3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 教案+习题

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(重点、难点)．

预习教材P132－134完成下面问题： 知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 正弦 余弦 sin 2α＝2sin_αcos_α cos 2α＝cos2α－sin2α ＝2cosα－1 ＝1－2sinα 2tan αtan 2α＝ 1－tan2α22公式 简记 S2α C2α T2α 正切 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) αα

(1)sin α＝2sincos.( )

22

13

(2)cos2α＝(1＋cos 2α)，cos 3α＝1－2sin2α.( )

22π

＝tan.( ) π2

1－tan24π2tan

4

(3)

αα

提示 (1)√，在公式sin 2α＝2sin αcos α中，以α代换2α可得sin α＝2sincos．

22(2)√，由cos 2α＝2cos2α－1和cos 2α＝1－2sin2α可知其正确． π

(3)×，公式中所含各角要使三角函数有意义，而tan无意义．

2

题型一 二倍角公式的正用、逆用 【例1】 求下列各式的值： ππ

(1)cos2－sin2；

1212tan 22.5°(2)； 1－tan222.5°

(3)cos 20°cos 40°cos 80°． π3解 (1)原式＝cos＝．

6211

(2)原式＝tan 45°＝．

22

1

(3)原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°

2sin 20°＝＝＝＝

1

·sin 40°·cos 40°cos 80°

2sin 20°

1

sin 80°cos 80°

2sin 20°

21

·sin 160°

2sin 20°

3sin 20°1

＝．

23sin 20°8

规律方法 二倍角公式的关注点

α3α

(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角；α是的二倍角，3α是22的二倍角等．

1sin 2α

(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α

22sin α2tan α

－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． 2

1－tanα

(3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．

1π

【训练1】 (1)－cos2＝________；

281π1π2

解析 原式＝(1－2cos2)＝－cos＝－．

28244答案 －

2 4

π1

(2)若sin(－α)＝，则sin 2α＝________．

42π221

解析 ∵sin(－α)＝cos α－sin α＝，

4222∴cos α－sin α＝

21

，平方得1－sin 2α＝， 22

1

即sin 2α＝．

21答案 2

典例 迁移

3

【例2】 (1)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )

464A．

25C．1

48B．

2516D．

25

题型二 条件求值问题 1＋4tan α64

解析 原式＝cos2α＋4sin αcos α＝＝．

1＋tan2α25答案 A

π3ππ3π

α＋?＝，≤α<，则cos?2α＋?的值为________． (2)已知cos?4??4?52?2πππ2

解析 cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin＝(cos 2α－sin 2α)，

4442π3π3ππ4

∵cos(α＋)＝，≤α<，∴sin(α＋)＝－，

452245πππ

从而cos 2α＝sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)

24424

＝－，

25

ππ7

sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝．

2425π2247312

∴cos(2α＋)＝(－－)＝－．

42252550312

答案 －

50

π?5πcos 2x－x＝，0

解 ∵0

4413πππ12

∴－x∈(0，)，cos(－x)＝， 44413

cos2x－sin2xcos 2x＝ π2cos?＋x??cos x－sin x?42

π24＝2(cos x＋sin x)＝2cos (－x)＝．

413

sin 2x

【迁移1】 若例2(3)的条件不变，则的值是什么？

πsin?＋x?4π225

解 sin(－x)＝cos x－sin x＝，

42213119

平方得sin 2x＝，

169

ππππ12sin(＋x)＝cos[－(＋x)]＝cos(－x)＝， 424413sin 2x11913119所以＝×＝．

π16912156sin?＋x?4

π5

【迁移2】 若例2(3)的条件变为tan(－x)＝，其他条件不变，结果如何？

412π5

解 因为tan(－x)＝，

412π5π

所以sin(－x)＝cos(－x)，

4124ππ

又sin2(－x)＋cos2(－x)＝1，

44π12

故可解得cos(－x)＝，

413π24

原式＝2cos(－x)＝．

413

规律方法 解决条件求值问题的方法

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．

π

(2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．

4题型三 三角函数式的化简与证明

3－4cos 2A＋cos 4A

【例3】 求证：＝tan4 A．

3＋4cos 2A＋cos 4A

3－4cos 2A＋2cos22A－1

证明 ∵左边＝ 3＋4cos 2A＋2cos22A－1

?1－cos 2A?22sin2A2

?＝(tan2A)2 2＝??＝??2cosA??1＋cos 2A?

＝tan4 A＝右边，

3－4cos 2A＋cos 4A∴＝tan4 A． 3＋4cos 2A＋cos 4A

规律方法 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；

(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；

(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用； (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等； (5)利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等． 1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ【训练2】 求证：＝．

2tan θ1－tan2θ证明 原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，* 而*式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝

sin 2θ

(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边， cos 2θ

∴*式成立，即原式得证．

课堂达标

1．sin 15°sin 75°的值是( ) 1A．

21C．

4

B．D．

3 23 4

11

解析 sin 15°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝．

24答案 C

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