第3章_离散系统的时域分析

信号与系统 吴大正

第三章 离散系统的时域分析 信号与系统课程结构 第一章 信号与系统的基本概念 第二章 连续系统的时域分析 第三章 离散系统的时域分析

课程体系

第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 第五章 连续系统的s域分析 第六章 离散系统的z域分析 第七章 系统函数 第八章 系统的状态变量分析

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第三章 离散系统的时域分析 信号与系统课程结构傅里叶变换 第四章

课程体系

连续时域 第二章 绪论 第一章离散时域 第三章

拉普拉斯 变换 第五章Z变换 第六章

系统函数 第七章

状态变量 第八章

基本概念引导

核心内容

拓宽加深部分

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第三章 离散系统的时域分析

第三章 主要内容

第三章 主要内容 3.1.LTI离散系统的响应:一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解

3.3.卷积和:一、卷积和 二、卷积和的图解三、卷积和的性质

三、零输入响应、零状态响应

3.2.单位序列和单位序列响应:一、单位序列和单位阶跃序列 二、单位序列响应和阶跃响应

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第三章 离散系统的时域分析

3.1 LTI离散系统的响应

连续系统——微分方程的求解微分方程求解

时域分析法全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解 (自由响应) (受迫响应)

变换域法 (第五章)

( 零 状卷 态积 响法 应 )

经 典 法

全响应= 零输入响应 + 零状态响应 (解齐次方程) (叠加积分法) 冲激响应和阶跃响应 (零状态响应)

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第三章 离散系统的时域分析 差分方程的求解

3.1 LTI离散系统的响应

差分方程求解

时域分析法全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解

变换域法 (第六章)

( 零卷 状积 态和 响法 应 )

迭 代 法

经 典 法

全响应= 零输入响应 + 零状态响应

单位序列响应和单位阶跃响应 (零状态响应)

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一 差分与差分方程微分：连续信号的变化率：

d f (t ) f (t ) f (t t ) f (t ) f (t ) f (t t ) lim lim lim t 0 t t 0 t 0 dt t t差分：相邻两个序列值的变化率，有两种形式

f (k ) f (k ) f (k 1) k k (k 1)一阶后向差分： f (k ) 一阶前向差分： f (k )

f (k ) f (k 1) f (k ) k (k 1) k

f (k ) f (k 1)

f (k 1) f (k )

移位序列：…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),f(k-2)…等称为f(k) 的移位序列。

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第三章 离散系统的时域分析 一 差分与差分方程

3.1 LTI离散系统的响应

二阶差分 2 f (k ) f (k ) f (k ) f (k 1) = f (k ) f (k 1)

=f (k ) 2 f (k 1) f (k 2)n阶差分 f (k ) n n -1

n f (k ) (-1)

f (k - j ) j 0 j n j

n n! 式中， , j 0,1, 2, , n j n - j ! j !

差分运算具有线性性质 a1 f1 (k ) a2 f 2 (k ) a1 f1 (k ) a2 f 2 (k ) a1 f1 (k 1) a2 f 2 (k 1) =a1 f1 (k ) f1 (k 1) a2 f 2 (k ) f 2 (k 1) =a1 f1 (k ) a2 f 2 (k )

序列求和

y (k )

i

k

f (i )

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一 差分与差分方程差分方程：包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 可以缩写为：

aj 0

n

n j

y k j bm i f k i , (an 1)j 0

n

二阶差分方程：y(k) + a1 y(k-1) +a0 y(k-2) = b2 f(k)+ b1 f(k-1)+ b0 f(k-2)

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 二 差分方程的经典解求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种 1、迭代法 逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计 算机，缺点是不能得出通式解答。 全响应=齐次通解 + 特解

2、时域经典法

自由响应 强迫响应 求解过程比较麻烦， 不宜采用。 3、全响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同 零状态响应求解利用卷积和方法求解，十分重要!!! 4、变换域法(Z变换法)

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一 差分与差分方程差分方程是具有递推关系的代数方程，已知初始条件和激励，利 用迭代法可求得差分方程的数值解。 例3.1-1:若描述某系统的差分方程为： y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2, 激励f(k)=2kε(k),求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(0)=0 y(1)=2 y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 ……

思路清楚，便于计算机求解，但不易得到解析形式的(闭合)解。

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 二 差分方程的经典解

齐次解

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 二 差分方程的经典解 特解

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 二 差分方程的经典解例3.1-2:若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0, y(1)= – 1; 激励f(k)=2k,k≥0。求全解。 解： 求齐次解 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 特征根 λ1=λ2= – 2, 齐次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 求特解 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k 得 P=1/4 得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 全解 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 由 y(0)=0, y(1)= – 1 解得 C1=1 , C2= – 1/4 全解 y(k)= (k -1/4) (– 2)k + 2k–2 , k≥0

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第三章 离

散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 三 零输入响应、零状态响应 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) y(k) = yzi(k) + yzs(k)初始状态： y(–1), y(–2) , …,y(–n) 设激励在k=0时接入系统 对于零状态响应： yzs(–1) = yzs(–2) = … = yzs(–n) = 0 对于零输入响应： yzi(–1)= y(–1) , yzi(–2)=y(–2) … yzi(–n)=y(–n) 初始值：可用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的yzi(j)和 yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , … ,n – 1)

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 三 零输入响应、零状态响应零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态 (起始时刻系统储能)所产生的响应。

零输入响应yzi(k)由激励为零构成的齐次方程求解。

即：由齐次方程写出特征方程，求特征根，再列写解

其中系数由初始条件yzi(-k)=y (-k)确定

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 三 零输入响应、零状态响应 例：已知系统的差分方程为 y k 3 y k 1 2 y k 2 f (k )f (k ) 0, k 0, y( 1) 0, y( 2) 0.5求系统的零输入响应。解：零输入响应满足：

yzi k 3yzi k 1 2 yzi k 2 0其初始状态为： yzi ( 1) y( 1) 1, yzi ( 2) y( 2) 0.5 求初始条件值 yzi (0), yzi (1) 由式(1), yzi k 3yzi k 1 2 yzi k 2 将 yzi ( 1), yzi ( 2) 代入，得

(1)

yzi 0 3yzi 1 2 yzi 2 1

yzi 1 3 yzi 0 2 yzi 1 3

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 三 零输入响应、零状态响应特征方程： 2 3 2 0 其特征根： 1 1, 2 2 齐次解的形式为： 实际上，可以直接用

yzi ( 1), yzi ( 2)确定待定常数!

yzi (k ) Czi1 ( 1)k Czi 2 ( 2)k求齐次解的系数：将初始值代入齐次解

yzi (0) Czi1 Czi 2 1 yzi (1) Czi1 2Czi 2 3解得：

Czi1 1, Czi 2 2

所以零输入响应为： y (k ) ( 1)k 2( 2)k , k 0 zi

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 三 零输入响应、零状态响应零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等于零), 由系统的外加激励信号所产生的响应。

零状态响应yzs (k )由初始态为零时的方程求解而定 即 yzs (k ) yzsh (k ) yzsp (k ) 其中yzsh (k )和yzsp (k )分别为常系数微分方程方程的 齐次解和特解.若其特征根均为单根，则零状态响应为：

yzs (k ) Czsj j k y p (k )j 1

n

初始状态：初始值：

yzs ( 1) yzs ( 2) yzs ( n) 0 yzs (0), yzs (1), , yzs (n 1) ?

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第三章 离散系统

的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 三 零输入响应、零状态响应例：已知系统的差分方程为 y k 2 y k 1 2 y k 2 f (k )

f (k ) k , k 0, y( 1) 1, y( 2) 0.5求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

解：(1)零输入响应 满足齐次方程：

yzi k 2 yzi k 1 2 yzi k 2 0 yzi ( 1) y( 1) 1, yzi ( 2) y( 2) 0.5其特征方程： 2 2 2 0 其特征根：

(1)

1,2 1 j1 2e

j

4

零输入响应形式为： k k yzi (k ) 2 C1 cos 4

k D1 sin 4

(2)

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 三 零输入响应、零状态响应计算零输入响应的初始值，令 k=0、1,并将 yzi ( 1), yzi ( 2) 代入差分方程(1)

yzi (0) 2 yzi ( 1) 2 yzi ( 2) 1 yzi (1) 2 yzi (0) 2 yzi ( 1) 0将初始值代入方程(2),求解零输入响应齐次解中的常数： yzi (0) C1 1

2 2 yzi (1) 2(C1 D1 ) 0 2 2 解得：C1=1,D1=-1所以零输入响应为：

yzi (k )

2

k

k cos 4

k sin 4

, k 0

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第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 三 零输入响应、零状态响应(2)零状态响应满足：

yzs k 2 yzs k 1 2 yzs k 2 k yzs ( 1) yzs ( 2) 0

(3)

先求初始值 yzs (0) 和 yzs (1)

令 k=0、1,由(3)式得 y zs 0 2 y zs 1 2 y zs 2 0

yzs 1 2 y zs 0 2 y zs 1 1 1令特解为： y p k Pk P 1 0 代入(3)式 Pk P 2 P (k 1) P 2 P (k 2) P k 1 0 1 0 1 0

上式左右两端应该相等，求得P1=1,P0=2,所以特解为：

y p k k 2, k 0

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