基于尺寸链图形理论的公差计算方法

尺寸链

机械设计与制造第１２期

－１０６－

文章编号：１００１－３９９７（２００７）１２－０１０６－０３

ＭａｃｈｉｎｅｒｙＤｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ

２００７年１２月

基于尺寸链图形理论的公差计算方法＊

胡志敏

黄美发

钟艳如

孙永厚（桂林电子科技大学，桂林５４１００４）

Ａｔｏｌｅｒａｎｃｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｇｒａｐｈｉｃｔｈｅｏｒｙｏｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｈａｉｎ

ＨＵＺｈｉ－ｍｉｎ，ＨＵＡＮＧＭｅｉ－ｆａ，ＺＨＯＮＧＹａｎ－ｒｕ，ＳＵＮＹｏｎｇ－ｈｏｕ

（ＧｕｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕｉｌｉｎ５４１００４，Ｃｈｉｎａ）

!!!!!!!!!!!!!!!!"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

【摘

要】在平面尺寸链中，公差的计算通常采用解析方法，但采用解析方法计算量比较大，因此，运

用尺寸链图形理论来简化平面尺寸链中的公差计算。基于尺寸链图形理论的方法与解析法相比，尺寸链

关键词：平面尺寸链；图形理论；公差计算

【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｔｈｅａｎａｌｙｚｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｕａｌｌｙｕｓｅｄｉｎｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｏｌｅｒａｎｃｅａｌｌｏｃａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｐｌａｎａｒ

公差计算直观易行，并且方程无需进行微分运算。最后给出一个主轴箱零件平面尺寸链的公差计算实例。

!!!!!!!!!!!!!!!!"

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｈａｉｎ．Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｔｈｅａｎａｌｙｚｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔａｎｄｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｔｏｃａｒｒｙｏｕｔ，ｓｏｔｈｅｇｒａｐｈｉｃｔｈｅｏｒｙｏｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｈａｉｎｉｓｅｍｐｌｏｙｅｄｔｏｓｉｍｐｌｉｆｙｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｏｌｅｒａｎｃｅａｌｌｏｃａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｐｌａｎａｒｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｈａｉｎ．Ｃｏｍｐａｒｉｎｇｗｉｔｈａｎａｌｙｚｉｎｇｍｅｔｈｏｄ，ｔｏｌｅｒａｎｃｅｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｏｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｈａｉｎｉｓｅａｓｙ，ａｎｄｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｎｅｅｄｎ＇ｔｔｏｂｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ．Ｆｉｎａｌｌｙａｓｐｉｎｄｌｅｂｏｘｔｏｌｅｒａｎｃｅｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｉｎｐｌａｎａｒｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｈａｉｎｉｓｇｉｖｅｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｌａｎａｒｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｈａｉｎ；Ｇｒａｐｈｉｃｔｈｅｏｒｙ；Ｔｏｌｅｒａｎｃｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

中图分类号：ＴＨ１６１

文献标识码：Ａ

Ｔｙ

ＴＯ

Ａ

Ｙ±Ｔｙ／２

±ＴＯ

Ｘ±Ｔｘ／２

Ａ

／２

ＬＯ

Ａ

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

１平面尺寸链图形理论

平面尺寸链是指在加工或装配平面内的相互关联一组封闭的尺寸组，其中最后自然形成的尺寸称之为封闭环，其余的尺寸称之为组成环。封闭环的尺寸受控于各个组成环的尺寸，而封闭环的公差受控于各个组成环的公差，本文把各个平面组成环的公差带用图形来表示，因此，封闭环的公差带与各个组成环公差带之间的关系就构成了平面尺寸链的图形理论，即对于合格的加工或装配，要求封闭环的公差带包容各个组成环的合成公差带。

基于尺寸链图形理论对公差带的形状及叠加（合成）过程进行详细说明。

宽度分别为ＴＸ和ＴＹ。在图１（ｂ）中，点Ａ的位置由ＬＯＡ±ＴＯＡ／２和

６０°±Ｔα／２控制，其公差带是以点Ａ为中心的矩形，在ＯＡ连线方

向上公差带的宽度为ＴＯＡ，在垂直于ＯＡ连线方向上公差带的宽

［４］

度为角度公差Ｔα和ＯＡ线段长度的乘积ＬＯＡＴα。

（合成）原理１．２公差带的叠加

公差带的叠加包括公差带的单基准叠加和公差带的双基准叠加。公差带的单基准叠加是指用来确定受控特征位置的两个尺寸和公差分量只和一个基准相联系，最终受控特征的公差带由各组成环公差带直接叠加而成。图２（ａ）所示为两个公差带单基准叠加时情形。假设平行四边形１为点Ａ对基准Ｏ的公差带，平行四边形２为点Ｂ对基准Ａ的公差带，在ＸＯＹ坐标面上，点Ｂ对基准Ｏ的公差带为平行四边形１和２的直接叠加。沿平（或２）的封闭轮廓一圈，平行移动２（或１），平行四边行四边形１

形２（或１）所围成的最大区域就构成了点Ｂ对基准Ｏ的公差带，图中为面积最大的多边形。如果点Ｂ的设计尺寸和公差分量给定为ＴＸ和ＴＹ，对于合格的点Ｂ，必须保证设计公差带（图中虚线长方形所围区域）完全包容点Ｂ的叠加公差带；如果点Ｂ的设计公差带为用点划线绘出的圆，该圆也应完全包容点Ｂ的叠加公差带。

公差带的双基准叠加是指用来确定受控特征位置的两个尺

１．１公差带形状

公差带形状是根据受控特征的尺寸和公差标注形式确定（ａ）中，点Ａ的位置由Ｘ±的。在图１ＴＸ／２和Ｙ±ＴＹ／２控制，其公差带是以点Ａ为中心的矩形，在坐标轴ＯＸ和ＯＹ方向上公差带的

Ｙ

Ｙ

ＬＯ

Ａ

Ｔａ

Ａ

Ａ

Ｔａ／２６０#±

Ｏ

（ａ）

图１公差带形状图

寸和公差分量分别和两个不同的基准相联系，每个基准分别控

Ｘ

ＸＯ

（ｂ）

制公差带的一个分量，受控特征的最终公差带取决于两个基准的公差带以及受控特征相对这两个基准的公差带。如图２（ｂ），图中以Ａ和Ｂ为中心的公差带分别是点Ａ和点Ｂ对原点Ｏ的

＊来稿日期：２００７－０１－２６（项目编号５０４６５００１）＊基金项目：国家自然科学基金

尺寸链

第１２期胡志敏等：基于尺寸链图形理论的公差计算方法＊－１０７－

公差带，以点Ｃ为中心的小平行四边形是受控点Ｃ相对基准Ａ和基准Ｂ的公差带，点Ｃ对原点的叠加公差带可以这样获得：由于点Ｃ有两个基准，即基准Ａ和基准Ｂ的公差带，首先确定这两个基准对点Ｃ的等效单基准。形成等效单基准的公差带１－

孔Ｃ。要求满足三孔距公称尺寸及公差ＬＡＢ＝１６６．７５±０．０５，ＬＢＣ＝

１２５．２２±０．０５，ＬＡＣ＝１２９．７１±０．０５，及ＸＡＢ＝１５７．７９９±０．１５，其余各孔纵、

横坐标名义尺寸如下表１所示，要求确定镗孔加工时各纵、横坐标尺寸的公差。

运用上面提到的平面尺寸链图形理论的知识，对床头箱主轴孔及轴承孔的公差进行求解。

２－３－４。然后，沿等效单基准的公差带１－２－３－４的封闭外轮廓一

圈，平行移动受控点Ｃ相对基准Ａ和Ｂ的公差带，则受控点Ｃ相对基准Ａ和Ｂ的公差带所围成的最大区域就是点Ｃ的叠加公差带。Ｙ

２

１Ａ

ＴＹ

ＴＸ

Ｂ

Ｙ

１ａ

ａ

２．１基于尺寸链图形理论的解法

在平面尺寸链图形理论中，一个尺寸链可以包含一个或两个封闭环，这样只有两组相联系平面尺寸链。图４（ａ）表示尺寸链１，

２４Ｃ

ｂ

图４（ｂ）表示尺寸链２，［ＬＡＣ］和［ＬＢＣ］是封闭环。根据［ＬＡＢ］是封闭环。

尺寸链１，它的公差带包容图如图５（ａ），ＩＪＫＬ为合成公差带，

３

Ａｂ

ａｂｃｄ为封闭环公差带，其ａｂ和ｃｄ间的宽度恰等于放大系数Ｍ

（Ｍ取２４０）与ΔＸＡＢ的乘积，ａｄ与ｂｃ边与ΔＬＡＢ方向垂直，宽度也恰等于ＭΔ（坐ＬＡＢ，ｅｆｇｈ和ｉｊｋｌ分别为Ａ、Ｂ两点的坐标公差带

Ｘ

Ｂ（ｂ）

Ｏ

（ａ）

ＸＯ

图２公差带叠加图［４］－［５］

标镗床横坐标和纵坐标的精度相同，故取坐标公差带为正方形）。

因此，以点Ｃ为对称中心，作两平行线垂直于连线ＡＣ，两平行线间的距离等于基准Ａ的公差带在ＡＣ方向上的宽度；同理，再以点Ｃ为对称中心，作两平行线垂直于连线ＢＣ，两平行线间的距离等于基准Ｂ的公差带在ＢＣ方向上的宽度，由这四条直线所围成的区域１－２－３－４就是基准Ａ和基准Ｂ对点Ｃ的等效单基准公差带。然后，沿区域１－２－３－４的封闭外轮廓一圈，平行移动以点Ｃ为中心的小平行四边形，则小平行四边形所围成的最大区域就是点Ｃ的叠加公差带，如图中面积最大的平行四边形，如果受控点Ｃ的设计公差带为图中虚线给出的矩形，当点Ｃ合格时，该矩形应完全包容点Ｃ的叠加公差带［４］。

（ａ）

图４尺寸链示意图

（ｂ）

根据单基准包容原理，ａｂｃｄ应包容ｅｆｇｈ和ｉｊｋｌ两个公差带。由于ΔＸＡＢ＞＞ΔＬＡＢ，说明沿ΔＸＡＢ方向是有余地的，也就是说继续缩小ΔＸＡＢ，在ΔＸＡＢ不小于ΔＸＡ＋ΔＸＢ之前，是不会使加工难度增大的。故只计算Δ（１）：ＬＡＢ方向，得方程组

２实例验证

加工Ｃ６２０－１床头箱主轴孔Ａ及轴承孔Ｂ、Ｃ所需的镗模板如图３所示（单位：ｍｍ），其中带括号的尺寸表示名义尺寸，需在座标镗床上加工。加工顺序是：以Ｄ、Ｅ两面及交点为ＸＯＹ坐标系，用坐标法分别按ＸＡ、孔Ｂ、ＹＡ、ＸＢ、ＹＢ、ＸＣ、ＹＣ先后镗孔Ａ、

表１孔坐标尺寸

孔号

（１）

Ｘ１４２２９９．７９９１９３

Ｙ２０２１４８．１０１８２．７３４

式中：θ—公差带对角线与直线ＬＡＢ的夹角。

ａ

ＡＢＣ

ｄ

ＩｉｊＪ

ｂｆｅ

Ｉ

ｈｋｇＬＫ

ＬＢＣ

ΔＴｅｈ

ｍ１ｖ

Ｑ２３ｎｑ

４ｏｕｆｐ

８

５ｗ

７ｇＲ６Ｓｉｊ

１

ｋ

ＬＡＣΔ

ΔＬ

ｃ

ＡＢ

ＸＡＢΔ

（ａ）

图５尺寸链包容图

图３Ｃ６２０－１床头箱

（ｂ）

由已知条件知：

尺寸链

－１０８－

１４８．１０１，ＬＡＢ＝１６６．７５，ΔＬＡＢ＝０．１。

解得δ１＝０．０３９。

机械设计与制造

ＸＡＢ＝ＸＢ－ＸＡ

（ＸＡ－ＸＢ）２＋（ＹＡ－ＹＢ）２ＬＡＢ＝!

（ＸＡ－ＸＣ）２＋（ＹＡ－ＹＣ）２ＬＡＣ＝!

（ＸＣ－ＸＢ）２＋（ＹＣ－ＹＢ）２ＬＢＣ＝!

（８）、（９）、（１０）全微分方程式：

Ｎｏ．１２

Ｄｅｃ．２００７

（３）（４）（５）（６）

，ＸＡ＝１４２，ＹＡ＝２０２，ＸＢ＝２９９．７９９，ＹＢ＝ΔＸＡ＝ΔＸＢ＝ΔＹＡ＝ΔＹＢ＝δ

图５（ｂ）为尺寸链２的公差带包容图。八边形“１２３４５６７８”为合成公差带，四边形ＱＲＳＴ为封闭环公差带，其ＱＴ与ＲＳ之间的宽度为放大系数Ｍ与ΔＬＡＣ的乘积，ＱＲ与ＳＴ之间的宽度为 ＭΔＬＢＣ。两组对边分别与ＡＣ和ＢＣ方向垂直。由于［ＬＡＣ±ΔＬＡＣ／２，

对尺寸链方程式（３）、（４）、（５）、（６）分别进行全微分得（７）、

ＬＢＣ±ΔＬＢＣ／２］为双基点环节，所以应求出Ａ、Ｂ两点的合成公差带。

图５（ｂ）中的ｑｕｗｖ即此合成公差带，四边形ＱＲＳＴ包容了八边形“１２３４５６７８”。同样可以发现ＳＲ边与５６边不相接触。说明沿

（７）

ΔＬＡＣ方向有余地的，ΔＬＢＣ方向要求严格。所以只对封闭环ＬＢＣ的

尺寸链进行计算，得到方程组１４。

（８）

（９）

（２）

（１０）

由已知条件知：

，ＸＢ＝２９９．７９９，ＹＢ＝１４８．１０１，ＸＣ＝１９３，ＹＣ＝ΔＸＢ＝ΔＸＣ＝ΔＹＢ＝ΔＹＣ＝δ

由已知条件知：

，ＸＡ＝１４２，ＹＡ＝２０２，ＸＢ＝ΔＸＡ＝ΔＹＡ＝ΔＸＢ＝ΔＹＢ＝ΔＸＣ＝ΔＹＣ＝δ

ＬＢＣ＝０．１８２．７３４，ＬＢＣ＝１２５．２２，Δ

解得：

２９９．７９９，ＹＢ＝１４８．１０１，ＸＣ＝１９３，ＹＣ＝８２．７３４，ＬＡＢ＝１６６．７５，ＬＡＣ＝１２９．７１，ＬＢＣ＝１２５．２２，ΔＬＡＢ＝０．１，ΔＬＢＣ＝０．１，ΔＬＡＣ＝０．１

代入方程式，解得：

δ２＝０．０３６

取δδ１和δ２的较小值得：

δ＝０．０３６

故坐标及坐标公差写成对称公差形式：

δ１＝０．１５，δ２＝０．０３９，δ３＝０．０３８，δ４＝０．０３６

取最小值：δδ＝０．０３６

故坐标及坐标公差写成对称公差形式：

ＸＡ＝１４２±０．０１８，ＹＡ＝２０２±０．０１８，ＸＢ＝２９９．７９９±０．０１８，ＹＢ＝２５５．８９９±０．０１８，ＸＣ＝１９３±０．０１８，ＹＣ＝３２１．２６６±０．０１８

为了说明基于尺寸链图形理论的解法直观易行的优点，下面用传统的解析方法对上例进行求解。

ＸＡ＝１４２±０．０１８，ＹＡ＝２０２±０．０１８，ＸＢ＝２９９．７９９±０．０１８，ＹＢ＝２５５．８９９±０．０１８，ＸＣ＝１９３±０．０１８，ＹＣ＝３２１．２６６±０．０１８

从此例中可看出，两种方法所得结果相同。但运用尺寸链图提高求解效形理论的方法与传统的解析法相比，能减少计算量、率。

２．２解析法

３结论

基于尺寸链图形理论的方法与解析法相比较，有计算直观易行、提高求解效率的优点。其原因有两点：（１）从尺寸链公差带的包容图可以判断尺寸链封闭环的重要程度，只对有严格要求封闭环的尺寸链进行计算。（２）无须对尺寸链方程进行微分运

（ａ）

（ｂ）

算。在对较复杂平面尺寸链的公差求解时，基于尺寸链图形理论的方法将更能体现出计算量小，求解效率高的优点，适合于工程应用。

参考文献

１张政寿．二维尺寸链理论及计算［Ｍ］．北京．国防工业出版社，１９８８．

（ｃ）

图６

尺寸链示意图

（ｄ）

２王信义．机械制造工艺学［Ｍ］．北京．北京理工大学出版社，１９９０．３成刚虎等．平面尺寸链的矢量解法［Ｊ］．设计与研究，２００１．

４黄美发．面向设计和制造的并行公差设计方法研究［Ｄ］．华中科技大学学报，２００４．

在进行解析法分析时，一个尺寸链只能包含一个封闭环，这样就有四个相联系的尺寸链，图６（ａ）表示尺寸链１，［ＸＡＢ］是封闭环。图６（ｂ）表示尺寸链２，［ＬＡＢ］是封闭环。图６（ｃ）表示尺寸链３，（ｄ）表示尺寸链４，［ＬＢＣ］是封闭环。［ＬＡＣ］是封闭环。图６

５Ｈｕａｎｇ，Ｍ．Ｇａｏ，Ｙ．Ｚ，Ｘｕｅｔａｌ．Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｐｌａｎａｒｔｏｌｅｒａｎｃｅａｌｌｏｃａｔｉｏｎｗｉｔｈｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｉｃｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ．ＴｈｅＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｄｖａｎｃｅｄＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００２．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/whl1.html