量子力学习题

? 量子力学复习题 ?

量子力学常用积分公式 (1)

naxx?edx?1naxnn?1axxe??xedxaa (n?0)

eaxesinbxdx?2(asinbx?bcosbx)2?a?b(2)

eaxax(acosbx?bsinbx)ecosaxdx?22a?b(3) ? 11xsinaxdx?sinax?xcosax2?aa(4)

ax2x2x2sinax?(?)cosaxxsinaxdx?22?aaa(5)

1xxcosaxdx?cosax?sinax2?aa(6)

22xx22xcosaxdx?2cosax?(?3)sinax?aaa(7)

xcax2?c?ln(ax?ax2?c)22a (a?0)

2(8)?ax2?cdx?

xc?aax2?c?arcsin(x)2c2?a (a<0)

?(n?1)!!?2sinnxdx?0n!!2 (n?正偶数)

(9) =

(n?1)!!?cosxdx n!! (n?正奇数)

? 2 (a?0) ?sinaxdx??0x(10)

?20n (11)) (12) (13)

??2 (a?0)

??0e?axxndx??ax2n!an?1 (n?正整数,a?0)

??0edx??ax21?2a

??0xe2ndx?(2n?1)!!?2n?1a2n?1

n!?2an?1 (14) 02?sinax?adx??x22 (15) 0?2ab?axxesinbxdx?222?0(a?b) (a?0) (16)

?a2?b2?axxecobsxd?x2?0(a?b2)2 (a?0)

?x2n?1e?axdx?2

一、简答题

1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。

3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ??r,?,?? ，写出粒子在立体角d?中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ??r,?,?? ，写出粒子在球壳?r,r?dr?中被测到的几率。

5. 一粒子的波函数为??r????x,y,z?，写出粒子位于x~x?dx间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱

??0,0?x?a,0?y?b,0?z?cV(x,y,z)????,其余区域

中粒子的能级和波函数。

?0,V(x)????,8. 一质量为?的粒子在一维无限深方势阱

中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

0?x?2ax?0,x?2a

??9. 何谓几率流密度？写出几率流密度j（r,t）的表达式。

10. 写出在z表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12.

?（L2,Lz） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？

13. 写出电子自旋z的二本征态和本征值。 14. 给出如下对易关系：

s ?????15. s、L分别为电子的自旋和轨道角动量，J?s?L为电子的总角动量。证明：

??[L2,L?]?0,[s2,s?]?0,[J2,s?L]?0，[J2,J?]=0，其中

?????x、y、z,J?s?L。

?y,p????L,L???y2x?z,p????L,L????s,s?????,????xyzxyzy???(r,?/2)????(r,sz)?????(r?,??/2)??， 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为

2?2?3dr?(r,??/2)?(r,?/2)准确叙述 及 ?分别表示什么样的物理意义。

???2S,SzS?s?s12 ，写出（17. 二电子体系中，总自旋 ）的归一化本征态（即自旋单

态与三重态）。

18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

??a的对易关系式；粒子数算符N与a、a的关系； 19. 给出一维谐振子升、降算符a、?aa表示的式子；N（亦即H）的归一化本征态。 NH哈密顿量用或、 20. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别

是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量H有什么样的要求？

22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态?(x)可用一组力学量完全集的共同本征态?n(x)展开：

?(x)??cn?n(x)n，

写出展开式系数

cn的表达式。

p?H??V(x)?m24. 一维运动中，哈密顿量 ，求?x,H???25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？

?p,H???

?x之间的测不准关系。 27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量p28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？

29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

二、计算题

???B??0，求 ??B?A?2?B?2?1，且A（一）.已知厄密算符A,B，满足A?、B?的矩阵表示； 1、在A表象中算符A?的本征值和本征函数； 2、在B表象中算符A3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 （二）. 设氢原子在t?0时处于状态

111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)222，求

?(r,0)???2和Lz的取值几率和平均值； 1、t?0时氢原子的E、L??2和Lz的取值几率和平均值。2、t?0时体系的波函数，并给出此时体系的E、L

（三）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下

?100??0C0??????H??030???C00??00?2??00C????? 面的矩阵给出

??H?(0)?H??，C是一个常数，C??1，用微扰公式求能量至二级修正这里，H值，并与精确解相比较。

（四）、令S??Sx?iSy，S??Sx?iSy，分别求S?和S?作用于Sz的本征态

??1??0?11???????????2?0?和2?1?的结果，并根据所得的结果说明S?和S?的重要性是什

么？

（五）、线性谐振子在t?0时处于状态

?(x,0)?

???12122????xexp?(?x)????2??33??，求 ，其中

1、在t?0时体系能量的取值几率和平均值。2、t?0时体系波函数和体系能量

的取值几率及平均值

（六）、当?为一小量时，利用微扰论求矩阵

?1??2??0 ?2?2??3?0??3??3?2???的本征值至?的二次项，本征矢至?的一次项。

（七）、一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有

两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

（八）、粒子在一维势场V(x)中运动,证明:属于不同能级的束缚态波函数互相

正交。(设?1、?2分别属于能级E1、E2的束缚态波函数，由于是一维束缚态，

???1、?2

?都是实函数，故只需证明

?1(x)?2(x)dx?0??)

2（九）、已知二阶矩阵A、B满足：A?0，AA??A?A?1，B?A?A，在B表象中，求出矩阵A、B。

???nS（十）、在z表象中，求自旋算符S在?{cos?,cos?,cos?}方向投影算符

???????Sn?S?n?Sxcos??Sycos??Szcos?的本征值和相应的本征态。

??x（十一）、用(a?bx)e做尝试波函数，用变分法求谐振子的基态能量。

2

（十二）、 一电荷为q的线性谐振子受恒定电场?作用，电场沿正x方向。用

微扰法求体系的定态能量和波函数。

（十三）、

?满足最简单的代数方程为（1）力学量算符A?)?A?n?CA?n?1?CA?n?2???C?0f(A?有12n，其中C1、C2、…为常数，试证明An个本征值，它们都是方程f(x)?0的根。

（2）若以a和a表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本

????22[a,a]?aa?aa?1(a)?0，以n?a?a表示该单粒a?0?对易式：，且，

子态上的粒子数算符，利用（1）的结论，求n的本征值。

?（十四）、

有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

（十五）、

试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能

V(x)?1m?2x22]

（十六）、

对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明

2a26a

x?（x?x）?（1?22）2 12n?

并证明当n??时上述结果与经典结论一致。

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