北京市东城北京二中2017 - 2018学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
更新时间:2023-12-18 14:07:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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北京二中2017—2018学年度第一学段高二年级模块考试试卷
数学选修2—1(理科)
一、选择题(共14小题,每小题4分,共56分.每小题给出的四个选项中有且只有一个选.......项是正确的) .....
1.抛物线y2?16x的焦点坐标为().
A.(8,0)
B.(4,0)
C.(0,8)
D.(0,4)
【答案】B
【解析】解:由y2?16x,得2P?16,则P?8,所以抛物线y2?16x的焦点坐标是(4,0). 故选B.
2.设m,n是不同的直线,?,?,?是不同的平面,有以下四个命题: ①
P
?4, 2
?∥???⊥??m⊥??m∥n???∥??m⊥???⊥?;②;③;④?????m∥?.
?∥??m∥??m∥??n∥??其中正确的命题是().
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
【答案】B
【解析】解:①.由面面平行的性质可知,?∥?,?∥?,则?∥?,故①正确; ②.若?⊥?,m∥?,则m∥?或m与?相交,故②错误; ③.若m∥?,则存在m???,且m?∥m,又m⊥?,得m?⊥?, 所以?⊥?,故③正确;
④.若m∥n,n∥?,则m??或m∥?,故④错误. 故选B.
x2y23.若方程?. ?1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()
m4?m
A.m?2
B.0?m?2
C.2?m?4
D.m?2
【答案】B
?m?0xy?【解析】解:若方程??1表示焦点在y轴上的椭圆,则?4?m?0,解得0?m?2.
m4?m?4?m?m?22故选B.
4.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是().
- 1 - / 14
A.10π B.7π C.
13π 3 D.
7π 32322正(主)视图侧(左)视图俯视图
【答案】
C
【解析】解:由几何体的三视图可得,该几何体是一个组合体,下面是一个圆柱,圆柱的底面半径是1,高是3,上面是一个球,球的半径是1,
44π13π所以该几何体的体积V?π?12?3?π?13?3π?. ?333故选C.
5.椭圆C:4x2?y2?16的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为().
A.8,4,(?23,0) C.4,2,(?23,0)
B.8,4,(0,?23) D.4,2,(0,?23)
【答案】C
y2x2【解析】解:椭圆C:4x?y?16化为标准方程为:??1,可得a?4,b?2,c?23,
16422所以椭圆4x2?y2?16的长轴长,短轴长和焦点坐标分别为:8,4,(0,?23). 故选B.
6.若一个圆锥的轴截面是正三角形,则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为().
A.60?
B.90?
C.120?
D.180?
【答案】D
【解析】解:设圆锥的底面半径为r,母线长为R,由该圆锥的轴截面是正三角形,得2r?R, ∴2πr?nπ?2r,解得n?180?. 180?故选D.
7.抛物线y2?6x上一点M(x1,y1)到其焦点的距离为
A.3
B.33
9,则点M到坐标原点的距离为(). 2
D.32
C.27
- 2 - / 14
【答案】B
【解析】解:∵抛物线y2?6x上一点M(x1,y1)到其焦点的距离为?y12?6x1?∴?39,解得x1?3,y1??32,
x???1?229, 2∴点M到坐标原点的距离为(3?0)2?(?32?0)2?33. 故选B.
8.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的表面积为().
A.6?3?π
B.6?23?π
C.18?3?4π
D.18?23?π
2153正视图222侧视图俯视图
【答案】D
【解析】解:由三视图知,此组合体上部是一个半径为
1的球体,故其表面积为π,下部为一2直三棱柱,其高为3,底面为一边长为2的正三角形,且由三视图知此三角形的高为3,故三棱柱的侧面积为3?(2?2?2)?18,因为不考虑接触点,故只求上底面的面积即可,上底面
1的面积为:?2?3?3,故组合体的表面积为18?23?π.
2故选D.
x2y29.双曲线. ??1的一个焦点坐标为(3,0),则双曲线的实轴长为()
2mm
A.3
B.23
C.26
D.6
【答案】C
x2y2【解析】解:∵双曲线??1的一个焦点坐标为(3,0),
2mm- 3 - / 14
∴2m?m?9,得m?3,
∴双曲线的实轴长为22m?26. 故选C.
10.已知椭圆C的对称轴与两条坐标轴重合,且长轴长的短轴长的2倍,抛物线y2??8x的焦点与椭圆C的一个顶点重合,则椭圆C的标准方程为().
x2A.?y2?1
4
x2y2B.??1
416
x2y2y2C.??1或?x2?1
1644x2y2x22D.?y?1或??1
4164【答案】D
【解析】解:由于椭圆长轴长是短轴长的2倍,即有a?2b,又抛物线y2??8x的焦点(?2,0)与椭圆C的一个顶点重合,得椭圆经过点(?2,0),
x2若焦点在x轴上,则a?2,b?1,椭圆方程为?y2?1,
4y2x2若焦点在y轴上,则b?2,a?4,椭圆方程为??1,
164x2y2x22∴椭圆C的标准方程为?y?1或??1.
4164故选D.
x2y211.点M(2,0)到双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)渐近线的距离为1,则双曲线的离心率等于
ab().
A.2
B.
4 3 C.23 3 D.4
【答案】C
x2y2【解析】解:∵点M(2,0)到双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线bx?ay?0的距离为1,
ab∴|2b|a2?b2?2b?1, c∴c?2b,a?3b, ∴双曲线的离心率e?故选C.
12.对于不重合的两个平面?与?,给定下列条件: ①存在平面?,使得?与?都垂直于?;
c2b23. ??a33b- 4 - / 14
②存在平面?,使得?与?都平行于?; ③存在直线l??,直线m??,使得l∥m. 其中,可以判定?与?平行的条件有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】A
【解析】解:①项、存在平面?,使得?,?都垂直于?,则?,?不一定平行,利如正方体相邻的三个面,故①错误;
②项、若?∥?,?∥?,则由面面平行的性质可得?∥?,故②正确; ③项、若直线l??,m??,l∥m,?与?可能相交,故③错误. 故选A.
13.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().
A.26
B.4
C.23
D.22 22(主视图)2(左视图)4(俯视图)
【答案】A 【解析】解:
PADBC
根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且AD?AB?2, BC?4,
PA⊥平面ABCD,且PA?2,
∴PB?22?22?22,PD?22?22?22,CD?22,PC?PA2?AC2?4?20?26,
- 5 - / 14
∴这个四棱锥中最长棱的长度是26. 故选A.
x2y214.已知椭圆E:??1和圆C:(x?m)2?y2?1,当实数m在闭区间[?3,3]内从小到大连
43续变化时,椭圆E和圆C公共点个数的变化规律是().
A.1,2,1,0,1,2,1 C.1,2,0,2,1
B.2,1,0,1,2
D.1,2,3,4,2,0,2,4,3,2,1
【答案】A
x2y2【解析】解:椭圆E:??1的顶点坐标为(?2,0),(2,0),(0,3),(0,?3),圆
43C:(x?m)2?y2?1,表示以(m,0)为圆心,1为半径的圆,
当m??3时,椭圆E与圆C只有一个焦点(?2,0), 当?3?m??1时,圆C向右平移,与椭圆E有两个交点, 当m??1时,圆C与椭圆E只有1个交点,
当?1?m?1时,圆C椭圆在E内部,此时椭圆E与圆C无公共点,
∴当m在闭区间[?3,3]从小到大连续变化时,椭圆E和圆C公共点个数的变化规律是1,2,
1,0,1,2,1.
故选A.
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
15.双曲线的对称轴和坐标轴重合,中心在原点,交点坐标为(?2,0)和(2,0),且经过点P(?2,3),则双曲线的标准方程是__________.
y2【答案】x??1
32【解析】解:由题意,c?2,|2a?(?2?2)2?(0?3)2?(2?2)2?(0?3)2|?2, ∴a?1,b?3,c?2,
y2故双曲线的标准方程是x??1.
3216.如图在正三角形△ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF、
AD、BE、DE的中点,将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的
大小为__________.
- 6 - / 14
AHGFJCEIDB
【答案】60? 【解析】解:
MGHFIDJE
将△ABC沿DE,点A,得到三棱锥M?DEF, C重合为点M,EF,DF折成三棱锥以后,B,∵I,J分别为BE,DE的中点, ∴IJ∥侧棱MD,
∴MD与GH所成的角即是GH与IJ所成的角, ∵?AHG?60?,
∴GH与IJ所成角的大小为60?.
17.从正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点中任意选择3个点,记这3个点确定的平面为?,则垂直于直线AC1的平面?的个数为__________. 【答案】2 【解析】解:
ABA1B1C1CDD1
与直线AC1垂直的平面有平面A1BD和平面CB1D1,故与直线AC1垂直的平面?的个数为2.
- 7 - / 14
x2y2318.已知椭圆C:?2?1(4?b?0)的左右焦点为F1,F2,离心率为,若P为椭圆C上
216b一点,且?F1PF2?90?,则△F1PF2的面积等于__________. 【答案】4
【解析】解:由题意a?4,e?c3,得a?4,b?2,c?23, ?a2∵P为椭圆C上一点,且?F1PF2?90?,
∴|PF1|?|PF2|?2a?8,|PF1|2?|PF2|2?4c2?48,
∴(|PF1|?|PF2|)2?2|PF|?|PF2|?48,即64?2|PF1|?|PF2|?48,得|PF1|?|PF2|?8,
11故△F1PF2的面积S?|PF1|?|PF2|??8?4.
2219.抛物线y2?4x上两个不同的点A,B,满足OA⊥OB,则直线AB一定过定点,此定点坐标为__________. 【答案】(4,0)
【解析】解:设直线l的方程为x?ty?b代入抛物线y2?4x,消去x得y2?4ty?4b?0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1?y2?4t,y1y2??4b, ∴OA?OB?(ty1?b)(ty2?b)?y1y2 ?t2y1y2?bt(y1?y2)?b2?y1y2
??4bt2?4bt2?b2?4b ?b2?4b
=0,
∴b?0(舍去)或b?4, 故直线l过定点(4,0).
20.如图,正方体ABCD?A1B1C1D1中,N为面A1B1C1D1(包括边界)内一动点,当点N与B1重合时,异面直线AN与BC1所成的角的大小为__________;当点N在运动过程中始终保持
AN∥平面BDC1,则点N的轨迹是__________.
D1A1NB1C1DABC
- 8 - / 14
【答案】60?;线段B1D1
【解析】解:当点N与B1重合时,AN即AB1, ∵AB1∥DC1,
∴?DC1B即直线AN与BC1所成的角, ∵BD?DC1?BC, ∴△BDC1是等边三角形, ∴?DC1B?60?,
故异面直线AN与BC1所成的夹角是60?,
∵平面AB1D1∥平面BDC1,AN∥平面BDC1,且N在平面A1B1C1D1内, ∴点N在平面AB1D1与平面A1B1C1D1的交线B1D1上, 故点N的轨迹是线段B1D1.
三、解答题(共5小题,满分64分.解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 21.(本题12分)
如图,四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形,PB?PD,E,F分别为AB和PD的中点. (1)求证:EF∥平面PBC. (2)求证:BD⊥平面PAC.
PFAEB【答案】见解析. 【解析】解:
DC
PFAEBODGC
- 9 - / 14
(1)证明:取PC中点为G,
∵在△PCD中,F是PD中点,G是PC中点,
1∴FG∥CD,且FG?CD,
2又∵底面ABCD是菱形, ∴AB∥CD, ∵E是AB中点,
1∴BE∥CD,且BE?CD,
2∴BE∥FG,且BE?FG, ∴四边形BEFG是平行四边形, ∴EF∥BG,
又EF?平面PBC,BG?平面PBC, ∴EF∥平面PBC. (2)证明:设ACBD?O,则O是BD中点,
∵底面ABCD是菱形, ∴BD⊥AC,
又∵PB?PD,O是BD中点, ∴BD⊥PO, 又ACPO?O,
∴BD⊥平面PAC. 22.(本小题13分)
如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是矩形,M是PA的中点,PD⊥平面ABCD,且
PD?CD?4,AD?2.
(1)求AP与平面CMB所成角的正弦. (2)求二面角M?CB?P的余弦值.
PMDA【答案】见解析.
- 10 - / 14
CB
【解析】解:
zPMDAxBC y
(1)∵ABCD是矩形, ∴AD⊥CD,
又∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AD,PD⊥CD,即PD,AD,CD两两垂直,
∴以D为原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴建立如图空间直角坐标系, 由PD?CD?4,AD?2,得A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),D(0,0,0),P(0,0,4),M(1,0,2),
则AP?(?2,0,4),BC?(?2,0,0),MB?(1,4,?2), 设平面CMB的一个法向量为n1?(x1,y1,z1),
???2x1?0?BC?n1?0则?,即?,令y1?1,得x1?0,z1?2,
x?4y?2z?0?111??MB?n1?0∴n1?(0,1,2), ∴cos?AP,n1??AP?n184??,
|AP|?|n1|25?55故AP与平面CMB所成角的正弦值为(2)由(1)可得PC?(0,4,?4),
4. 5设平面PBC的一个法向量为n2?(x2,y2,z2),
???2x2?0?BC?n2?0则?,即?,令y2?1,得x2?0,z2?1,
4y?4z?0PC?n?0?22??2∴n2?(0,1,1), ∴cos?n1,n2??3310, ?105?2故二面角M?CB?P的余弦值为310. 10- 11 - / 14
23.(本题13分)
已知抛物线y2?2px(p?0)过点A(2,y0),且点A到其准线的距离为4. (1)求抛物线的方程.
(2)直线l:y?x?m与抛物线交于两个不同的点P,Q,若OP⊥OQ,求实数m的值. 【答案】见解析.
【解析】解:(1)已知抛物线y2?2px(p?0)过点A(2,y0),且点A到准线的距离为4, 则2?p?4, 2∴p?4,
故抛物线的方程为:y2?8x.
?y?x?m(2)由?2得x2?(2m?8)x?m2?0,
?y?8x设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1?y2?8?2m,x1x2?m2,
y1?y2?x1?x2?2m?8,y1y2?(x1?m)(x2?m)?x1x2?m(x1?x2)?m2?8m,
∵OP?OQ,
∴x1x2?y1y2?m2?8m?0, ∴m?0或m??8,
经检验,当m?0时,直线与抛物线交点中有一点与原点O重合,不符合题意, 当m??8时,?=242?4?64?0,符合题意, 综上,实数m的值为?8. 24.(本题13分)
x2y23已知点A(0,2),椭圆E:2?2=1(a?b?0)的离心率,F是椭圆E的右焦点,直线AF的
2ab斜率为?23,O为坐标原点. 3(1)求椭圆E的方程.
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程. 【答案】见解析.
【解析】解:(1)设F(c,0), 由直线AF的斜率为?又离心率e?23?2?23得,解得c?3, ??3c3c3,得a?2, ?a2- 12 - / 14
∴b?a2?c2?1,
x2故椭圆E的方程为?y2?1.
4(2)当直线l?x轴时,不符合题意,
当直线l斜率存在时,设直线l:y?kx?2,P(x1,y1),Q(x2,y2), ?y?kx?2?联立?x2,得(4k2?1)x2?16kx?12?0, 2??y?1?4由?=16(4k2?3)?0,得k2?333,即k??或k?,
224x1?x2??16k12,, xx?124k2?14k2?1∴|PQ|?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ??16k?212?=(1?k)??2?4?? ?24k?14k?1??????241?k2?4k2?3, ?4k2?1又点D到直线PQ的距离d?21?k2,
144k2?3∴△OPQ的面积S??|PQ|?d?,
24k2?1设4k2?3?t,则t?0, ∴S?4t447?≤?1,当且仅当,即时,等号成立,且??0, k??t?2t2?1t?442t77x?2或y??x?2. 22∴直线l的方程为:y?25.(本题13分)
对于正整数集合A?a1,a2,,an?(n?N*,n≥3),如果去掉其中任意一个元素ai(i?1,2,,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合?1,2,3,4,5?是否是“和谐集”(不必写过程).
(2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”,并证明此集合为“和谐集”. (3)当n?5时,集合A?a1,a2,a3,a4,a5?,求证:集合A不是“和谐集”. 【答案】见解析.
- 13 - / 14
【解析】解:(1)集合?1,2,3,4,5?不是“和谐集”. (2)集合?1,3,5,7,9,11,13?, 证明:∵3?5?7?9?11?13,
1?9?13?5?7?11, 9?13?1?3?7?11, 1?3?5?11?7?13, 1?9?11?3?5?13, 3?7?9?1?5?13,
1?3?5?9?7?11,
∴集合?1,3,5,7,9,11,13?是“和谐集”.
(3)证明:不妨设a1?a2?a3?a4?a5,将集合?a1,a3,a4,a5?分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有a1?a5?a3?a4①,或者a5?a1?a3?a4②, 将集合?a2,a3,a4,a5?分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等, 则有③,或者④,
由①③得,矛盾,由①④得,矛盾,由②③得矛盾,由②④得矛盾, 故当时,集合一定不是“和谐集”.
- 14 - / 14
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