高三数学第一轮复习单元测试—圆锥曲线

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高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的） 1．（2008年北京卷）若点P到直线x 1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨

迹为

（ ）

A．圆

2

B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

（ ）

x2y2

2若抛物线y 2px的焦点与椭圆 1的右焦点重合，则p的值为

62

A． 2 B．2 C． 4 D．4

2

2

3．已知双曲线3x y 9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离

之比等于 （ ）

A．2

B．

2

23

3

2

C． 2 D．4

（ ）

4．与y轴相切且和半圆x y 4(0 x 2)内切的动圆圆心的轨迹方程是

A．y 4(x 1)(0 x 1) C．y 4(x 1)(0 x 1)

2

2

2

2

B．y 4(x 1)(0 x 1) D． y 2(x 1)(0 x 1)

2

22

5．直线y 2k与曲线9kx y 18k

x (k R,且k 0)的公共点的个数为

（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

22xy6．如果方程 1表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 pq

（ ）

x2y2

A． 1

2q pqx2y2

B． 1

2q pp

x2y2

1 C．

2p qq

，

则

椭

圆

离

x2y2

D． 1

2p qq

7．（2008年江西文卷）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0的点M总在椭

圆内部（ ）

心

率

的

取

值

范

围

是

A．(0,1) B．(0,] C

．8．双曲线mx y 1的虚轴长是实轴长的2倍，则m

A．

2

2

12 D

．

（ ）

11

B． 4 C．4 D． 44

9．设过点P x,y 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B 两点，点Q与点P

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关于y轴对称，O为坐标原点，若 2，且 1，则P点的轨迹方程是 （ ）

A．3x2

32

y 1 x 0,y 0 2

B．3x2 D．

32

y 1 x 0,y 0 2

C．

32

x 3y2 1 x 0,y 0 2

2

32

x 3y2 1 x 0,y 0 2

10．抛物线y x上的点到直线4x 3y 8 0距离的最小值是 （ ）

A．

4 3

2

B．

7 5

C．

8 5

D．3

11．已知抛物线x y 1上一定点A( 1,0)和两动点P,Q当PA PQ是,点Q的横坐标的

取值范围是 A．( , 3]

B．[1, )

C．[ 3,1]

（ ）

D． ( , 3] [1, )

x2y212．椭圆 1上有n个不同的点:P1,P2,....Pn,,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}是公

43

差大于

1

的等差数列,则n的最大值为 100

（ ）

A．199 B．200 C．198 D．201

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)

x2y2

13．椭圆 1的两个焦点为F1,F2 ,点P在椭圆上.如果线段PF1的

123

中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的______________倍. x2y2

14．如图把椭圆+=1的长轴AB分成8等

2516

分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部

分于P1,P2, ,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+ +|P715．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边

的柱长应为____________.

16．已知两点M( 5,0),N(5,0),给出下列直线方程:①5x 3y 0;②5x 3y 52 0;③

的所有直线方程是x y 4 0.则在直线上存在点P满足|MP ||PN |6_______.(只填序号)

三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：

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y2x2

航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 1，变轨（即航天器运行轨迹由

1002564

椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M 0, 为顶点的抛物线的实

7

线部分，降落点为D(8,0). 观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B

测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天 器发出变轨指令？

218．（本小题满分12分）(2008年上海卷)已知双曲线C: y2 1，P为C上的任意点。4

（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值；

19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为于0的常数).

（1）求椭圆的方程;

1

,一个焦点是F( m,0)(m为大2

（2）设Q是椭圆上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M,若|MQ| 2|QF|,求直

线l的斜率.

x2y2

1长轴的左、右端点,点F是椭20．（本小题满分12分）已知点A,B分别是椭圆

3620

圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA PF. （1）求点P的坐标;

（2）设M椭圆长轴AB上的一点, M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点

M的距离d的最小值.

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21．（本小题满分12分）（2008年陕西卷）已知抛物线C：y 2x，直线y kx 2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N． （Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

2

（Ⅱ）是否存在实数k使NA NB 0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）设x,y R,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若

向量a xi (y 2)j,b xi (y 2)j,且|a| |b| 8.

（1）求点M(x,y)的轨迹C的方程;

（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点,设OP OA OB,是否存在这样的直线

l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.

答案与解析（7）

1．D . 把P到直线x 1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。

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x2y2

2．D . 椭圆 1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2 2px的焦点为(2,0)，则p 4，

62

故选D．

3．答案选C 依题意可知 a

,c a2 b2 9 2，

e

c2 2，故选C． a3

4．A 设动圆圆心为M(x,y),动圆与已知半圆相切的切点为A,点M到y轴的距离为d,则

有|OA| |OM| d,而d x,

所以2

2

2

2

2

x,化简得y2 4(x 1)(0 x 1).

2

2

2

2

5．D．将y 2k代入9kx y 18kx得：9kx 4k 18kx

9|x|2 18x 4 0，显然该关于|x|的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4

个，故选择答案D．

6．D．由题意知,pq 0.若p 0,q 0,则双曲线的焦点在y轴上,而在选择支A,C中,椭圆

的焦点都在x轴上,而选择支B,D不表示椭圆;

若p 0,q 0,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方c p q,双曲线的焦点在x轴上,选择支D的方程符合题意.

7．C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c b c b a c e

2

2

2

2

2

2

1

2

又e (0,1),

所以e (0,

2

8．A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，

因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形

x2y2y2x2

2 1 2 122bb式是a或a（a,b 0），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以

x2

y2 1

要变一下形儿，变成1/|m|。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4.

11:1 4m

4。选A．当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即|m|，所以

即可直接把答案A圈出来

9．D．由

2及

A,B

分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，

33

A(x,0),B(0,3y)，AB ( x,3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q( x,y)，22

3322

OQ=( x,y)，则OQ AB ( x,3y) ( x,y) x 3y 1(x 0,y 0)

22

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|4t 3t2 8||3t2 4t 8|d 2

5510．A .抛物线上任意一点（t， t）到直线的距离.因为

4 4 3 8 0，所以3t 4t 8 0恒成立.从而有

22

d

12

3t 4t 8 5，

dmin

14 3 8 424

54 33.选A．

2

11．D .由题意知,设P(x1,x1 1),Q(x2,x2 1),又因为A( 1,0,)由PA PQ

知,

PA PQ 0

,即

2

( 1 x1,1 x12) (x2 x1,x22 x12) 0

,也就是

( 1x 1)x 2(x 1

2

) x(1 12

x2 ),因为x(1 )x1 01,所以上式化简得x1 x2,且

x2

11

x1 (1 x1) 1,由基本不等式可得x2 1或x2 3. 1 x1(1 x1)

|最小,|PnF|最大,又F为椭圆的右焦点,设12．D . 由题意知,要使所求的n最大,应使|PF1

Pn的横坐标为xn故由第二定义可得,|PnF| a exn,其中a 2,e

1

,所以当x1 2时, 2

|PF| 1,当xn 2时, |PnF| 3最大.由等差数列的通项公式可得, 1|PnF| |PF| (n 1)d,即n 1

21

,解得n 201. 1,又因为d

d100

13．7倍.

由已知椭圆的方程得a b c 3,F1( 3,0),F2(3,0).由于焦点

F1和F2

关于y轴对称,所以PF2必垂直于x轴.所以

PPF2| PF1| ,所以|PF2| 7|PF1|. 14．35. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2), ,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+ +x7=0,于是

|P1F|+|P2F|+ +|P7F|=a+ex1+a+ex2+ +a+ex7=7a+e(x1+x2+ +x7)= 7a=35,所以应填35. 15．1米. 由题意知,设抛物线的方程为x 2py(p 0),又抛物线的跨度为16,拱高为

4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以p 8.即抛物线方程为x 16y.所以当x 4时,y 1,所以柱子的高度为1米.

2

2

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x2y2

16．②③. 由|MP| |PN| 6可知点P在双曲线 1的右支上,故只要判断直线

916

4

x,直线①过原点且斜率3

5452 ,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在y轴上的截距为 故333

4

与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率1 ,故与双曲线的右支有一个交点.

3

与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为y 17．（1）设曲线方程为y ax2

由题意可知，0 a 64

64

， 7

64

. 7

a

1. 7

164

曲线方程为y x2 .

77

（2）设变轨点为C(x,y)，根据题意可知

x2y2

(1) 100 25 1,

得 4y2 7y 36 0，

y 1x2 64,(2) 77

9

y 4或y （不合题意，舍去）. y 4.

4

得 x 6或x 6（不合题意，舍去）. C点的坐标为(6,4)，

|AC| 25,|BC| 4.

答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令. 18．（1）设P(x1,y1)是双曲线上任意一点，

该双曲的两条渐近线方程分别是x 2y 0和x 2y 0.

点P(x1,y

1)

，

|x12 4y12|4

.

55点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. （2）设的坐标为(x,y)，则

|PA|2 (x 3)2 y2

x25124

1 (x )2 (x 3) 4455

2

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|x| 2， 当x

即|PA

|1242

时，|PA|的最小值为， 55

x2y2c1

19．（1）设所求椭圆方程为:2 2 1(a b 0).由已知得:c m, ,所

以

aba2

a 2m,b

x2y2

.故所求椭圆的方程为:m 2 1. 2

4m3m

（2）设Q(xQ,yQ),直线l:y k(x m),则点M(0,km).当MQ 2QF时,由于

F( m,0),M(0,km).

由定比分点坐标公式,得

4m2k2m2

0 2m2km 01xQ m,yQ km.又点Q在椭圆上,所以2 2 1,

1 231 234m3m

解得k .当MQ 2QF

4m2k2m20 ( 2) ( m)km

时,xQ 1,解得k 0.故直 2m,yQ km.于是

4m23m21 21 2

线l的斜率为0

或

20．（1）由已知可得点A( 6,0),F(0,4), 设点P(x,y),则AP (x 6,y),FP (x 4,y),

由已知可得

x2y2

1

3620

(x 6)(x 4) y2 0

.则2x 9x 18 0解得x

2

3

,或x 6.由于2

33

. 所以点P

的坐标是(y 0,只能x

,于是y

22

（2）直线AP

的方程是x 6 0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是

m 62

. 于是

m 62

2

|m 6|,又 6 m 6,解得m 2. 椭圆上的点(x,y)到

2

2

2

点M的距离d有d (x 2) y x 4x 4 20

5249

x (x )2 15,992

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由于 6 x 6,所以当x

9

时,d

2

2

2

2x1)，B(x2，2x2)， 21．解：解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，

把y kx 2代入y 2x得2x kx 2 0，

2

2

k

由韦达定理得x1 x2 ，x1x2 1，

2

2

x xx xk

kk NM 122 4， N点的坐标为 48 ．

N处的切线l的方程为y k2设抛物线在点8 m

x k 4 ， 2

2

mkk2

将y 2x代入上式得2x mx 4 8

0，

直线l与抛物线C相切，

m2

8 mkk2

4

8 m2 2mk k2 (m k)2 0， m k．

即l∥AB．

（Ⅱ）假设存在实数k，使 NA NB

0，则NA NB，又 M是AB的中点， |MN|

1

2

|AB|． 由（Ⅰ）知y12y11

M (y1 2) 2(kx1 2 kx2 2) 2

[k(x1 x2) 4]

1 k2

k22 2 4 4

2． MN x轴， |MN| |yk2k2k2 16

M yN| 4 2 8

8

．

又|AB| |x1 x2|

k2 168 k 2．

即存在k 2，使 NA NB

0．

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2x1)，B(x2，2x2)，把y kx 2代入y 2x得 解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，

222

k

2x2 kx 2 0．由韦达定理得x1 x2 ，x1x2 1．

2

kk2 x1 x2k

， N点的坐标为 ． y 2x2， y 4x， xN xM 24 48

抛物线在点N处的切线l的斜率为4

k

k， l∥AB． 4

（Ⅱ）假设存在实数k，使NA NB 0．

kk2 kk2 22

2x1 ，NB x2 ，2x2 ，则 由（Ⅰ）知NA x1 ，4848 k k 2k2 2k2

NA NB x1 x2 2x1 2x2

4 4 8 8

2k2 2k2 k k

x1 x2 4 x1 x2

4 4 16 16

k k k k

x1 x2 1 4 x1 x2

4 4 4 4 kk2 k2

x1x2 x1 x2 1 4x1x2 k(x1 x2)

416 4

kkk2 kk2

1 1 4 ( 1) k

4216 24

k2 3

1 3 k2

16 4

0，

k23

1 0， 3 k2 0，解得k 2．

164

即存在k 2，使NA NB 0．

|a|| |b8 ,

8 4,设F1(0, 2),F2(0,2)则 22．（1）由

|M2F |动点M满足|MF1|

8

4 1F|2F,所|以点M在椭圆上,且椭圆

的

y2x2

a 4,c 2,b 所以轨迹C的方程为 1.

1612

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y kx 3

（2）设直线的斜率为k,则直线方程为y kx 3,联立方程组 y2x2消去y

1

1612

得:(4 3k)x 18kx 21 0, (18k) 84(4 3k) 0恒成立,设

2

2

2

2

18k21

A(x1,y1),B(x2,y2),则x1 x2 .由AP OB,所以四边,x1x2

4 3k24 3k2

形OAPB为平行四边形.若存在直线l,使四边形OAPB为矩形,则OA OB,即 OA OB x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 3k(x1 x2) 9 0,

解得k ,所以直

线l

的方程为y

x 3,此时四边形OAPB为矩形.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wi44.html