2012年全国中考数学试题分类解析汇编（159套63专题）专题47 - 圆的有关性质

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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）

专题47：圆的有关性质

一、选择题

1. （2012重庆市4分）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为【】

A．45° B．35° C．25° D．20° 【答案】A。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°。∴∠ACB=45°。故选A。

2. （2012海南省3分）如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，

?点P是优弧AmB上的一点，则tan?APB的值是【】

A．1 B．【答案】A。

【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】如图，连接AO并延长交⊙O于点P1，连接AB，BP1。设网格的边长为a。则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=90。

根据勾股定理，得AB=BP1=2a。根据正切函数定义，得tan?AP1B=0

23 C． D．3 23P1AB2a==1。 BP12a第 1 页共 42 页

根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP。∴tan?APB=tan?AP1B=1。

故选A。

3. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【】

A．3 【答案】C。

【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，

∵AB=CD=8，

∴由垂径定理和全等三角形的性质得，AM=BM=CN=DN=4，OM=ON。又∵OB=5，∴由勾股定理得：OM?52?42?3 ∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°。

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°。 ∴四边形MONP是正方形。∴PM=PN=OM=ON=3。 ∴由勾股定理得：OP?32+32?32。故选C。

4. （2012广东深圳3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的

B．4 C．32

D．42

?上一点，∠BM0=120o，则⊙C的半径长为【】坐标为(0，3)，M是第三象限内OB

A．6 B．5 C．3 D。32 【答案】C。

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【考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°。

∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°－∠BAO=90°－60°=30°， ∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3。∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=

AB =3。故选C。 25. （2012浙江湖州3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是【】

A．45° B．85° C．90° D．95° 【答案】B。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系圆心角、弧、弦的关系。【分析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°。

∵∠C=50°，∴∠BAC=40°。

∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°。∴∠CAD=∠DBC=45°。 ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°。故选B。

6. （2012浙江衢州3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB的值是【】

A． B．【答案】C。

【考点】圆周角定理，特殊角的三角函数值。

C．

D．

第 3 页共 42 页

【分析】由点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB=2∠ACB=60°，然后由特殊角的三角函数值得：

sin∠AOB=sin60°=3。故选C。 27. （2012浙江台州4分）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于【】

A． 50° 【答案】C。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠ABC=

B．60° C．65°

D．70°

1∠AOC=65°。故选C。 20

8. （2012江苏淮安3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40，则∠B的度数为【】

A、80 B、60 C、50 D、40 【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质，由AB是⊙O的直径，点C在⊙O上得∠C＝90；根据三角形内角和定理，由∠A＝40，得∠B=180－90－40=50。故选C。

??，AB=BC9. （2012江苏苏州3分）如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，∠AOB=60°，

则∠BDC 的度数是【】

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DOABC

A.20° B.25° C.30° D. 40° 【答案】C。

【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。

【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数：

?? ，∠AOB=60°，∴∠BDC=1∠AOB=30°。故选C。 ∵ AB=BC210. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【】

A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A。

【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。【分析】连接OB，

?所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°， ∵∠A和∠BOC是弧BC∴∠BOC=2∠A=100°。

又∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，∠DOC=

1∠BOC=50°。 2∴∠OCD=180－90－50=40。故选A。

11. （2012江苏徐州3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70，则∠ACB的度数为【】

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A．70 B．50 C．40【答案】D。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据同（等）弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果：

∠ACB=

D．35

1100

∠AOB=×70=35。故选D。 2212. （2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【】

A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】C。

【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。【分析】如图，连接OC，AO，

∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB。∴AC=BC=∵OA=5cm，OC=4cm，

∴在Rt△AOC中，AC?OA2?OC2?52?42?3。 ∴AB=2AC=6（cm）。故选C。

13. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【】

1AB 2第 6 页共 42 页

A. 8 B. 10 C.16 D.20 【答案】D．

【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】连接OC，根据题意，CE=

1CD=6，BE=2． 2在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，∴（x-2）2+62=x2，解得：x=10。 ∴直径AB=20。故选D．

14. （2012湖北随州4分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35，则么∠ADC=【】 A.35 B.55 C.70

D.110

【答案】B。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。

∵∠BAC=35°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－35°=55°（直角三角形两锐角互余）

?所对的圆周角， ∵∠B与∠ADC是AC∴∠ADC=∠B=55°（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）。故选B。

15. （2012湖北襄阳3分）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是【】

A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 【答案】D。

【考点】圆周角定理。1028458

【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边

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四边形性质，即可求得∠AB′C的度数：

如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=

11∠AOC=×160°=80°。 22∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。 ∴∠ABC的度数是：80°或100°。故选D。

16. 10. （2012湖北鄂州3分）如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【】

A.40° 【答案】C。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。作⊙O。

B.50°

C.60°

D.70°

?所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°， ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧AB

∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选C。 17. （2012湖南湘潭3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【】

A．20° B．40° C．50° D．80° 【答案】D。

【考点】圆周角定理，平行线的性质。

【分析】∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）

又∵∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°（同圆所对圆周角是圆心角的一

半）。故选D。

18. （2012四川内江3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=30，CD=23，则0

阴影部分图形的面积为【】

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A.4? B.2? C.? D.【答案】D。

【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。【分析】连接OD。

∵CD⊥AB，CD=23，∴CE=DE=CD?3（垂径定理）。 ∴S?OCE?S?CDE。∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD，∴∠BOD=60°（圆周角定理）。 ∴OC=2。

∴S扇形OBD2? 31260??22 2?2???，即阴影部分的面积为。故选D。

3603319. （2012四川达州3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【】

A、60° B、45° C、30° D、20° 【答案】C。

【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质。

【分析】∵OB=BC=OC，∴△OBC是等边三角形。∴∠BOC=60°。

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC=

1∠BOC=30°。故选C。 220. （2012四川德阳3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=【】

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A.45° B. 60° C.90° D. 30° 【答案】D。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质。

【分析】∵∠ADC与∠ABC所对的弧相同，∴∠ADC=∠ABC=30°。

∵OA=OD，∴∠BAD =∠ADC 30°，故选D。

21. （2012四川泸州2分）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B = 60°，∠BOD = 100°，则∠C的度数为【】

A、50° 【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形的内角和定理。【分析】∵∠BOD＝100°，∴∠A＝

B、60°

C、70°

D、80°

1∠BOD＝50°。 2∵∠B＝60°，∴∠C=180°－∠A－∠B=70°。故选C。

22. （2012贵州黔东南4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为【】

A．35° B．45° C．55° D．75° 【答案】 A。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角关系。

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【分析】连接AD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. ∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣∠ABD=35°。 ∴∠BCD=∠A=35°。故选A。

23. （2012贵州黔南4分）如图，在⊙O中，∠ABC=50，则∠CAO等于【】

A．30 B．40 C．50 D．60【答案】B。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

?所对的圆周角和圆心角，【分析】∵∠ABC和∠AOC是弧AC ∴∠AOC=2∠ABC=100（同圆或等圆中同弧所对圆周角是圆心角的一半）。 ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。

1800??AOC=400。故选B。 ∴根据三角形内角和定理，得 ∠CAO=

224. （2012贵州黔西南4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB

的大小为【】

（A）40° （B）30° （C）50° （D）60° 【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理；三角形内角和定理．【分析】∵OA=OB，∠ABO＝40°，∴∠BAO=∠ABO=40°（等边对等角）。

∴∠AOB=100°（三角形内角和定理）。

∴∠ACB=50°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。故选C。

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25. （2012山东泰安3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【】

?? C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD A．CM=DM B．CB=DB【答案】D。

【考点】垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质。【分析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，

∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；

?的中点，即CB=DB??，选项B成立； ∵B为CD在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM， ∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立。而OM与MD不一定相等，选项D不成立。

故选D。

26. （2012山东枣庄3分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC 的值为【】

A．

1433 B． C． D．

5252【答案】B。

【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质，30角的三角函数值。【分析】连接AO，CO，由已知⊙A的直径为10，点C(0，5)，知道△OAC是等边三角形，

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所以∠CAO=60，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠OBC =30，因此∠OBC的余弦值为

3。故选B。 2127. （2012山东淄博4分）如图，⊙O的半径为2，弦AB=23，点C在弦AB上，AC?AB，

4则OC的长为【】

(A)2 (B)3 (C)23 3(D)7 2【答案】D。

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，则 AD=BD。 31 ∵AB=23，AC?AB，∴AD=BD=3，CD=。

24 又∵⊙O的半径为2，即OB=2，∴OD?OB?BD?2?222?3?2?1。

?3?7222OC?CD+OD?+1? ∴。故选D。 ???2?2??28. （2012广西河池3分）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=30，则∠D的度数为【】

A．30° 【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∵∠CAB=30°，∴∠B=90°－∠CAB=60°。∴∠D=∠B=60°。故选C。

B．45° C．60°

D．80°

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29. （2012云南省3分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD=60，则∠BCD的度数为【】

A. 40? B. 50? C. 60? D. 70? 【答案】C。

【考点】圆周角定理。

?所对的圆周角，【分析】∵∠BAD和∠BCD都是⊙O的BD ∴根据同弧或等弧所对的圆周角相等的性质，得∠BCD＝∠BAD=60。故选C。 30. （2012河北省2分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是【】

??BC? C．∠D=1∠AEC D．△ADE∽△CBE A．AE＞BE B．AD2【答案】D。

【考点】垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，

∴根据垂径定理，得AE=BE。故选项A错误。

如图，连接AC，则根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B， ∴BC=AC。

根据垂径定理，只有在AB是直径时才有AC=AD，而AB不是直径，∴AD≠AC。

??AC?。 ∴AD第 14 页共 42 页

??BC?。故选项B错误。 ∴AD如图，连接AO，则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得∠D=∵∠AEC是△AOE的外角，∴∠AEC＞∠AOC。∴∠D＜

1∠AOC。 21∠AEC。故选项C错误。 2∵根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE∽△CBE。故选项D正确。故选D。

31. （2012黑龙江大庆3分）如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【】

A.90° B.180° C.270° D.360° 【答案】B。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，

∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°。故选B。

32. （2012黑龙江哈尔滨3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60，0P⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为【】．

(A)43 (B)63 (C)8 (D)12 【答案】A。

【考点】圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

? ，且∠B=60°，【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为 AC第 15 页共 42 页

∴∠AOC=2∠B=120°（在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半）。又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角和三角形内角和定理）。 ∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°（垂直定义）。在Rt△AOP中，OP=23 ，∠OAC=30°，

∴OA=2OP=43（直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半）。 ∴⊙O的半径43。故选A。

二、填空题

1. （2012天津市3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=55，则∠ADC的大小为 ▲ （度）．

【答案】35。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=55°，∴∠B=90°－∠CAB=35°。∴∠ADC=∠B=35°。

2. （2012安徽省5分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ▲ °.

【答案】60。

【考点】圆周角定理，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质。

?所对的圆心角和圆周角，【分析】∵∠AOC和∠D分别是弧ABC∴根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠AOC=2∠D。

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又∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B=∠AOC。

又∵圆内接四边形对角互补，即∠B+∠D=180°，∴∠D=60°。连接OD，

则OA=OD，OD=OC，∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC， ∴∠OAD＋∠OCD=∠ODA＋∠ODC=∠D= 60°。

3. （2012广东省4分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是 ▲ ．

【答案】50°。【考点】圆周角定理。

?，【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧AC∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。

4. （2012广东汕头4分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是 ▲ ．

【答案】50°。【考点】圆周角定理。

?，【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧AC∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。

5. （2012广东湛江4分）如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是 ▲ ．

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【答案】8。

【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】连接OA，

∵OC⊥AB，AB=24，∴AD=

1AB=12， 2在Rt△AOD中，∵OA=13，AD=12， ∴OD=OA2?AD2?132?122?5。 ∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8。

6. （2012广东珠海4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE= ▲ ．

【答案】

5。 13【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：

sin?OCE?OE5=。 OC137. （2012浙江嘉兴、舟山5分）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为 ▲ ．

第 18 页共 42 页

【答案】24。

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】连接OC，∵AM=18，BM=8，∴AB=26，OC=OB=13。∴OM=13﹣8=5。

在Rt△OCM中，CM?OC2?OM2?132?52?12。 ∵直径AB丄弦CD，∴CD=2CM=2×12=24。

8. （2012浙江衢州4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 ▲ mm．

【答案】8。

【考点】垂径定理的应用，勾股定理。

【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，

∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm。 ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm。在Rt△AOD中，∵AD?OA2?OD2?52?32?4mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm。

9. （2012浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 ▲ 厘米．

第 19 页共 42 页

【答案】10。

【考点】垂径定理，勾股定理，矩形的性质，解方程组。

?于点G、H、I，【分析】如图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧EF连接OF。设OH=x，HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，

22??x=6?x+8=?x+y?得?，解得?。∴球的半径为x＋y=10（厘米）。

y=4???2x+y=16210. （2012江苏南通3分）如图，在⊙O中，∠AOB＝46o，则∠ACB＝ ▲ o．

【答案】23°。【考点】圆周角定理。

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，

?所对的圆周角和圆心角，且∠AOB＝46o，∴ ∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧AB∠ACB=

11∠AOB=×46°=23°。 2211. （2012江苏徐州2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6，则sin∠ABD= ▲ 。

【答案】

4。 5【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，锐角三角函数定义。

第 20 页共 42 页

【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90。又∵CD⊥AB，∠ACD=∠ABC。

又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角，∴∠ABD=∠ACD。∴∠ABD=∠ABC。又∵AC=8，BC=6，∴由勾股定理得AB=10。∴sin∠ABD=sin∠ABC=

AC84??。 AB10512. （2012福建南平3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=68°，则∠BAC= ▲

【答案】22°。【考点】圆周角定理。

【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案：

∵∠ABC与∠ADC是 AC 对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=68°。

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠BAC=90°－∠ABC=90°－68°=22°。

13. （2012湖北荆门3分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE= ▲ ．

【答案】

1。 2【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。【分析】连接PB、PE．

∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA。 ∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。

第 21 页共 42 页

∵A（2，0），B（1，2），∴AE=1，BE=2。∴tan?ABE?∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE=

AE1?。 BE21。 214. （2012湖北咸宁3分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量

角器0刻度

线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与

量角器的半

圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 ▲ 度．

【答案】140。【考点】圆周角定理。【分析】连接OE，

∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上。 ∴∠EOA=2∠ECA。 ∵∠ECA=2×35°=70°，

∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°，即点E在量角器上对应的读数是140°。

15. （2012湖南益阳4分）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC= ▲ 度．

【答案】120。【考点】圆周角定理。

【分析】∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。

第 22 页共 42 页

17. （2012湖南株洲3分）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB= ▲ ．

【答案】90°。【考点】圆周角定理。

【分析】由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数：

∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°。

18. （2012四川成都4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23 ，0C=1，则半径OB的长为 ▲ ．

OACB 第 23 页共 42 页

【答案】2。

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=23，∴BC=

1AB=3。 2∵OC=1，∴在Rt△OBC中，OB?OC2?BC2?12???32?2。

19. （2012四川广元3分）在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，

最短为2cm，则⊙O的半径为 ▲ cm 【答案】2。

【考点】点与圆的位置关系。

【分析】当点P在圆外时，直径=6 cm－2 cm =4cm，因而半径是2cm。

20. （2012辽宁鞍山3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=

1，则∠D的度数是 ▲ ． 2

【答案】30°。

【考点】圆周角定理，特殊角的三角函数值，直角三角形两锐角的关系，等边三角形的判定和性质，对顶角的性质。1367104

【分析】∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。

又∵sinA=

1，∴∠CAB=30°。∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）。 2又∵点O是AB的中点，∴OC=OB。∴△OCB是等边三角形。∴∠COB=60°。 ∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）。又∵DE⊥AB，∴∠D=90°﹣60°=30°。

21. （2012辽宁朝阳3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙O的半径为 ▲ 。

第 24 页共 42 页

【答案】5。

【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】连接OD，

∵AB⊥CD，AB是直径，∴由垂径定理得：DE=CE=3。设⊙O的半径是R，

2（R?1）?32 在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2?OE2?DE2，即R2?解得：R=5。

22. （2012辽宁大连3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA＝60°，则∠ABO＝ ▲ °。

【答案】30。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】由△ABC是⊙O的内接三角形，∠BCA＝60°，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BCA＝120°。

∵OA=OB，∴根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠BAO＝∠ABO。 ∴根据三角形内角和定理，得∠ABO＝30°。

23. （2012辽宁阜新3分）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为

▲ cm的圆形纸片所覆盖．

第 25 页共 42 页

【答案】3。

【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】作圆O的直径CD，连接BD，

?，∴∠D=∠A=60°。 ∵圆周角∠A、∠D所对弧都是BC∵CD是直径，∴∠DBC=90°。∴sin∠D=又∵BC=3cm，∴sin60°=

BC。 CD3，解得：CD=23。 CD∴圆O的半径是3（cm）。

∴△ABC能被半径至少为3cm的圆形纸片所覆盖。

24. （2012辽宁锦州3分）如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3㎝，DB=10㎝，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是 ▲ ㎝.

【答案】6。

【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，垂径定理，勾股定理。【分析】如图，过点O作OH⊥AP于点H，OE。

∵AD=3㎝，DB=10㎝，∴EO=DO=5㎝，AO=8㎝。又∵∠PAC=30°，

∴在Rt△AOH中，HO=AOsin∠PAC=8×

1=4（㎝）， 2在Rt△EOH中，EH?EO2?HO2?52?42?3（㎝）。 ∴EF=2EH=6㎝。

25. （2012贵州六盘水4分）如图，已知∠OCB=20°，则∠A= ▲ 度．

第 26 页共 42 页

【答案】70°。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理。

【分析】由OB=OC与∠OCB=20°，根据等边对等角的性质，即可求得∠OBC=20°。

由三角形内角和定理，得∠BOC=180°﹣∠OCB﹣∠OBC=180°﹣20°﹣20°=140°。由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，即可求得∠A=

1∠BOC=70°。 226. （2012贵州六盘水4分）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为 ▲ cm．

【答案】

25。 6【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，

∵OD⊥AB，∴AD=

11AB=（9﹣1）=4。 22设OA=r，则OD=r﹣3，在Rt△OAD中，

OA﹣OD=AD，即r﹣（r﹣3）=4，解得r=

25（cm）。 627. （2012贵州遵义4分）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 ▲ ．

【答案】4。

【考点】垂径定理，三角形中位线定理。

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【分析】∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，

∴CD是△APB的中位线，∴CD=

11AB=×8=4。 2228. （2012山东东营4分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚

度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值

是 ▲ cm．

【答案】30。

【考点】垂径定理的应用，勾股定理。

【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径：

如图，连接OB，

当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。 ∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，∴O点在AD上，BD=24cm。在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48－r。 ∴r=（48－r）＋24，解得r=30。

∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm。

29. （2012山东青岛3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60o，则∠ABC＝ ▲ o．

【答案】150。

【考点】圆周角定理，圆的内接四边形的性质。

第 28 页共 42 页

【分析】如图，在优弧 ADC 上取点D，连接AD，CD，

∵∠AOC=60°，∴∠ADC=

1∠AOC=30°。 2∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°－∠ADC=180°－30°=150°。

?上一点30. （2012山东泰安3分）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB（不与A，B重合），则cosC的值为 ▲ ．

【答案】

4。 5【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。【分析】连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，

可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°。 ∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10 ∴BD=AD2?AB2?102?62?8。 ∵∠D=∠C，∴cosC=cosD=

BD84??。 AD10531. （2012山东淄博4分）如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC=3，则DE=

▲ .

【答案】3。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，平行的判定，等腰梯形的判定。【分析】∵BE是⊙O的直径．∴∠BDE=90。∴∠BED＋∠DBE=90。 ∵AB⊥CD，∴∠BCD＋∠ABC=90。

又∵∠BED和∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BED=∠BCD。

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∴∠DBE=∠ABC。∴∠DBE＋∠ABE =∠ABC＋∠ABE，即∠ABD=∠CBE。

又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角，∠CBE和∠CDE是同弧所对的圆周角， ∴∠ABD=∠ACD，∠CBE=∠CDE。∴∠ACD= CDE。连接AE，设BE与CD交于点F，

∵BE是⊙O的直径．∴∠AEB＋∠ABE=90。

∵AB⊥CD，∴∠ABE＋∠BFC=90。∴∠AEB=∠BFC。∴AE∥CD。 ∴四边形ACDE是等腰梯形。∴DE=AC。 ∵AC=3，∴DE=3。

32. （2012广西河池3分）如图，AB、AC是⊙O的弦，OE⊥AB、OF⊥AC，垂足分别为E、

F.如果EF=3.5，那么BC= ▲ .

【答案】7。

【考点】垂径定理，三角形中位线定理。

【分析】由OE垂直于AB，利用垂径定理得到E为AB的中点，同理得到F为AC的中点，可得出EF为三角形ABC的中位线，利用三角形的中位线定理得到BC=2EF，即可求出BC的长：

∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴E为AB的中点，F为AC的中点，即EF为△ABC的中位线。

∴EF=

1BC。 2又∵EF=3.5，∴BC=2EF=7。

33. （2012广西南宁3分）如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC= ▲ ．

第 30 页共 42 页

【答案】25。

【考点】圆周角定理，垂径定理。

??AC?，∴∠ADC=【分析】∵OA⊥BC，∴AB110

∠AOB= ×50°=25。 2234. （2012吉林省3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO=25°，∠BCO=35°，则∠AOB= _ ▲____度．

【答案】120。

【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理。【

分

析

】

∵OA=OC

，

∴∠ACO=∠CAO=25°

（

等

边

对

等

角

）。

∴∠ACB=∠ACO+∠BOC=25°+35°=60°。

∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°（圆内同弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心

角的一半）。

35. （2012青海西宁2分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为

5m，则圆拱

形门所在圆的半径为 ▲ m．

【答案】2.6。

【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】连接OA；

在Rt△OAD中，AD=

1AB=1 m。 2设⊙O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5－R，

由勾股定理，得：OA=AD+OD，即：R=（5-R）+1，解得R=2.6（m）。

36. （2012青海省2分）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为 ▲ 度．

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【答案】69。【考点】圆周角定理。

【分析】∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，∴∠AOD=138°（等弧所对圆心角相等）。

∴∠AED=138°÷2=69°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。

37. （2012内蒙古包头3分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=60，⊙O的半径为2 ，则BC 的长为

▲ （保留根号）。

【答案】23。

【考点】圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，过点O作OD⊥BC于点D，

∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，且∠BAC=60， ∴∠BOC=2∠BAC=120。

又∵OD⊥BC，∴∠BOD=60，BD=DC。又∵OB=2，∴BD=ODcos∠BOD=2×0

3?3。∴BC=2BD=23。 238. （2012黑龙江绥化3分）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A= ▲ 【答案】50°或130°。

【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形的性质。【分析】分为两种情况：当O在△ABC内部时，根据圆周角定理得：∠A=11∠BOC=×100°=50°； 22第 32 页共 42 页

当O在△ABC外部时，如图在A′时，

∵A、B、A′、C四点共圆，∴∠A+∠A′=180°。 ∴∠A′=180°-50°=130°。故答案为：50°或130°。

39. （2012黑龙江牡丹江3分）⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8 cm，CD=6cm，则AB与CD的距离为 ▲ 【答案】1 cm或7 cm。

【考点】平等线间的距离，垂径定理，勾股定理。【分析】如图，分AB和CD在圆心的同侧和异侧。

当AB和CD在圆心的同侧时，连接OB，OD，过点O作AB和CD的垂线，分别交于点E，F。

由AB∥CD，AB=8 cm，CD=6cm，根据垂径定理，得BE=4cm，DF=3cm。 ∵⊙O的半径为5cm，∴OB=OD=5cm。

∴根据勾股定理，得OE=3 cm，OF=4 cm。∴EF=OF－OE=1 cm。同理，当AB和CD在圆心的异侧时，EF=OF＋OE=7 cm。综上所述，AB与CD的距离为1 cm或7 cm。

40. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，点A、B、C、D分别是⊙O上四点，∠ABD=20°，BD是直径，

则∠ACB= ▲ 。

【答案】70°

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。【分析】连接AD，

∵BD是直径，∴∠BAD=90°。

∵∠ABD=20°，∴∠D=90°－∠DBD=70°。 ∴∠ACB=∠D=70°。

三、解答题

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1. （2012宁夏区6分）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD. 求∠D的度数.

【答案】解：连接BD 。

∵AB⊙O是直径，∴BD ⊥AD。

又∵CF⊥AD，∴BD∥CF。∴∠BDC=∠C。又∵∠BDC=

11∠BOC，∴∠C=∠BOC。 22∵AB⊥CD，∴∠C=30°。∴∠ADC＝60°。

【考点】圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形内角和定理。

【分析】连接BD，根据平行线的判定和性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得 ∠BDC=

11 ∠BOC，则∠C=∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。 222. （2012江苏南通8分）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．

【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。

∵AB=30，CD=16，∴AE=

11AB=15，CF=CD=8。 22又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。

∴在Rt△AOE中，OE?OA2?AE2?172?152?8。在Rt△OCF中，OF?OC2?CF2?172?82?15。 ∴EF=OF－OE=15－8=7。答：AB和CD的距离为7cm。

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【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离。

??AC?，弦AB与弦AC交于点A，弦CD3. （2012湖南岳阳6分）如图所示，在⊙O中，AD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC=AB?AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

??AC?，∴∠ACD=∠ABC。【答案】（1）证明：∵AD又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。 ∴

ACAF2

，即AC=AB?AF。 =ABAC（2）解：如图，连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=

1×120°=60°。 2在Rt△AOE中，OA=2， OE=OAcos60°=1 ∴AE= OA2?OE2 = 3。∴AC=2AE=23。 ∴S阴影?S扇形OAC?S?AOC120???2214???23?1???3cm2。

36023??【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。

??AC?，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角【分析】（1）由AD相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根据相似得比例可得证。

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（2）连接OA，OC，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义求出各线段长即可。

4. （2012辽宁沈阳10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.21世纪教育网

(1)求证：BD平分∠ABC；

(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.

??AD?。【答案】证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴CD∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。

（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，∴∠OBD=∠ODB=30°。

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°。

∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°。又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。 ∴在Rt△ACB中，BC=∵OD=

1AB 。 21AB，∴BC=OD。 20

【考点】圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角定理和外角性质，含30角直角三角形的性质。

??AD? ，又由在同圆或等圆【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得CD中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC。

（2）由OB=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，求得∠AOD的度数；由OD⊥AC

于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，从而根据含30角直角三角形中30角所对直角边是斜边一半的性质，可证得BC=OD。

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5. （2012贵州安顺12分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；

（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．

【答案】解：（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∠CAB=40°，∠APD=65°，

∴∠C=65°﹣40°=25°。 ∴∠B=∠C=25°。

（2）过点O作OE⊥BD于E，则DE=BE，

又∵AO=BO，∴OE=

11AD=×6=3。 22∴圆心O到BD的距离为3。

【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。【分析】（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。

（2）利用三角形中位线定理得出OE=

1 AD，即可得出答案。 26. （2012山东潍坊9分）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD． (1)求证：ΔABD∽ΔACE；

(2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．

【答案】（1）证明：∵弧ED所对的圆周角相等，∴∠EBD=∠ECD，

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又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE。

（2）解：△ABC为等腰三角形。理由如下：

∵S△BEC=S△BCD，S△ACE=S△ABC－S△BEC，S△ABD=S△ABC－S△BCD， ∴S△ACE=S△ABD。

又由（1）知△ABD∽△ACE，∴对应边之比等于1。 ∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】（1）利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE。（2）根据△BEC与△BDC的面积相等，得出S△ACE=S△ABD，进而求出AB=AC，得出答案。 7. （2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．

（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹

的签字笔描黑）；

第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．第三步，连接BD．（2）求证：AD=AE?AB；

（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求

EO的值． FO

【答案】解：（1）如图；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。

又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°。

∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽Rt△ABD。

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∴AD：AB=AE：AD，∴AD=AE?AB。

（3）如图，连接OD、BC，它们交于点G，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠ECG=90°。

??。∴OD垂直平分BC。又∵∠CAD=∠DAB，∴DC=DB13AC=x。∴四边形ECGD为矩形。 2253∴CE=DG=OD－OG=x－x =x。∴AE=AC+CE=3x+x=4x。

22∴OD∥AE，OG=

∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF。∴AE：OD=EF：OF，∴EF：OF=4x：∴

5x=8：5。 2EO8?513??。 FO55【考点】圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。

【分析】（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D；点D作AC的垂线，垂

足为点E。

（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD平分∠CAB

得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD=AE?AB。

（3）连接OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的

??，根据垂径定理的推论得到圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到DC=DB13AC=x，并且得到四边形ECGD为矩形，则可求出CE，225从而计算出AE，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：

2EO5，然后根据比例的性质即可得到的值。

FOOD垂直平分BC，则有OD∥AE，OG=

8. （2012新疆区8分）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．

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??CD?；【答案】解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：∠ACB=90°；BE=CE；BDOD∥AC。

（2）∵OD⊥BC，BE=4，∴BE=CE=4，即BC=2BE=8。

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°。

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10。∴OB=5。在Rt△OBE中，OB=5，BE=4，根据勾股定理得：OE=3。 ∴ED=OD﹣OE=5﹣3=2。

【考点】垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理。

【分析】（1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角；由OD

??CD?，由OD垂直于BC，AC垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，即BE=CE，BD也垂直于BC，利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD与AC平行。

（2）由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，由BE的长求出BC的长，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中，由BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长，从而求出半径OB与OD的长，在Rt△BOE中，由OB与BE的长，利用勾股定理求出OE的长，由OD﹣OE即可求出DE的长。

9. （2012吉林长春5分）如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．

【答案】解：过点O作OD⊥AB，垂足为点D，连接OA。

∵AB=12，∴AD=

11AB=×12=6。 22∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8。

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在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8， ∴OA?AD2?OD2?62?82?10。答：⊙O的半径为10。

【考点】垂径定理，平行线之间的距离，勾股定理。【分析】过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=

1AB，再根据相邻两条平行线之间的距离2均为4可知OD=8，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长。

10. （2012青海省7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C （1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM=

2，求⊙O的直径． 3

?所对的圆周角，∴∠C=∠M。【答案】解：（1）证明：∵∠C与∠M是BD又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M。∴CB∥MD。（2）连接AC，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。