例谈中考压轴题的存在性问题__东莞市清溪中学_杨东科

例谈中考压轴题的存在性问题

【摘要】 存在性问题是中考压轴题中常考的题型，涵盖的知识面广，对学生的要求较高，很多学生对此类问题束手无策.本文从二次函数、直线形几何、图形变化等三方面的存在性问题作解析，以得到解决此类存在性问题的解题策略，同时结合数学思想方法对该类型的存在性问题作点评.

【关键词】 存在性； 二次函数；直线形；图形变换；数学思想方法

存在性问题的知识覆盖面较广，综合性较强，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，是今年来中考压轴题常见的题型。存在性问题往往与平面几何知识、函数知识、、三角形面积、三角形相似和全等、勾股定理相结合，同时要运用分类讨论、数形结合思想、方程思想等等数学思想方法综合解决问题，有些学生在解决这类问题时，会出现漏解、错解，甚至无从下手等现象。笔者多年在初三任教备战中考，对存在性问题作了一点分析和归纳，试图通过对2012年全国部分省市有关此类存在性问题的解析，以期帮助学生顺利找到解决此类问题的解题策略和注意的问题. 1 二次函数问题中的存在性

1．1 二次函数中动点与三角形的存在性

例1 （2012年临沂市第26题）如图1，点A 在x 轴上，

OA=4，讲线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置.

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P 使得以点P 、O 、

B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；

若不存在，说明理由.

解：（1）如图2，过B 点作BC ⊥x 轴，垂足为C ，则∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，∴OC=2

1OB=2，3260sin BC =??=OB （2）∵抛物线经过原点O 和点A 、B ，∴设抛物线解析式为bx ax y +=2，

将点A （4,0），B(-2，32-)代人，得???-=-=+32240416b a b a ，即???

????=-=33

263b a ， ∴抛物线的解析式为x x y 3

32632+-=； （3）存在符合条件的点P.

如图2，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x 轴的交点为D ，

设点P 的坐标为（2，y ），

①若OB=OP ，则22242=+y ，解得32±=y ， 当32=y 时，在Rt △POD 中，∠PDO=90°，

图

1 图2

sin ∠POD=2

3=OP PD ，∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P 、O 、B 三点在同一直线上， ∴32=y 不符合题意，舍去，∴点P 的坐标为（2，32-）.

②若OB=PB ，则2224)32(4=++y ，解得32-=y ，故点P 的坐标为（2，32-）.

③若OP=BP ，则22222)32(4y y +=++，解得32-=y ，故点P 的坐标为（2，32-）. 综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，32-）.

点评：此题主要考查了二次函数知识的综合应用以及等腰三角形的性质、判断等知识，对于题目中“是否存在点P 使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？”，由于没有明确等腰三角形的底和腰，所以要分类讨论，同时在求点P 坐标时，还要充分注意图形的几何特点，采用数形结合和方程等数学思想方法的应用.

1．2 二次函数中动点与四边形的存在性

例2 （2012年安顺是第26题）如图所示，在平面直角坐标系

中，矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm ，点A 、C 分别在

y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、B ，且18a+c=0.

（1）求抛物线的解析式

（2）如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度线终点C 移动.

①移动开始后第t 秒时，设△PBQ 的面积为S ，试写出S 与t 之间

的函数关系式，。并写出t 的取值范围；

②当S 取最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.

解：（1）由题意知点A （0，-12），∴c=-12，又18a+c=0，∴a=

32， ∵AB ∥OC,且AB=6，∴抛物线的对称轴是32=-

=a b x ，∴b=-4， ∴抛物线的解析式是124322--=

x x y ； （2）①9)3(6)6(22

122+--=+-=-??=t t t t t S ，)60(<

若以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：

当点R 在BQ 的左边，且在PB 下方时，点R 的坐标是（3，-18）代人抛物线的解析式中，所以存在，点R 的坐标就是（3，-18）.

当点R 在BQ 的左边，且在PB 上方时，点R 的坐标是（3，-6）代人抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R 不满足条件.

当点R 在BQ 的右边，且在PB 上方是，点R 的坐标是（9，-6）代人抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R 不满足条件. 图1

综上所述，满足条件的点R 坐标为（3，-18）.

点评：此题由矩形OABC 的边长写出矩形顶点的坐标，结合已知条件下不难求出抛物线的解析式，虽然是双动点的运动，但与B 点构成的三角形不需要分类讨论。抛物线上的点R 与P 、B 、Q 三点组成平行四边形，由于没有指明顶点的顺序，所以要分类讨论，不仅要考虑点R 在BQ 左边或右边的情况，同时还要考虑点R 在PB 的上方或下方，此处容易考虑不周.

2 直线形问题中的存在性

2．1 三边形中动点相关的存在性

例3 （2012年青岛市第24题）已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ，点P 从点D 出发，

沿DE 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q

从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm/s ，

当点P 停止运动时，点Q 也停止爱运动。连接PQ ，

设运动时间为t （s ）)40(<

解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？

（2）当点Q 在BE 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t ，使PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为29:1:PQ BCD =?五边形S S PQ E ？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由.

解：(1)在Rt △ABC 中，AC=6，BC=8，所以108622=+=AB .

∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点.∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE ∥BC 且DE=2

1BC=4， ∵PQ ⊥AB ，∴∠PQB=∠C=90°，又DE ∥BC ，∴∠AED=∠B ，∴△PQE ∽△ACB ，∴

BC QE AB PE =. 由题意得PE=4-t ，QE=2t-5，即852104-=-t t ，解得14

41=t ； (2)如图2，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，由△PME ∽△ACB ，得AB PE AC PM =，∴10

46t PM -=， 得)4(53t PM -=. ∴6103953)4(53)2-521PM EQ 212PQE +-=-?=?=t t t t S （△， 1838421DCBE =?+?=）（梯形S . ∴1210

3953)6103953(18y 22++-=+--=t t t t ； （3） 存在时刻t ，使得29:1:PQ BCD =?五边形S S PQ E ，此时BCDE PQE 30

1梯形△S S =. ∴1830161039532?=+-t t ，即0181322=+-t t . 图2

∴舍去）(2

9,221==t t . 当t=2时，5

20551356MQ PM PQ 2222=+=+=）（）（. ∵5321=?h PQ ，∴2052056205

556=?=h （或2056） 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，将相似三角形与二次函数融合在一起，运用了勾股定理、三角形面积公式知识，综合性较强，此类型的存在性问题是中考常考题型.此类问题常以点的移动引起三角形中相关数据的变化，确切的说，是用函数的观点去分析动态问题，但函数只是一个工具，其重点还是利用三角形的相关性质.

2．2 多边形中动点相关的存在性

例4 （2012年临沂市第25题）已知，在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b,动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动.

（1）如图1，当b=2a ，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b<2a 时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图，当b<2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

解：（1）证明：∵b=2a ，点M 是边AD 的中点，∴AB=AM=MD=DC.

又∵四边形ABCD 是矩形，∠A=∠D=90°，∴∠AMB==∠DMC=45°，∴∠BMC=90°

（2）存在.理由如下：

若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC ，

又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM ∽△DMC ， ∴DM AB CD AM =，∴AM

b a a AM -=，设AM 为x ，整理得022=+-a bx x ， ∵a b 2>，0>a ，0>b ，∴042>-=?a

c b ，

∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于0，符合题意.

∴当a b 2>时，存在∠BMC=90°；

（3）不存在.理由如下：

若∠BMC=90°，由（2）可知022=+-a bx x .

∵0,0,2><

∴当a b 2>时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立.

点评：本题涉及动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意分析图形，确定△ABM ∽△DMC ，图3图2图1

A B

图1

由数形结合便可解答.本题要充分应用数形结合的思想方法.

3 图形变换中的存在性

3．1 图形平移中的存在性

例5 （2012年珠海市第22题）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB

∥CD ，AB=23，DC=2，高CE=22，对角线AC 、BD 交于H ，平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 与F 、G ；当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x 秒.

（1）填空：∠AHB=__________；AC=__________； （2）若123S S =，求x ；

（3）若12mS S =，求m 的变化范围. 解：（1）90°，4；

（2）直线移动有两种情况：230<

3

≤≤x . ①当2

3

0<

12==AF

AG S S .∴11234S S S ≠=； ②当22

3

≤≤x 时，如图2，x CG 24-=，1=CH ，

21421BCD =??=△S ,22

CRQ2x)-8(212-42=?=）（△x S ,

213

2

x S =,22)2(88x S --=,

由123S S =，得方程22

323)2(88x x ?=--，解得5

61=x （舍去），

22=x .∴2=x ；

（3）当230<

3

≤≤x 时，由12mS S =， 得4)32

1(361248363

2)2(882222+--=-+-=--=

x x x x x m . m 是

x 1的二次函数，当223≤≤x 时，即当32121≤≤x 时，m 随x

1

的增大而增大.

图2

E

图1

E 图

2

当3

2

=

x 时，最大值m=4.当x=2时，最小值m=3. ∴43≤≤x .

点评：本题是一道几何代数综合题，重点考查等腰梯形、相似三角形的性质，二次函数的性质、最值和分论讨论，是又特殊到一般的数学思想等的综合应用。

3．2 图形旋转中的存在性

例6 （2012年南充市第21题）在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ 中点，吧

一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B. （1）求证：MA=MB ；

（2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 解：（1）连接OM.如图2.

∵△PQO 是等腰直角三角形且M 是斜边PQ 的中点， ∴MO=MQ ，∠MOA=∠MOQ=∠MQB=45°.

∵∠AMO+∠OMB=90°，∠OMB+∠BNQ=90°. ∴∠AMO=∠BMQ. ∴△AMO ≌△BMQ. ∴MA=MB. (2)由（1）中△AMO ≌△BMQ 得AO=BQ. 设AO=x ，则OB=4-x.在Rt △OAB 中，

AB=8)2(2)4(2222

2+-=-+=

+x x x OB OA .

∴当x=2时，AB 的最小值为22， ∴△AOB 的周长的最小值为422+.

点评：本题以直角三角形为基本图形，综合全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理和二次函数的性质等知识点，考查了学生综合运用数额学知识以及转化的数学思想解决问题的能力。

3．3 图形翻折中的存在性

例7 （2012年德州市第23题）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使得点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 与H ，折痕为

EF ，连接BP 、BH.

（1）求证：∠APB=∠BPH ；

（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的

结论；

（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，

求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB.

又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP ，

即∠PBC=∠BPH.

又∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBC.∴∠APB=∠BPH ； （2）△PHD 的周长不变，为定值

8. 2

M

E

图3 证明：如图，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q.

由（1）知∠APB=∠BPH ，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP,

∴△ABP ≌△QBP.

∴AP=QP ，ABBQ.又∵AB=BC ，∴BC=BQ.

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH.∴CH=QH.

∴△PHD 的周长为PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）如图，过F 做FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ，又EF 为折痕，∴EF ⊥BP.

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°,∴∠EFM=∠ABP.

又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM ≌△PBA.∴EM=AP=x. ∴在Rt △APE 中，2

22)4(BE x BE =+-.解得822

x BE +=. ∴CF=BE-EM=x x -+822. 又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等，

∴4)4

4(21)(212

?-+=+=x x BC CF BE S ， 即82212+-=x x S ，

配方得6)2(2

12+-=x S ，∴当2=x 时，S 有最小值6. 点评：此题是函数和几何的综合应用题。本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识。此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x 来表示S.

4 总结

解决存在性问题的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

【参考文献】

[1] 张韦强主编.中考大问题.《中学数学参考》[J] ,陕西师范大学出版社,2012,12

[2]徐中华. 用“三个模式”求解存在性问题. 中学数学，2009，8