2022年济南大学数学科学学院881高等代数之高等代数与解析几何考

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目录

2020年济南大学数学科学学院881高等代数之高等代数与解析几何考研仿真模拟五套题（一）

................................................................................................................................................ 2 2020年济南大学数学科学学院881高等代数之高等代数与解析几何考研仿真模拟五套题（二）

................................................................................................................................................ 7 2020年济南大学数学科学学院881高等代数之高等代数与解析几何考研仿真模拟五套题（三）

.............................................................................................................................................. 17 2020年济南大学数学科学学院881高等代数之高等代数与解析几何考研仿真模拟五套题（四）

.............................................................................................................................................. 25 2020年济南大学数学科学学院881高等代数之高等代数与解析几何考研仿真模拟五套题（五）

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第 2 页，共 39 页 2020年济南大学数学科学学院881高等代数之高等代数与解析几何考研仿真模拟五

套题（一）

特别说明：

1-本资料为2020考研初试学员使用，严格按照该科目历年常考题型及难度仿真模拟；

2-资料仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————

一、证明题

1． 矩阵的列（行）向量组如果是线性无关的，就称该矩阵为列（行）满秩的.设A 是

矩阵，则A 是列满秩的充分必要条件为存在可逆阵P 使

同样地，A 为行满秩的充分必要条件为存在

可逆矩阵Q 使

【答案】讨论列满秩的情形.

充分性.设

其中P 可逆.于是

故A 为列满秩.

必要性.为列满秩，则它的标准形为

即有可逆使

令

即为所求. 类似地可证明行满秩的情况.

2． 证明

:

为n

元行空间的一基,

再求在此基下的坐标.

【答案】设以为行向量的方阵为A ,则

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故线性无关,是

的一组基. 又设

则由此得

由此又得

.这就是在基之

下的坐标.

3． 证明:数域P 上一元多项式环组成的线性空间

可以与它的一个真子空间同构.

【答案】

记常数项为

显然

且

构成

的子空间.

构造

到

的映射

显然是双射.

又

所以是到其真子空间

的同构映射.因此

与

同构.

4． 如果A 可逆，

证明:与

相似. 【答案】，故

AB 与BA 相似.

二、分析计算题 5． 计算以下

阶行列式

【答案】

解法1各列都加到第一列，再按第一列展开，得

解法2将第一列加到第二列，再将第二列加到第三列，最后将第n 列加到第

列，即得

主对角线上元素为

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的一个下三角形行列式.因此

6． V 是按矩阵加法与数乘矩阵构成的实数域R 上的线性空间,证明其维数为 【答案】

用

表

示

元为1,而其余元素全为零的nxn 矩

阵

显

然

线性无关,并且任给

,有

按定义有且

构成V 的基.

7． 证明元素为0或1的三阶行列式之值只能是

【答案】设

若

那么

否则，不失一般性，可设

（如果

中有一不为0时，交换A 的两行，可使的位置不为0,而值只相差一个符号），这时

然后，由

行列式的性质得到

其中的值只能为0或

，从而由①式，可知

的值只可能是

或

8． 设

这里

求的基础解系. 【答案】由

故

与

同解.由

故取基础解系为

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9． 设是线性空间V 上的双线性函数,试将

表示成一个对称双线性函数与一

个反对称双线性函数之和,并证明表示法唯一.

【答案】令

直接验证可知g 是对称双线性函数,h 是反对称双线性函数,且

下证唯一性.若

（1）

这里

为对称双线性函数,

为反对称双线性函数.于是

（2）

（1）+（2）得

代入式（1）,得

10．设，判断

是否有重因式，并求

的标准分解式.

【答案】

，

应用辗转相除法可得

所以有重因式.

又

所以的不可约因式只有

和

.考虑到

，可知

是

的4

重因式.

因此，的标准分解式是

11．（1）设n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式，问A 与B 是否相似？若是，则给予证明;若不是，则举出反例;

（2）

设

都只有一个特征

值

.证明A 与B 相似的充分必要条件

是

，这里

分别表示A ,B 的属于

的特征子空间.

【答案】 （1）矩阵A 与B 不一定相似，例如：

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显然，A 与B 的特征多项式同为，最小多项式同为

,但由于A 由3个块构成

，B 由两个

块构成，是两个不同的标准形，所以A 与B 不相似.

（2）必要性.因为A 与B 相似，

所以与

相似,从而

,故

充分性.记A ,B 的标准形分别为

，因为A ,B 都只有一个特征值

，

所以

都只能有以下3种可能性

:

现在，

由于,所以

，从而

因此，

故A

与B 相似

.

12．设T ,S 为线性空间的如下两个变换:

证明

:对任意正整数k

均有

【答案】T ,S 显然都是的线性变换.又因为

故

即时（1）式成立.

假定（1）式对后成立,下证对

成立:

故（1）式对任意正整数k 均成立.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/whvl.html