二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

专题：超几何分布与二项分布

● 假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品，那么次品数X的概率分布如何？

一、先考虑不放回抽样： 10从100件产品中随机取10件有C100种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到282件次品和8件正品”，依据乘法原理有C5C95种基本事件，根据古典概型，得 28C5C95P(X = 2) = 10则称X服从超几何分布 C100 类似地，可以求得X取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X的分布列 X 0 05C5C95P 10 C1001 14C5C9510 C1002 23C5C9510 C1003 32C5C9510 C1004 41C5C9510 C1005 50C5C9510 C100 二、再考虑放回抽样： 从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件2是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C10·52·958种基本事件，根据古典概型，得 C10·52·958252958P(X = 2) = ? C)()． 1010(100100100一般地，若随机变量X的分布列为 P(X = k) = Cn pkqn ? k， 其中0 < p < 1，p + q = 1，k = 0，1，2，?，n，则称X服从参数为n，p的二项分布记作X～B(n，p)。

例1： 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑

1k2??球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X~B?3，?．

?5?1??4?64 ∴P(X?0)?C?； ??????55125????03031??4?48?? P(X?1)?C?； ?????5??5?12513121??4?12 P(X?2)?C32?； ??????55125????

1

21

1??4?1?? P(X?3)?C?． ?????5??5?1253330 因此，X的分布列为

X P 0 1 2 3 6448121 125125125125 2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：

031221C2C8C2C8C2C771 P(Y?0)?3?；P(Y?1)?3?；P(Y?2)?38?．

C1015C1015C1015 因此，Y的分布列为

Y P 0 1 2 771 151515辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．

超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别：

超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布

超几何分布与二项分布练习：

1．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．

(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列． 2、.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．

(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

2

3、已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.

现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的数学期望E(X).

4、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发

生故障的概率分别为

1和p. 1049,求p的值; 50(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量?,求?的概率分布列及数学期望E?.

5、有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从

这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为?. （１）求??0的概率； （２）求?的分布列和数学期望.

6、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.

（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。

7、甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p?1)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时2比赛停止的概率为

5． （1）求p的值； 9（2）设?表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量?的分布列和数学期望E?．

8、某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式

进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相

1同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为．

9⑴求选手甲可进入决赛的概率；

⑵设选手甲在初赛中答题的个数为?，试求?的分布列，并求?的数学期望 9、一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字

是2,2张卡片上的数字是3，学 科 网从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

3

（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列（注：若三个数a,b,c满足 a?b?c，则称b为这三个数的中位数）.

10、学志愿者协会有某大6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7

名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

超几何分布与二项分布练习题答案 ：

1、解析：(1)设Ai表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，i＝1,2. Bi表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，i＝1,2. C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则C＝A1·A2＋A1·B2＋B1·A2.

由已知P(Ai)＝0.9，P(Bi)＝0.05 i＝1,2. 所以，所求的概率为

P(C)＝P(A1·A2)＋P(A1·B2)＋P(B1·A2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.

(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为

p＝P(C)＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B(3,0.1)，ξ的分布列为

ξ p 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001 2、解析：(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则

3

C41C1C236·4

P(ξ＝0)＝C3＝30，P(ξ＝1)＝C3＝10，

101021C6·C41C316P(ξ＝2)＝C3＝2，P(ξ＝3)＝C3＝6，

1010

其分布列如下：

ξ P

4

0 130 1 310 2 12 3 16

超几何分布与二项分布练习题答案

2、(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

2121C6C4＋C3C8C2＋C356＋5614660＋2028

2P(A)＝C3＝120＝3， P(B)＝C3＝120＝15. 1010

因为事件A、B相互独立，

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

2??14?1?

PA·B＝PA·PB＝?1－3??1－15?＝45，

????

()()())

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 144

A·BP＝1－P＝1－45＝45. (

44

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45. 法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

2111421444

B＋P(A·B)＝×＋×＋×＝. P＝PA·B＋PA·

31531531545

()()

44

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45 3、【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.

(Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6.

31C5C52C4520P(X?3)?3?; P(X?4)?3?;

42C942C9123C5C415C42P(X?5)??P(X?6)??; . 334242C9C9故,所求X的分布列为

X P 3

5424

2010?42215

155?42146

21?4221

6i?4

13. 3

(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为: E(X)=?i?P(X?i)?

错误！未找到引用源。 4、[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么

11491-P(C)=1-P= ,解得P= ........4 分

510501013）?(2)由题意,P(?=0)=C（ 3101000

5

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