悬臂三圆盘弹性转子系统的振动模态分析

悬臂三圆盘弹性转子系统的振动模态分析

第一章 绪 论

1.1 引言

旋转机械在工业生产中是一类不可缺少的机械设备，在社会生产中发挥着巨大的作用。转子动力学的研究已经历了一百多年的发展历史过程，取得了不少重大研究成果。随着大型旋转机械的功率越来越大，工作转速越来越高，转子-轴承系统的运行稳定性问题已逐渐成为转子动力学研究的主要内容之一。 1.1.1 旋转机械的概念

含有旋转运动的零部件的机械设备称为旋转机械，几乎大多数的机械设备都属于这一类。其在工农业生产中是一类不可缺少的机械设备，在人类日常生活中也随处可见。小的旋转机械如儿童手中的电动玩具车；大型的旋转机械有发电机厂的巨型汽轮机组等。旋转机械在社会生产中发挥着巨大的作用。随着生产技术的不断发展，人们对旋转机械的速度、效率和安全可靠性等方面的要求也越来越高。家庭用的机械设备人们要求它效率高、噪音低、体积小，工业上则要求更高的可靠性和经济性。

1.1.2 转子的概念研究

转子是旋转机械的心脏，旋转机械的运行与转子工作状态密切相关，长期以来转子系统动力学的研究就受到各国科技工作者的普遍重视。一百多年以前，兰金（Rankin）发表了一篇题为Centrifugal Whirling of Shafts的论文，从此便标志着应用力学领域里的一门新学科——转子动力学的诞生[1]。其主要目的是研究旋转机械的动力学问题，尤其是旋转机械的动力稳定性。

从研究方法角度分，转子系统研究经历了线性分析阶段，非线性分析阶段；从研究内容上分，转子系统经过了转子系统（含单转子，多转子两部分），转子-轴承系统，转子-轴承-基础系统和转子-轴承-底座系统四个阶段。到目前为止，

转子系统动力学研究已取得不少重大成绩，从百万千瓦发电机组的成功运行，到航天飞机胜利穿梭太空，无一不依赖于转子动力学研究的重大成果。

1.2 转子系统动力学研究的发展

转子动力学是固体力学的分支。 主要研究转子-支承系统在旋转状态下的振动、平衡和稳定性问题，尤其是研究接近或超过临界转速运转状态下转子的横向振动问题。转子是涡轮机、电机等旋转式机械中的主要旋转部件。1869年英国的W.J.M.兰金关于离心力的论文和 1889年法国的C.G.P.de拉瓦尔关于挠性轴的试验是研究这一问题的先导[1]。随着近代工业的发展，逐渐出现了高速细长转子。由于它们常在挠性状态下工作，所以其振动和稳定性问题就越发重要。

转子动力学的研究内容主要有以下5个[1]：

（1）临界转速。由于制造中的误差，转子各微段的质心一般对回转轴线有微小偏离。转子旋转时，由上述偏离造成的离心力会使转子产生横向振动。这种振动在某些转速上显得异常强烈，这些转速称为临界转速。为确保机器在工作转速范围内不致发生共振，临界转速应适当偏离工作转速例如10％以上。临界转速同转子的弹性和质量分布等因素有关。对于具有有限个集中质量的离散转动系统，临界转速的数目等于集中质量的个数；对于质量连续分布的弹性转动系统，临界转速有无穷多个。计算大型转子支承系统临界转速最常用的数值方法为传递矩阵法。其要点是：先把转子分成若干段，每段左右端4个截面参数（挠度、挠角、弯矩、剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递矩阵。再由边界条件和固有振动时有非零解的条

件，籍试凑法求得各阶临界转速，并随后求得相应的振型。 （2）通过临界转速的状态。一般转子都是变速通过临界转速的，故通过临界转速的状态为不平稳状态。它主要在两个方面不同于固定在临界转速上旋转时的平稳状态：一是振幅的极大值比平稳状态的小，且转速变得愈快，振幅的极大值愈小；二是振幅的极大值不像平稳状态那样发生在临界转速上。在不平稳状态下，转子上作用着变频干扰力，给分析带来困难。求解这类问题须用数值计算或非线性振动理论中的渐近方法或用级数展开法。

（3）动力响应。在转子的设计和运行中，常需知道在工作转速范围内，不平

衡和其他激发因素引起的振动有多大，并把它作为转子工作状态优劣的一种度量。计算这个问题多采用从临界转速算法引伸出来的算法。

（4）动平衡。确定转子转动时转子的质心、中心主惯性轴对旋转轴线的偏离值产生的离心力和离心力偶的位置和大小并加以消除的操作。在进行刚性转子（转速远低于临界转速的转子）动平衡时，各微段的不平衡量引起的离心惯性力系可简化到任选的两个截面上去，在这两个面上作相应的校正（去重或配重）即可完成动平衡。为找到两截面上不平衡量的方位和大小可使用动平衡机。在进行挠性转子（超临界转速工作的转子）动平衡时，主要用振型法和影响系数法。它们是转子动力学研究的重点。

（5）转子稳定性。转子保持无横向振动的正常运转状态的性能。若转子在运动状态下受微扰后能恢复原态，则这一运转状态是稳定的；否则是不稳定的。转子的不稳定通常是指不存在或不考虑周期性干扰下，转子受到微扰后产生强烈横向振动的情况。转子稳定性问题的主要研究对象是油膜轴承。油膜对轴颈的作用力是导致轴颈乃至转子失稳的因素。该作用力可用流体力学的公式求出，也可通过实验得出。一般是通过线性化方法，将作用力表示为轴颈径向位移和径向速度的线性函数，从而求出转子开始进入不稳定状态的转速——门限转速。导致失稳的还有材料的内摩擦和干摩擦，转子的弯曲刚度或质量分布在二正交方向不同，转子与内部流体或与外界流体的相互作用，等等。有些失稳现象的机理尚不清楚。

大型旋转机械的功率越来越大，工作转速越来越高，机组动力稳定性也就随着一次次灾难性事故的发生一直受到人们的重视。转子轴承系统的运行稳定性问题已逐渐成为转子动力学研究的重要内容之一。线性运动稳定性分析表明，系统的失稳一般情况下为对应的扰动方程出现一对正实部的复数根，工程上称为颤振失稳。而按非线性动力学理论，在非线性分析考虑某些参数小的变化至临界值时，导制系统的解的数目和性质发生变化。转子系统的非线性因素对转子系统局部和全部动态特性具有重大影响，许多非线性力学现象和规律，如振幅跳跃、分岔混沌、亚谐振动和内共振等，严重威胁转子系统运行的安全。而对这些复杂的动力学现象，线性力学解释、解决不了，必须使用非线性动力学方法。

第二章 有限元技术的发展及Ansys简介

2.1有限元技术的发展历史及现状

鉴于本次分析应用到Ansys的辅助工具，下面就其概况进行简单的介绍。 对于许多工程问题，不可能获得解析的数学解。以前，为了得到解析解，人们不得不做多到难以承受的假设和简化，以至于所得结果只能适用于最简单的情况。现在，对于材料性质和边界条件复杂的问题，工程师可以依靠数值方法给出近似的，较令人满意的答案。有限元就是这样一种数值方法。

从数学角度来看，有限元基本思想的提出，可以1943年Courant的开创性工作为标志。他第一次尝试应用定、义在三角行区域上的分片连续函数和最小未能原理相结合，来求解St．Venant扭转问题。但由于当时计算条件的限制，这种方法并没有受到足够重视。从应用角度来看，有限元的第一次成功应用者是Turener和Clough等人。他们在分析飞机结构时，用有限元法第一次得出了平面应力问题的正确答案。但是直到1960年，Clough又进一步应用有限元法处理了平面弹性问题，并提出了有限单元（Finite Element）的名称，这才使得有限元的理论和应用都得到了迅速的发展。

随着有限元理论的发展及计算机软硬件技术的发展，有限元法已经可用于求解结构力学、热传导、电磁场、流体力学、声学等很多问题，广泛应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、军工、电子、土木工程、造船、生物医学等一般工业及科学研究的模拟分析。

2.2 Ansys简介

Ansys软件是美国Ansys公司研制的大型通用有限元分析（FEA）软件，作为一款容结构、热、声、流体、电磁场于一体的大型通用有限元分析软件，在核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电

子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等领域有着广泛的应用。

为什么需要Ansys？因为随着科学技术的进一步发展，企业只有提高设计研发的能力才能跟上发展的脚步。其中在产品开发过程中，分析过程是一项重要的工作，其分析必须经过不断地修改，以得到最佳的效果。所以人们希望通过计算机辅助分析(CAE)，帮助解决相关复杂问题，做出最佳设计，它是计算机和现代工程方法的完美结合！

它包含了前处理、求解、后处理等模块，可完成如下功能： ·建立计算模型或者输入结构、产品、组件或系统的CAD模型 ·施加载荷或者其它设计条件

·研究模型的物理响应，比如应力水平、温度分布等 ·对产品进行优化设计，以降低产品的费用 ·做数值模拟实验

Ansys包含100多种单元，使用这些单元可进行以下分析类型： ·结构分析 ·热分析 ·电磁分析 ·流体分析 ·声学场分析 ·耦合场分析 ·优化设计

对于转子试验台主要使用Ansys的结构分析部分，该分析模块可进行结构静力分析、动力分析、屈曲分析、非线性分析在它的专项分析中还包括断裂分析和疲劳分析。

本文对转子试验台的结构主要采用Ansys的结构静力分析、结构动力分析及模态分析，并使用APDL实现模型的参数化。

(j)?A?A???A?0?????cj

j?1s?1式中：s—要计算的振动的阶序号，s>1; j—已算得的较准确的振型阶序号；

cj—待定常系数。

(j)?A因任设振型可表示为喜用的主振型???的线性组合，即

(j)?A上式两边各前乘????M?,并利用振型正交条件得：

(j)(j)(j)??A???M??A?0?cj??A???M???A??

(j)(j)???AMA而????????Mj,为系统第j阶主质量。由此可求出

TTTT?A(j)??M??A?0??cj?(j?1,2,...,s?1)

Mj(j)?A再将cj代入?A???A?0?????cj，即可由已知的假设振型?A?0，计算出清型后

j?1s?1T的用以进行迭代计算的振型。

矩阵迭代法因为要计算到所设振型与算的振型接近为止，所以最后算的的固有频率和振型精度较高，且能计算出多阶固有频率和相应的主振型。但只能一阶一阶的计算，算出第一阶才能算第二阶，算出第一、二阶才能计算第三阶，依此类推，计算工作较繁。

3.5 子空间法

本法可以说是李兹法与矩阵迭代法的结合，同时用s阶振型进行迭代求解。 先假设s个n维振型???j??0(j?1,2,...,s)构成一个n×s阶矩阵???0，即将

? ?1?0??2?0??3?0...??j????0?????0??作为系统前s阶主振型的零次近似。亦即

(1)(2)(3)(s)???????AAA...A?A?0????0????0??0??0??0

将???0前乘动力矩阵?D?，得：

???1??D????0

利用李兹法处理，既对它进行正交化，以使其各列趋于不用的主振型，又可对它进行归一化。按李兹法得

*?K???1????1?K????1 *??M??1????1?M????1

TT且将威尔提归结为s×s阶矩阵的特性值问题：

*2*??(?K??M?cj????0? ??1???1)?由此式解出s个特征值作为第一次近似，由它解出s个特征向量

(1)(2)(s)?????c,c,...,c??1??1???1,并归一化，再按下式求出前s阶主振型的第一次近似：

?A?1????1?c?1

将?A?1与?A?0比较，如要求的前几阶主振型对应相等或接近，则即为所求。否则以?A?1作为假设的新振型代替???0，重复上述各过程，直到?A?k与?A?k?1矩阵中前几列，即要求的振型对应相等或很接近为止。

子空间法兼有李兹法与矩阵迭代法的优点，收敛较快，精度较高，可用于计算多自由度系统的前几阶固有频率及相应的主振型。

第四章 ANSYS转子系统模型建立

4.1 转子系统模型建立步骤如下

1. 材料属性定义与自由网格划分

弹性模量E?210?10N/m

92 轴材料密度??7.8?103kg/m3

2.支座建立

首先建立一个支座然后坐标移动建立另一支座

3.轴承建立

将坐标移动到其始位置然后建立R=0.015m,L=0.34m的轴承 4.转子建立

坐标移动建立R=0.04m的三个转子

5.利用布德耳运算将整个系统全部粘贴在一起

4.2模型建立完毕结果如下：

第五章 振动模态分析

5.1 Ansys模态分析步骤

（1）前处理：

第一步：定义单元类型；

第二步：定义材料特性；弹性模量为2.1*10 9，泊松比为0.3，材料的密度为7800。 第三步：建立实体模型； 第四步：合并一个整体

第五步：划分网格；采用四边形自由划分网格。 （2）、求解： 第六步：施加约束；

第七步：求解固有频率；定义40阶 （3）、后处理：

第八步：显示出所求的固有频率。

第九步：显示一阶固有振型及显示出全部40阶固有振型，并形成动画。

5.2 观察结果

1.各阶固有频率(1-40阶)

SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE

1 111.63 1 1 1 2 112.81 1 2 2 3 222.57 1 3 3 4 224.19 1 4 4 5 240.02 1 5 5 6 267.56 1 6 6 7 429.10 1 7 7 8 649.94 1 8 8 9 659.83 1 9 9 10 761.77 1 10 10 11 768.52 1 11 11 12 1039.8 1 12 12 13 1044.7 1 13 13 14 1164.3 1 14 14 15 1444.5 1 15 15 16 1448.1 1 16 16 17 2261.3 1 17 17 18 3747.7 1 18 18 19 3994.7 1 19 19 20 4154.6 1 20 20 21 5822.1 1 21 21 22 6326.8 1 22 22 23 6845.2 1 23 23 24 7040.8 1 24 24 25 7331.6 1 25 25 26 7684.0 1 26 26 27 8148.1 1 27 27 28 8843.8 1 28 28 29 10216. 1 29 29 30 10685. 1 30 30 31 10739. 1 31 31 32 10887. 1 32 32 33 11378. 1 33 33 34 11536. 1 34 34 35 11562. 1 35 35 36 12035. 1 36 36 37 14146. 1 37 37 38 14210. 1 38 38 39 14874. 1 39 39 40 15207. 1 40 40

2. 各阶振型依次如下

一阶振型

二阶振型

三阶振型

四阶振型

五阶振型

六阶振型

七阶振型

八阶振型

九阶振型

十阶振型

十一阶振型

十二阶振型

十三阶振型

十四阶振型

十五阶振型

二十阶振型

二十五阶振型

三十阶振型

三十五阶振型

四十阶振型

第六章 结论

本课题研究了转子动力的模态，对各阶振型进行了分析，并对静力学、动力学进行了可行性分析。现将本文所做的工作及某些成果总结如下：

(1)首先建造了转子系统的有限元模型；给出了计算所采用的基本方法，包括对轴段单元的处理办法和划分办法，给出了对不平衡质量响应的求解方法；为转子系统动力学特性分析奠定了基础。

(2)对转子系统的模态进行了分析，分析了转子系统的各阶固有频率和各阶振型。知前两阶为第二跨转子的主振动，第三四阶为一跨转子的主振动。

(3)在进行静力学分析时,分别考察了在施加重力和同时加载重力及集中载荷两种情况下,节点位移云图和节点承受作用力的云图,形象的给出了转子试验台对静态力的承受能力。

（4）通过对临界转速和主振型的计算和分析，可以有效的避免共振现象的产生，对旋转机械的正常工作及机器的持久性有很大的帮助。

致谢

时光如箭，岁月如梭。半年来的忙碌而又充实的毕业设计伴随着多少秉烛夜战与多少彻夜难眠转眼间即将过去了。梅花香自苦寒来，经过四年大学生活的洗礼与造就，面临毕业设计的严峻考验，猛然间发现自己已经有了沉甸甸的收获，但也有书到用时方恨少的感慨。

毕业设计是对大学学习生活的一次综合检验，其目的就是为了融会贯通我们在各个阶段的学习成果。通过毕业设计，可以培养我们综合运用基础理论、基本知识和基本技能，分析和解决实际问题的能力。本次设计题目为悬臂三圆盘弹性转子系统的振动模态分析，所要完成的设计有：弹性支承转子系统力学模型建立；有限元分析；Ansys软件计算；模态分析临界转速与主振型等。通过这些具体设计内容，我逐渐加深了对实际工程的了解，也为以后的学习和工作打下了坚实的基础。

本次设计在老师的精心指导下进行的。老师们严谨治学细心指导的工作态度给我留下深深的印象。本次设计结束了,在此向老师致以诚挚的感谢,并向四年来

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