【新】2022-2022石家庄市第二中学初升高自主招生数学【4套】模拟

第一套：满分120分

2020-2021年石家庄市第二中学初升高

自主招生数学模拟卷

一．选择题（共6小题，满分42分）

1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】

A. B. C. D.

2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1= y 2时，A =B.

有下列四个命题：

（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，；

（2）若，则A =C ；

（3）若，则A =C ； ()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=?+A B x x y y (),31⊕= A B 0=?A B ⊕=⊕A B B C =??A B B C

（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，

AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下

四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④

2CD 2=CE ?AB ．正确结论序号是（ ）

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．①④

4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90o，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；

②当点E 与点B 重合时，；③；④MG ?MH =，其中正确结论为（ ）

A. ①②③

B. ①③④

C. ①②④

D. ①②③④

5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）

A. 4，2，1

B. 2，1，4

C. 1，4，2

D. 2，4，1

6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，

AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D ()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12

MH =AF BE EF +=12

作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题6分，满分30分）

7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .

8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们

的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，

r 3＝ ．

9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x

=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′．

（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 ；

（2）设P （t ，0），当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．

133924133

25

10.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x

=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴

的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数

2

(0)y x x

=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的

坐标为 ．

11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=4

1，则BN= ．

三．解答题（每小题12分，满分48分）

12.（12分）先化简，再求值：， 其中.

13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．

（1）求m ，k 的值；

32

221052422

x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21

x =-+?-?-x

k

y =

x O y A B （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．

（3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）

14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，

DE 是⊙O 的切线，连接DE ．

（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形；

（2）若

=n ，求tan ∠ACO 的值

b kx y +=11B A 1A 11B A x OF CF

15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，

4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上师范存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD 。若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

图1 A B x y O D C 图2 A B x y O

D C P Q

E F

图3

A B x y O D C

2020-2021年石家庄市第二中学初升高

自主招生数学模拟卷答案解析

第一套

一、选择题

1.【考点】函数的图象．

【分析】由题得：出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，故选C．2.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；命题与定理；反证法的应用.

【分析】根据新定义，对各选项逐一分析作出判断：

（1）若A(1，2)，B(2，–1)，

则. 命题正确. （2）设C，若，即，∴. ∴A=C. 命题正确.

（2）用反证法，设A(1，2)，B(2，–1)，由（1）知，取C，，即有，

但A C. 命题错误.

（4）设C，对任意点A、B、C，均有

成立. 命题正确.综上所述，正确命题为

（1），（2）（4），共3个.故选C.

3．解：∵AB 是半圆直径，

∴AO=OD ，

∴∠OAD=∠ADO ，

∵AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，

∴∠CAD=∠DAO=21

∠CAB ，

∴∠CAD=∠ADO ，

∴AC ∥OD ，故①正确．

由题意得，OD=R ，AC=2R ，

∵OE ：CE=OD ：AC=22

，

∴OE ≠CE ，故②错误；

∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22.5°=112.5°，∠AOD=90°+45°=135°，

∴∠OED ≠∠AOD ，∴△ODE 与△ADO 不相似，故③错误； ∵AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，

∴∠CAD=21

×45°=22.5°，∴∠COD=45°，

∵AB 是半圆直径，

∴OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC=67.5°

∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），

∴∠CDE=∠ODC ﹣∠ADO=67.5°﹣22.5°=45°，

∴△CED ∽△CDO ，∴CO CD =CD CE

，

1AB?CE，

∴CD2=CO?CE=

2

∴2CD2=CE?AB，故④正确．

综上可得①④正确．故选：D．

4.【考点】双动点问题；等腰直角三角形的判定和性质；矩形的性质；三角形中位线定理；全等、相似判定和性质；勾股定理；旋转的应用. 【分析】①∵在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，

∴.故结论①正确.

②如答图1，当点E与点B重合时，点F与点M重合，

∴MH是△ABC的中位线.∴.

故结论②正确.

③如答图2，将△ACF顺时针旋转90°至△BCN，

连接EN，

则.

∵∠ECF=45°，

∴.

∴.∴.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴△AGF和△BHE都是等腰直角三角形.

∴.

∴根据勾股定理，得，即.

∴.故结论③错误.

④∵由题意知，四边形CHNG是矩形，∴MG∥BC，MH∥CG.

∴，即.∴

.

又∵，，

∴.∴.∴

∵.故结论④正确.

综上所述，正确结论为①②④.故选C.

5.【考点】阅读理解型问题；分类思想的应用.

【分析】将各选项分别代入程序进行验证即可得出结论：

A. ∵，∴4，2，1是该循环的数；

B. ∵，∴2，1，4是该循环的数；

C. ∵，∴1，4，2是该循环的数；

D. ∵，∴2，4，1不是该循环的数.故选D.

6. 【答案】A.

【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定

和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.

【分析】如答图，连接，

则根据矩形和切线的性质知，四边形都是正方形.

∵AB=4，∴.

∵AD=5，∴.

设GM=NM=x，则.

在中，由勾股定理得：，即，解得，.∴．故选A.

二、填空题

7.【答案】210。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】由图可知：第一个阴影部分的面积=22－12，第二个阴影部分的面积=42－32，第三个图形的面积=62－52由此类推，第十个阴影部分的面积=202—192，因此，图中阴影部分的面积为：

（22－1）＋（42－32）＋…＋（202－192）

=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+…+（20＋19）（20－19）

=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20=210。

8.【答案】9。

【考点】一次函数的图象，直线与圆相切的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】设直线3

与三个半圆分别切

y x

于A ，B ，C ，作AE ⊥x 轴于E ，则在Rt ?AEO 1中，易得∠AOE=∠EAO 1=300，由r 1＝1得EO=12，AE=132，OE=32，OO 1=2。则 1

11222222OO 12R AOO R BOO 3OO 3r r r r r ???=?=?=+Q ∽t t 同理， 111333333

OO 12R AOO R COO 9OO 9r r r r r ???=?=?=+Q ∽t t 。 9.【答案】（4，0），4≤t ≤25或﹣25≤t ≤4。

【考点】反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。

【分析】（1）当点O ′与点A 重合时，即点O 与点A 重合，

∵∠AOB=60°，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为

对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′。AP ′=OP ′，∴△AOP ′是等边三角形。

∵B （2，0），∴BO=BP ′=2。∴点P 的坐标是（4，0）。

（2）∵∠AOB=60°，∠P ′MO=90°，

∴∠MP ′O=30°。

∴OM=12

t ，OO ′=t 。 过O ′作O ′N ⊥x 轴于N ，∠OO ′

N=30°，

∴ON=12t ，NO ′=32t 。∴O ′（12

t ，32t ）。 同法可求B ′的坐标是（t 2 , 3t 232+-），

设直线O ′B ′的解析式是y kx b =+，将O ′、B ′的坐标代入，

得

23t 23333t +k b ?=-????=-??

。 ∴23333

t 23t +y x ??=--

?

??。

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，AB=23， ∴A （2，23），代入反比例函数的解析式得：k

=4

3， ∴4

3y =，代入上式整理得：（2

3t ﹣83）x

2

+（﹣3t

2

+6

3t ）x ﹣43=0，

△ =（﹣3t

2

+63t ）

2

﹣4（2

3t ﹣83）?（﹣43）≥0，

解得：t ≤25或t ≥﹣2

5。

∵当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是（4，0）。 ∴4≤t ≤25或﹣25≤t ≤4。

10.【答案】（

31+，31-）。

【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】作P 1⊥y 轴于C ，P 2⊥x 轴于D ，P 3⊥x 轴于E ，P 3⊥P 2D 于F ，设P 1（a ， 2

a

），则CP 1=

a ，OC=

2

a

， ∵四边形A 1B 1P 1P 2为正方形， ∴Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ，

13t t 2t 23t 232k b k b ?+=???

+?+=-??

∴OB 1=P 1C=A 1D=a 。∴OA 1=B 1C=P 2D= 2

a

－a 。 ∴OD=a ＋2a －a =2a

。 ∴P 2的坐标为（2a ，2a

－a ）。

把P 2的坐标代入反比例函数2(0)y x x

=>，得到a 的方程，（2a

－

a ）·

2

a

=2， 解得a =－1（舍）或a =1。∴P 2（2，1）。 设P 3的坐标为（b ， 2b

），

又∵四边形P 2P 3A 2B 2为正方形，∴Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E 。∴

P 3E=P 3F=DE=2b

。

∴OE=OD ＋DE=2＋2b

。∴2＋ 2b

=b ，解得b =1－3（舍），b =13+

。

∴2b =

13

+= 31-。∴点P 3的坐标为 （31+，31-）。

11.： 圆的综合题．

解答： （1）证明：∵△BCO 中，BO=CO ，

∴∠B=∠BCO ，

在Rt △BCE 中，∠2+∠B=90°， 又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°， ∴CF 是⊙O 的切线；

（2）证明：∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=∠FCO=90°， ∴∠ACB ﹣∠BCO=∠FCO ﹣∠BCO ，

即∠3=∠1，∴∠3=∠2，

∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN；

（3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，

1，

在Rt△COE中，cos∠BOC=

4

1=1，

∴OE=CO?cos∠BOC=4×

4

由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：

CE===，

AC===2，

BC===2，

∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，

∴由垂径定理得：CD=2CE=2，

∵△ACM∽△DCN，

∴=，

∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2，

∴CN===，

∴BN=BC﹣CN=2﹣=

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出△ACM∽△DCN是解题关键．

三、解答题

12.解：求得，化简得：原式== 13、（1）由题意可知， 解得m 1＝3，m 2＝－1（舍去）

∴A （3，4），B （6，2）；

∴k ＝4×3＝12；

（2）直线MN 的函数表达式为或；

（3）

14、

（1）证明：略

（2）解：作OH ⊥AC ，垂足为H ，不妨设OE=1， ∵＝n ，△OEF ∽△CDF ，∴CD=n ， ∵OE=1， ∴AC=2．

∴AD=2-n ，由△CDB ∽△BDA ，得BD 2=AD ?CD ．

∴BD 2=n ?（2-n ），BD ＝

∴OH ＝BD ＝，而CH ＝n += ∴tan ∠ACO ＝= 15、解：（1）设所求抛物线的解析式为：y ＝a (x －1)2＋4， 依题意，将点B （3，0）代入，得：

a (3－1)2＋4＝0 12-=x 1-x 22-()()()3211-+=+m m m m 232+-=x y 23

2--=x y 827825≤≤b OF CF n n -221

22n n -22n -2

2n +CH

OH 222+-n n n

解得：a ＝－1

∴所求抛物线的解析式为：y ＝－(x －1)2＋4

（3）如图6，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称，在x 轴上取一点H ，连接HF 、HI 、HG 、GD 、GE ，则HF ＝HI …………①

设过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），

∵点E 在抛物线上且点E 的横坐标为2，将x ＝2代入抛物线y ＝－(x －1)2＋4，得y ＝－(2－1)2＋4＝3

∴点E 坐标为（2，3） 又∵抛物线y ＝－(x －1)2＋4图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D ∴当y ＝0时，－(x －1)2＋4＝0，∴ x ＝－1或x ＝3

当x ＝0时，y ＝－1＋4＝3,

∴点A （－1，0），点B （3，0），点D （0，3）

又∵抛物线的对称轴为：直线x ＝1，

∴点D 与点E 关于PQ 对称，GD ＝GE …………………②

分别将点A （－1，0）、点E （2，3）代入y ＝kx ＋b ，得：

解得： 过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝x ＋1

∴当x ＝0时，y ＝1

∴点F 坐标为（0，1）

∴………………………………………③

又∵点F 与点I 关于x 轴对称， 023k b k b -+=??+=?11

k b =??=?2DF =E F 图6 A B y O D C Q I G H P

∴点I 坐标为（0，－1） ∴………④ 又∵要使四边形DFHG 的周长最小，由于DF 是一个定值， ∴只要使DG ＋GH ＋HI 最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知，

DG ＋GH ＋HF ＝EG ＋GH ＋HI

只有当EI 为一条直线时，EG ＋GH ＋HI 最小

设过E （2，3）、I （0，－1）两点的函数解析式为：y ＝k 1x ＋b 1（k 1≠0），

分别将点E （2，3）、点I （0，－1）代入y ＝k 1x ＋b 1，得：

解得： 过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝2x －1

∴当x ＝1时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝；

∴点G 坐标为（1，1），点H 坐标为（，0）

∴四边形DFHG 的周长最小为：DF ＋DG ＋GH ＋HF ＝DF ＋EI 由③和④，可知：

DF ＋EI ＝

∴四边形DFHG 的周长最小为。 （3）如图7，由题意可知，∠NMD ＝∠MDB ，

要使，△DNM ∽△BMD ，只要使即可，

即：MD 2＝NM ×BD ………………………………⑤

设点M 的坐标为（a ，0），由MN ∥BD ，可得 △AMN ∽△ABD ， 22222425EI DE DI =+=+=111231k b b +=??=-?1121

k b =??=-?121

2225+22

5+NM MD

MD BD =图7 A B

x

y O D C M T N

∴

再由（1）、（2）可知，AM ＝1＋a ，BD ＝，AB ＝4

∴ ∵MD 2＝OD 2＋OM 2＝a 2＋9，

∴⑤式可写成： a 2＋9

× 解得：a ＝或a ＝3（不合题意，舍去）

∴点M 的坐标为（，0） 又∵点T 在抛物线y ＝－(x －1)2＋4图像上， ∴当x ＝时，y ＝ ∴点T 的坐标为（，）

NM

AM

BD AB =)AM BD MN a AB ?===+)a +3232

32154

32154

第二套：满分120分

2020-2021年石家庄市第二中学初升高

自主招生数学模拟卷

一．选择题（共6小题，满分42分）

1. （7分）二次函数y=ax 2+bx+1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是( )

A ．0＜t ＜1

B ．0＜t ＜2

C ．1＜t ＜2

D ．﹣1＜t ＜1

2.（7分） 如图，抛物线交轴于点A （，0）和B （， 0），交轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个命题：①当时，；②若，则；③抛物线上有两点P （，）和Q （，），若，且，则；④点C 关于抛物线对

称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在轴和轴上，当时，四边形EDFG 周长的最小值为. 其中真命题的序号是( )

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

3.（7分）设二次函数的图象与一次函

数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则( )

A. ；

B. ；

C. ；

D.

4.（7分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，

点A 是函数 (x <0)图象上一点，AO 的延长线交函数（x >0，k 是不等于0的常数)的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，连接CC ′，交x 轴于点B ，连结AB ，221y x x m =-+++x a b y >0x >0y 1a =-4b =1x 1y 2x 2y 12<12x x +12>y y x y 2m =6211212())0(()y a x x x x a x x =--≠≠，()20y dx e d =+≠1(0)x ，

21y y y =+x 12 ()a x x d -=21()a x x d -=212()a x x d -=()212a x x d +=1y x =2k y x

=

AA ′，A ′C ′，若△ABC 的面积等于6，则由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积等于( )

A.8

B.10

C.

D. 5.（7分）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则

的值是( ) A. B. C. D. 2 6.（7分）如图，抛物线y=﹣2x 2+8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m 与C 1、C 2共有3个不同的交

点，则m 的取值范围是（ ）

A.﹣2＜m ＜

B.﹣3＜m ＜﹣

C.﹣3＜m ＜﹣2

D.

﹣3＜m ＜﹣

二、填空题（每小题6分，满分30分）

7.（6分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90o，AB ＝3，BC ＝4，P

是BC 边上的动点，设BP ＝x ．若能在AC 边上找到一点Q ，使∠BQP ＝90o，则x 的取值范围是 ．

8.（6分）长为1，宽为a 的矩形纸片（112

第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪

下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次

操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为 ． 31046EF GH 2

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