2018年高考数学黄金100题系列第37题三角形中的不等问理

第 37题 三角形中的不等问题

I．题源探究·黄金母题

【例1】海中一小岛，周围3.8n mile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行

精彩解读

【试题来源】人教版A版必修5第24页复习参考题A组第2题．

8 n mile以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮【母题评析】本题考查利用正余弦定

船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？ 【解析】根据题意作出如图所示，其中设C为岛所在位置，A,B是该轮船航行前后的位置，过C作

理解与三角形有关的综合问题，是常考题型．

【思路方法】根据题意画出图形，C为岛所在位置，A,B是该轮船航行前后的位置，过C作CD?AB于D，根据题意知，在△ABC中，AB?8，

CD?AB于D，根据题意知，在△ABC中，AB?8，?CAB?20?，?ABC?150?，

∴?ACB?180???ABC??CAB=10°，∠CBD=30°，

BCAB?由正弦定理得，，

sin?CABsin?ACB∴BC?ABsin?CAB8sin20?=≈15．7560，

sin?ACBsin10??CAB?20?，?ABC?150?，要

判断是否触礁，即需要计算C点到直线AB的距离CD，在△ABC中利用正弦定理计算出BC，在通过解直角三角形即可求出CD．

∴CD?BCsin?CBD?≈7．878＞3．8， ∴没有触礁的危险． 答：没有触礁的危险．

II．考场精彩·真题回放

【例2】【2016年高考北京理数】在?ABC中，

【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解能

（2）求2cosA?cosC 的最大值．

【解析】（1）由余弦定理及题设得

力，是中档题．

【考试方向】这类试题在考查题型上，

a2?c2?b2?2ac．

（1）求?B 的大小；

a2?c2?b22ac2cosB???，

2ac2ac2

1

又∵0??B??，∴?B??4；（2）由（1）知

通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，考查学生利用正余弦定理及相关知识解决与三角形有关的综合问题．

?A??C?3?， 43??A)42cosA?cosC?2cosA?cos(

【难点中心】解答此类问题的关键是熟练学三角恒等变形能力，形成解题

22?2cosA?cosA?sinA

22?22?cosA?sinA?cos(A?)2243?4，所以当

，因为

的模式和套路

0??A??A??4时，

2cosA?cosC取得最大值1．

【例3】【2016高考山东理数】在△ABC中，角A，B，

C的对边分别为a，b，c，已知

2(tanA?tanB)?tanAtanB?. cosBcosA（Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 【解析】???由题意知

sinAsinB?sinAsinB?2????， ??cosAcosB?cosAcosBcosAcosB化简得

2?sinAcosB?sinBcosA??sinA?sinB，

即2sin?A?B??sinA?sinB． 因为A?B?C??，所以

sin?A?B??sin???C??sinC．

从而sinA?sinB=2sinC．由正弦定理得

a?b?2c．

(?)由(?)知c?a?b， 22?a?b?22a?b???a2?b2?c22???cosC??2ab2ab

2

?3?8?b?a?a?b???14?12，当且仅当a?b时，等号成立．

故 cosC的最小值为

12． 【例4】【2015高考湖南，理17】设?ABC的内角A，

B，C的对边分别为a，b，c，a?btanA，且B为钝角．

（1）证明：B?A??2；

（2）求sinA?sinC的取值范围．

【解析】（1）由a?btanA及正弦定理，得

sinAasincosA?b?AsinB，∴sinB?cosA，即sinB?sin(?2?A)，

又B为钝角，因此??A?(?,?)，故B?22?2?A，即B?A??2．

（2）由（1）知，C???(A?B)，

??(2A??2)??2?2A?0，∴A?(0,?4)，

于

是

sinA?sinC?sinA?sin(?2?2A)=

sinA?cos2A

=?2sin2A?sinA?1??2(sinA?1)2?948， ∵0?A??4，∴0?sinA?22， 因此

2192??2(sinA?4)2?8?98，由此可知 3

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