微元法在解题中的应用 - -物理

微元法在解题中的应用

江苏省镇江第一中学 邹建平

随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用．比如：位移对时间的变

dxdv，求位移：x??vdt；速度对时间的变化率——加速度：a?，dtdtdp求速度v??adt；动量对时间的变化率——力：F?，求冲量I??p??Fdt；磁通量对时

dtd?间的变化率——感应电动势：E?；通过导体某一截面的电量对时间的变化率——电流强度：

dtdqdWI?，求电量q??idt；功对时间的变化率——瞬时功率：P?，求功W??Fdx；穿

dtdtd?过线圈的磁通量对时间的变化率——感应电动势：E?n。学生掌握微元思想对这些物理概

dt化率——瞬时速度：v?念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。

一、用微元法解题的基本方法和步骤

例. 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初速度v0向右运动。求这个过程的总位移？

解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作用，导体棒做非匀减速运动，

B2L2v?BIL???ma 在某一时刻取一个微元

RB2L2?vi?t?m?v 两边求和

RmvRB2L2?x?m(0?v0) 得 x?202

RBLB2L2vi?v??m 变式

R?tB2L2??vi?t??m?v 因vi?t??xi 故

R小结：在处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。在解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。

微元法的解题思路：①选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时变化问题的困难）；②利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分

利用数学工具，既完成问题“转化”且保证所求问题的性质不变，又能简单地求得结果）

微元法的解题步骤：①确定研究对象，选取“微元”；②列出相关微元的方程；③对相关微元进行累积求和或求导。

二、用微元法解题的方法的应用

1、微元法在动量定理中应用

例1、 一质量为m、带电量为＋q的带电粒子（重力不能忽略），以速度v0从磁场上边界竖立进入一宽度为d的匀强磁场区域（如图所示），磁感应强度为B，试求粒子飞出磁场的方向？

解: 该带电粒子的运动分解为水平和竖直两个方向的运动．在水平方向除洛仑兹力分力外无其它力的作用，所以在水平方向用动量定理有： △px=Fx△t =qEvy△t

∑△px =∑qBvy△t mvcosθ=qBd，而粒子在下落过程中只有重力做功，所以有

22mv2/2-mv02/2=mgd,，得v=2gd?vo，代人上式则得cosθ=qBd/(m2gd?vo)．

2、微元法在变化的电量中运用

如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为L和2L，宽间距的导轨间相距均为2L、窄间距的导轨间相距均为L，最左端用导线连接阻值为R的电阻，各段导轨间均用导线连接，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．质量为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．导轨和导体棒电阻均忽略不计．现使导体棒从ab位置以初速度v0垂直于导轨向右运动，则

（1）若导体棒在大小为F、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd位置时的速度为v，

求在此运动的过程中电路产生的焦耳

a 热． B c （2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速

v0 2L L 运动，求导体棒运动到cd位置的过程R 中，水平拉力做的功和电路中电流的有db 效值．

（3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力L L L 22L 2L 作用，求运动到cd位置时的速度大小．

1212mv0?mv 2218B2L3v0 （2）W?W1?W2? I?R解析：（1）Q?9FL?2BLv0 R重点讨论第（3）题

（3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为?v1和?v2，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律，在t?t??t时间内有

?v?F2BL?t，则 ?v1??I?t ， mm??1E4B2L32B2L3∑?q?I?t q1???t1?=写出式，?v1? 同理 ?v2? 所以导

RRRmRm18B2L3体棒运动到cd位置时的速度大小 v??v0?3(?v1??v2)?v0?

mR3、微元法在变化的速度中应用

例．如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为d，导轨上面横放着两根导体棒L1和L2，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m，电阻都为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持L1向上作速度为υ的匀速运动，在t=0时刻将靠近L1处的L2由静止释放(刚释放时两棒的距离可忽略)， 经过一段时间后L2也作匀速运动。已知d=0.5m ， m=0.5kg，R=0.1Ω，B=1T， g取10m/s2。

(1)为使导体棒L2向下运动，L1的速度υ最大不能超过多少？

(2)若L1的速度υ为3m/s,在坐标中画出L2的加速度a 2与速率υ2 的关系图像；

(3)若L1的速度υ为3m/s，在L2刚作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m，求在此时刻前L2运动的距离。

解： ⑴ ??4m/s

⑵ a?2.5?2.5?2

重点讨论第（3）题

(3) 当导体棒L2做匀速运动时，L1和L2两棒的速度分别是υ和υ2，由平衡条件得

B2d2(???2)?mg 得???2?4m/s

2R设当导体棒L2、L1的相对速度为υ相时，棒的加速度 a?g?B2d2?相2Rm

取极短时间Δt，在时间Δt内速度变化Δ? ???g?t?B2d2?相2Rm?t

B2d2????g??t?2Rm??相?t B2d2x相 得?2?gt?2Rm 又υ相Δt=Δx相

代入数据得两棒间距为4m所用时间t=1.1s 导体棒L1运动的位移x1=υt=3×1.1m=3.3m

导体棒L2运动的位移x2?x相?x1?0.7m

4、微元法在变化的位移中应用

例：从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，

落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动．求：

（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功； （2）球抛出瞬间的加速度大小； （3）球上升的最大高度H． 解析： ⑴W??Wf?重点讨论⑶

上升时加速度为a，??mg?kv??ma

v v0 ?v?1212mv0?mv1 ⑵ a0??1?0?g 22?v1?v1 O t1 t ka??g?v

m 取极短时间?t，速度的变化量?v，有

?v?a?t??g?t? 又v?t??h 上升全过程

kv?t m??v?0?v0??g??t? 则 v0?gt1?k??h mk?v?gt1?v1 H H?0mg5、微元法在变化的时间中应用

例：如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、 足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为?，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“

”型装

置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d（d < l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。 求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的

焦耳热Q；

（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ；

（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界

的最大距离?m 。

解析．(1) Q?4mgdsin??BIld?0

（3）xm?BIld

BIl?mgsin?重点讨论第（2）题

（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d

??2d?BIld?0?由动能定理 mgsin12mv1 2装置在磁场中运动时受到的合力 F?mgsin??F'

? 安培力 F'?BI'd RF?t 由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有?v?感应电动势

?=Bd? 感应电流 I'=

m则??v????B2d2v??gsin??mR??t?v??2B2d3有1?gt1sinmR

?2mgdsin?)?2B22m(BIldd3解得 t1?Rmgsin?

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