高一数学《集合与函数》练习题

高一数学科《集合与函数》练习题 2013.9.17

一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合A 0,2,a ,B 1,a2,若A B 0,1,2,4,16 ,则a的值为 A.0 B.1 C.2 D.4

2．已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ） A.A B B.A B C.CUA CUB D.CUA CUB 3．函数y＝1－x＋x的定义域是( )

A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有(

)

( )

A.（2）（3） B.（1）（4） C.（2）（4） D（1）(3) 5．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为( )

A．0或1 B．1 C．2 6. 函数y |x 1|的单调递增区间为( )

A. ( , 1] B. [ 1, ) C. ( ,1] D. [1, )

7. 奇函数f(x)在区间[1，4]上为减函数，且有最小值2，则它在区间[ 4, 1]上( )

A是减函数，有最大值 2 B是增函数，有最大值 2

C是减函数，有最小值 2 D是增函数，有最小值 2

D．以上都不对

9 x2

8. 函数y 的图象关于 （ ）

|x 4| |x 3|

A．x轴对称

B．y轴对称

C．原点对称 D．直线x y 0对称

二、填空题：本大题共4小题．

9．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________; 10．函数f(x)

x 0 2x

，则f( 1) ___________, x 0 f(x 3)

11．若函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2－2x，则当x<0时，f(x)=______________．

5

(a 1)x (x 1) 2

12．函数f(x) 在定义域R上单调递减，a的取值范围为．

2a 1 (x 1) x

三、解答题：本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 13. 已知集合A {x|a x a 3},B {x|x 3或x 8}. （1） 当a 1时，求(CRA) B.

（2） 若集合A B，求实数a的取值范围.

14． 已知f(x)＝

1

(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R) 1＋x

(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))的值；（3）若g(f(a))=3，求a

15. 已知函数f(x) x (1)求k的值；

k

是满足f(1) 3. x

(2)判断y f(x)的奇偶性并证明；

(3)判断函数y f(x)在[2,4]的单调性并证明你的结论，并求函数y f(x)在[2,4]上的最大值和最小值.

16． 已知函数f(x)=

ax+b1+x2

是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(12)=2

5

， （1）确定函数f(x)的解析式； （2）用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数；（3）解不等式f(t-1)+f(t)<0.

17．二次函数f（x）满足f(x 1) f(x) 2x,且f（0）=1.

（1）求f（x）的解析式;

（2）若在区间 1,1 上, 不等式f（x） 2x+m恒成立，求实数m的范围.

18.（本题为选做题）

已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x y) f(y) x(x 2y 1) 成立，且f(1) 0 ( 1）求f(0)的值; （2）求f(x)的解析式; （3）已知a R，设P：当0 x

1

时，不等式f(x) 3 2x a 恒成立； 2

Q：当x [ 2,2]时，g(x) f(x) ax是单调函数。如果满足P成立的a的集合记

为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩CRB（R为全集）。

高一数学科《集合与函数》答案

9. (－∞，40]∪[64，＋∞) 10. 4 11．－x2－2x 12. ( 12,12

]

三、解答题

13.解:(1)当a=1时,A={x|1<x<4}, ∴CRA {x|x 1或x 4} ∴(CRA) B {x|x 3或x 4} (2)∵A B由数轴可知:a+3≤3或a≥8

解得a≤0或a≥8

∴实数a的取值范围是{x| a≤0或a≥8}

14、解：(1)∵f(x)11＋x， ∴f(2)＝11

1＋23

，

又∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6. …………………………… 5分

(2)由(1)知g(2)＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝1

7

.……………………………10分（3）由g(f(a))=3，可得f(a)=1或f(a)=-1

若f(a)=1，则a=0 若f(a)=-1，则a=-2

∴a 0或-2 ……………………………15分 15.解:(1)依题意得：1+k=3,得k=2 (2)由(1)得f(x) x

2x

函数的定义域为R关于原点对称,

f( x) x

2

x f(x) ∴函数f(x) x 2

x是奇函数.

(3)设x1,x2∈[2,4],且x1<x2

f(x22) f(x1) x2 x (x21 )2x1

(x22 x1) (x 2x)21

(x2(x

1 x2)2 x1) x1x2

(x2 x1)(x1x2 2)

x1x2

∵x1,x2∈[2,4],且x1<x2

∴x2-x1 >0,x1x2>4, 即x1x2 2 0, ∴f(x2) f(x1) 0 ∴函数f(x) x 2

x

在[2,4]上是增函数 ∴ymin=f(2)=3, y9max=f(4)=2

ìïìïf(0)=0ïïbïï1+02=016、解：（1）依题意得ï

ïí

ïïïî

f(12ïïa 得ìïïía=1 2)= 即í5ïï+b

ï2ïb=0ïï=ïîï1ïïî

1+54∴f(x)=

x

1+x

2

……………………………5分 （2）证明:任取-1<x1<x2<1， 则f(x1)-f(x2)=

x1x2(x1-x2)(1-x1+x2-1x2)

x2=2

11+2(1+x21)(1+x2)

-1<x0，1+x22

1<x2<1,\x1-x2<1>0,1+x2>0

又 -1<x1x2<1,\1-x1x2>0\f(x1)-f(x2)<0

∴ f(x)在(-1,1)上是增函数。 ……………………………10分 （3）f(t-1)<-f(t)=f(-t)

f(x)在(-1,1)上是增函数，∴-1<t-1<-t<1，解得0<t<

1

2

……15分

17、解：(1)设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2

+bx+1 ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2

+b(x+1)+1-(ax2

+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,

所以 2a 2 b 0, a 1,∴f(x)=x2

-x+1. ……………………………5分 a

b 1

(2)由题意得x2

-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2

-3x+1-m>0在[t,t+2]上恒成立. 设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=3

2 ,

当t

3

2

时， g(x)最小值为g(t)= t2-3t+1-m>0 , 此时，m< t2-3t+1

当

12 t 3

2

时，g(x)最小值为g(1.5)= 54 m>0，此时，m 54

当t 1

2

时，g(x)最小值为g(t+2)= t2+t-1-m>0 此时m< t2+t-1 ………15分

18、解（1）令x 1,y 1，则由已知f(0) f(1) 1( 1 2 1)

∴f(0) 2 （2）令y 0， 则f(x) f(0) x(x 1) 又∵f(0) 2

∴f(x) x2

x 2 （3）不等式f(x) 3 2x a 即x2 x 2 3 2x a 即x2 x 1 a 当0 x

1313

2时，4 x2 x 1 1， 又(x 2)2 4

a恒成立 故A {a|a 1}

g(x) x2 x 2 ax x2 (1 a)x 2

又g(x)在[ 2,2]上是单调函数，故有

a 12 2,或a 1

2

2 ∴B {a|a 3,或a 5} ∴A∩CRB={a|1 a 5}

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