n?n?1.

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3n?1转化为an?1?an?2?3n?1，进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。

例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3则

n?1

，得

an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21???，故 3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?1)?nnn?2n?2n?3233an?1an?1333333212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?1333333

1n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???331?3322?3n则an?211?n?3n??3n?. 322评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3n?1转化为进而求出(an?1an21???，3n?13n33n?1anan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?an??)?(?)?(?)???(?)?，即得数列?n?3n3n?13n?13n?23n?23n?332313?3?的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。 三、累乘法

例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则

an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.

an?1进而求?2(n?1)5n，

an评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5n?an转化为

出

anan?1aa????3?2?a1，即得数列{an}的通项公式。 an?1an?2a2a1例6已知数列{an}满足a1?1求{an}的通项，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，公式。

解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)

②

①

故

an?1?n?1(n?2) ananan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a22所以an? ③

由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知

a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?所以，{an}的通项公式为an?n!。 2n!. 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为

an?1?n?1(n?2)，an进而求出

anan?1a从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的????3?a2，

an?1an?2a2通项公式。 四、待定系数法

例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)

④

n将an?1?2an?3?5n代入④式，得2an?3?5n?x?5n?1?2，等式两边消去an?2x?5nnx?5，两边除以5，得3?5x?2x则代入④式得,x??1,2an，得3?5n?x?5n?1?2an?1?5n?1?2(an?5n)

1 ⑤

an?1?5n?1n由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则，则数列?2{a?5}是以nnan?5na1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，故an?2n?1?5n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5转化为an?1?5nnnn?1?2(an?5n)，

从而可知数列{an?5}是等比数列，进而求出数列{an?5}的通项公式，最后再求出数列

{an}的通项公式。

例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y) 将an?1?3an?5?2n?4代入⑥式，得

⑥

3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)

整理得(5?2x)?2n?4?y?3x?2n?3y。

令??5?2x?3x?x?5，则?，代入⑥式得

?4?y?3y?y?2

⑦

an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)

由a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式，

an?1?5?2n?1?2得an?5?2?2?0，则?3， nan?5?2?2n故数列{an?5?2n?2}是以a1?5?21?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，因此an?5?2n?2?13?3n?1，则an?13?3n?1?5?2n?2。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2n?4转化为

an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)，从而可知数列{an?5?2n?2}是等比数列，进而求

出数列{an?5?2?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

例9 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) ⑧ 将an?1?2an?3n?4n?5代入⑧式，得

22n

2an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z

等式两边消去2an，得(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn2?2yn?2z，

?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得

?x?y?z?5?2z?z?18??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ⑨

由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n2?10n?18?0

an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18则?2，故数列{an?3n2?10n?18}为以2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n2?4n?5转化为

an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)，从而可知数列

进而求出数列{an?3n2?10n?18}的通项公式，最后再{an?3n2?10n?18}是等比数列，求出数列{an}的通项公式。 五、对数变换法

例10 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。

解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)

⑩ 11 ○

n5n5n5将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg3?lg?2xn(??1)y?5(lgan?xn?y，两边消去

5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则

lg3?x???lg3?x?5x?4，故? ?lg3lg2x?y?lg2?5y??y???164?代入○11式，得lgan?1?由lga1?得lgan?lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??) ○12 41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0及○12式， 41644164lg3lg3lg2n???0， 4164lgan?1?则

lg3lg3lg2(n?1)??4164?5， lg3lg3lg2lgan?n??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n??}是以lg7???为首项，以5为公比的等41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1n???(lg7???)5，因此比数列，则lgan?41644164所以数列{lgan?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??4164464141614n?1n4?(lg7?lg3?lg3?lg2)5?[lg(7?3?3?2)]514116141411614n?1?lg3?lg3?lg211614n411614?lg(3?3?2)n411614

?lg(7?3?3?2)5n?1?lg(3?3?2)?lg(75n?1?3?lg(75n?1?3n?15n?1?n4?35n?1?116?2)5n?1?14)5n?4n?116?25n?1?14则an?75?35n?4n?116?25n?1?14。

n5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3?an转化为

lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2{lgan?n??}是等比数列，进而求出数列{lgan?n??}的通项

41644164lgan?1?公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 六、迭代法

3(n?1)2例11 已知数列{an}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。

n3(n?1)23n?2解：因为an?1?an，所以an?an?1nn?1?[a3(n?1)?2n?23n?2n?1n?2]

3(n?1)?n?2?an?22(n?2)?(n?1)3(n?2)?2?[an]3(n?1)?n?2?33(n?2)(n?1)n?2?an?33n?32(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1)???a13?an?1

?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)23n?1?n!?21又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1n(n?1)?n!?22。

n3(n?1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?an两边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2n?lgan，即

lgan?1?3(n?1)2n，再由累乘法可推知lgann(n?1)2n?1lganlgan?1lga3lga2lgan???????lga1?lg53?n!?2lgan?1lgan?2lga2lga1，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2。

七、数学归纳法

例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 1(2n?1)2(2n?3)29解：由an?1?an?88(n?1)a?及，得 1229(2n?1)(2n?3)8(1?1)88?224???(2?1?1)2(2?1?3)299?25258(2?1)248?348 a3?a2????(2?2?1)2(2?2?3)22525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n?1)(2?1?1)2?18（1）当n?1时，a1??，所以等式成立。 2(2?1?1)9(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时， 2(2k?1)8(k?1) 22(2k?1)(2k?3)ak?1?ak?(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)2(2k?3)2222

(2k?3)2?1?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1?[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法

*例13 已知数列{an}满足an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?故an?1?121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 241612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 24162422即4bn?1?(bn?3)

因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?13bn?， 221(bn?3)， 21为公比的等比数2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以列，因此bn?3?2()12n?1111?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得 222an?21n1n1()?()?。 3423评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化

bn?1?13bn?形式，从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，22最后再求出数列{an}的通项公式。

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