矩阵的特征值与特征向量及对角化问题的同步解决法

高等数学 学术论文

年

月

长春教育学院学报

第

卷第

期

矩阵的特征值与特征向量及对角化问题的同步解决法王海东重庆邮电学院计算机学院,

重庆

刃

摘

要本文给出了一种新方法可使求矩阵的特征值特征向量与判定可否对角化的问,,

题同时得到解决中图分类号一引言、

。

关键词特征值特征向量方阵矩阵的对角化初等变换二

文献标识码

文章编号

一

一

一

并且,

是一个数域

是

上的一个

阶矩阵对

,

二

专,

,

…夸岛,,

,

,

…氛,

,

,

…氛,

,

的初等变换是指下列三种变换互换矩阵中两行列的位置以

二

入

,

…入入,,

,

…入

…入

其中入出现的次数为,

。。

中一个非零的数乘矩阵的某一行。

这种传统的方法需要求解一个的特征方程还需要解

次方程即个未知数,

,

列

个,

个方程

把矩阵的某一行列的列,,

倍加到另一行

的齐次线性方程组以求出它们的基础解系求解,

其中

二

的过程是重复而冗长的本人给出了一种只用矩

不难证明矩阵的第一种初等变换是非本质

阵的第三种初等变换就能同时求出矩阵的特征值与特征向量又能判定矩阵是否对角化的方法,

的因为由第二种初等变换与第三种初等变换可以推出第一种初等变换。

。

如果

入二

,

且存在

上

二方法与例子

、

维非零向量使得,

下面的定理与结论引自文献〔〕定理复数域上任意的,

七

入毛

阶矩阵,一

都与一’

则称入为征值

的一个特征值而七称为属于特。

,

个若当形矩阵相似即存在可逆矩阵其中形是。,

使得二

入的一个特征向量

矩阵的特征值与特征向量和矩阵的对角化有

为若当形矩阵并且除去其中若当块的排唯一决定的称为,,

密切的联系判定矩阵,

,

能否对角化即

,

是否与

列次序外是被

的若当标准

对角矩阵相似也即是否存在数域

上的可逆矩

阵

,

使得一

在二

的若当标准形中主对角线上的元素正上全部的特征根由定理令,,,

的在复数域,专毛…七,

其中个步骤

为对角形矩阵通常的做法是分为三,

二

。

胜,

下口已

口、住

求出入

属于

的不同的特征值入入

,

,

入

,

…

,

』曰,‘

下

求出属于特征值,。征向量夸七……专,,

的一组线性无关的特,

一

。

如果收稿日期一

…

则

可以对角化

,

下

的

一

。一,

作者简介王海东

男吉林长春人理学硕士副教授,

。

高等数学 学术论文

长春教育学院学报入二入二入产胜、

年第期

、

属于特征值

的两个线性无关的特征向量是‘、

二二,}

、‘、

了‘月了、

‘

、、

,

,

因为了、、、胜宁了吸、,、、了、了

帕

‘了、

,

,

…

,

,

,

则

的特征值为,

入,,

,

入。

,

…入,,

,

一

一

属于特征值氛,

入。,

的特征向量毛专

…

,

。

十

…

,

,

,

,

如果。,

为对角矩阵则

可对角,

吸、了

‘

一

工一,,‘

,〕且

、

、

月

、、

‘,二

化否则不能对角化由于,

,

使。

,

一}

可逆所以存在一系列的初等矩阵,

…

,

使,

可以对角化,、‘

二二

一

…

一

’’厂牙…

一

’

例

,白

一

…}

,

,

从而有…,

一一

对角化

沂

’

’

…

一

’了、

解将, ),三,

化为若当形矩阵}百,、

上式表明对

进行初等行变换的同时对,,

进行。

一

相反的初等列变换即可将

化为若当形矩阵

由于第一种初等变换是非本质的同时由于对矩阵进行第二种初等行变换与相反的初等列变争

、、‘

旧口二

换不改变对角线上的元素所以只需对,

进行第

三种初等行变换的同时对

,

进行相反的初等列。

变换就可将例,

化为若当形矩阵一一一。

一‘二

一

,

月里勺二

}

、

求

的特征佰征

、

卜向量并判定解将妙」卜阵内,,}

由此可知由于、、矛,几白了〕

,

不能对角化且,

的特征值为、

能否对角化}

,

化为若当标准形吸、了

、、

工一)气}

门‘,

、口、

一

〕

一

一

一一一一一

斗

一『

勺、、‘

一

…

,

刃、

尹、了‘

‘}

、月

矛几了、

,‘

一一

…的一个特征向量为的一个”征向量”

一

一

一

一

一净

所以属于特征值,,

召

、

勺白

‘

产、户

、’

几由此可知。,

属于

伏,

可以对角化其特征值为,

一

,

属于特征值的

一

特征向量是了、、口月矛‘、祠二

参考文献北京大学数学力学高等代数

〕高等教育出版社

一

…贵〔任编辑周世玲〕

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/why4.html