中考复习之三角函数的综合运用
更新时间:2023-06-01 20:49:01 阅读量: 实用文档 文档下载
中考复习之三角函数的综合运用
中考复习之三角函数的综合运用
知识考点:
本课时主要是解直角三角形的应用,涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识,解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念,常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。 精典例题:
【例1】如图,塔AB和楼CD的水平距离为80米,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600,试求塔高与楼高(精确到0.01米)。
(参考数据:2=1.41421 ,=1.73205 )
分析:此题可先通过解Rt△ABD求出塔高AB,再利用CE=BD=80米,解Rt△AEC求出AE,最后求出CD=BE=AB-AE。
A
解:在Rt△ABD中,BD=80米,∠BAD=600
∴AB=BD tan60 138.56(米) 在Rt△AEC中,EC=BD=80米,∠ACE=450
∴AE=CE=80米
∴CD=BE=AB-AE= 80 58.56(米)
E
B
DF
例1图
答:塔AB的高约为138. 56米,楼CD的高约为58. 56米。
【例2】如图,直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处,此时飞机离地面的高度PO=
450米,且A、B、O三点在一条直线上,测得大桥两端的俯角分别为 30, 45,
求大桥AB的长(精确到1米,选用数据:2=1.41,=1.73)
分析:要求AB,只须求出OA即可。可通过解Rt△POA达到目的。 解:在Rt△PAO中,∠PAO= 30
∴OA=PO cot PAO 450cot30 (米) 在Rt△PBO中,∠PBO= 45 ∴OB=OP=450(米)
∴AB=OA-OB= 450 329(米) 答:这座大桥的长度约为329米。
O
B
A
00
P
例2图
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_
以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习
1
中考复习之三角函数的综合运用
评注:例1和例2都是测量问题(测高、测宽等),解这类问题要理解仰角、俯角的概念,合理选择关系式,按要求正确地取近似值。
【例3】一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东600方向,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东300方向,已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能?
分析:此题可先求出小岛C与航向(直线AB)的距离,再与10海里进行比较得出结论。
解:过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D
∵cot30
ADBC0
,cot60 CDCD
∴AD CD cot30,BD CD cot60 ∴AD BD CD(cot300 cot600) 20 ∴CD
203
3
∵10>10
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
评注:此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题,解这类题要弄清方位角、方向角的概念,正确地画出示意图,然后根据条件解题。
北
北
C
DC
600
西
A南
B
D
东
南
AEF
B
例4图
【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD,坝顶宽CD=3米,斜坡AD=16米,坝高8米,斜坡BC的坡度i=1∶3,求斜坡AB的坡角和坝底宽AB。
分析:此题可通过作梯形的高,构造直角三角形使问题得以解决。
解:作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F,在Rt△ADE和Rt△BCF中
例3图
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2 以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习
中考复习之三角函数的综合运用
∵sinA
DE81
AD162
∴∠A=300 又∵AE
AD2 DE2 2 82 83,i
CF1
BF3
∴BF=3CF=3×8=24
∴AB=AE+EF+BF=83 3 24=27 8(米) 答:斜坡AB的坡角∠A=300,坝底宽AB为(27 3)米。
评注:此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系(坡度是坡角的正切值i tan ),其次是作适当的辅助线构造直角三角形。 探索与创新:
【问题一】如图,自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0.5米,车厢底部离地面1.2米,卸货时,车厢倾斜的角度 60,问此时车厢的最高点A离地面多少米?(精确到1米)
分析:此题只需求出点A到CE的距离,于是过A、D分别作AG⊥CE,DF⊥CE,构造直角三角形,解Rt△AHD和Rt△CDF即可求解。
解:过点A、D分别作CE的垂线AG、DF,垂足分别为G、F,过D作DH⊥AG于H,则有:
DF CD sin600 3
3
22
11
24
BC
AD
AH AD cos600 0.5
于是A点离地面的高度为
31
1.2 4(米)
24
问题一图
答:车厢的最高点A离地面约为4米。
【问题二】如图1所示是某立式家具(角书橱)的横断面,请你设计一个方案(角书橱高2米,房间高2.6米,所以不从高度方面考虑方案的设计),按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间,在图2中把你的设计方案画成草图,并说明按此方案可把家具搬入房间的理由(注:搬动过程中不准拆卸家具,不准损坏墙壁)。
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以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习
3
中考复习之三角函数的综合运用
问题二图
2
略解:设计方案草图如图所示。说明:如说理图所示,作直线AB,延长DC交AB于E,由题意可知,△ACE是等腰直角三角形,所以CE=0.5,DE=DC+CE=2,作DH
问题二图
1
⊥AB于H,则DH DE sin HED 2sin45
∵2 1.5
∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。
2
设计方案图
设计方案说理图
跟踪训练:
一、选择题:
1、河堤的横断面如图所示,堤高BC是5米,迎水斜坡AB的长是13米,那么斜坡AB的坡度i是( )
A、1∶3 B、1∶2.6 C、1∶2.4 D、1∶2
2、如图,某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向,这艘渔船以28海里/小时的速度向正东航行半小时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东150方向,此时灯塔M与渔船的距离是( )
A、72海里 B、2海里 C、7海里 D、14海里
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_
4 以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习
中考复习之三角函数的综合运用
北
A
45
30
C
A
AB
东
DCB
第1题图
第2题图
第3题图
3、如图,从山顶A望地面C、D两点,测得它们的俯角分别为450和300,已知CD=100米,点C在BD上,则山高AB=( )
A、100米 B、3米 C、米 D、50(3 1)米 4、重庆市“旧城改造”中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮,以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( ) A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元
20m
120
30m
i D
B
填空第1题图 选择第4题图 填空第2题图
二、填空题:
1、如图,一铁路路基的横断面为等腰梯形,根据图示数据计算路基下底AB= 2、小明想测量电线杆AB的高度(如图),发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4米,BC=10米,CD与地面成300角,且此时测得1米杆的影
长为2米,则电线杆的高度为 米(结果保留两位有效数字,2=1.41,3=1.73) 三、解答题:
1、在数学活动课上,老师带领学生去测河宽,如图,某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C,并测得∠CAD=450,在距离A点30米的B处测得∠CBD=300,求河宽CD(结果可带根号)。
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_
以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习
5
中考复习之三角函数的综合运用
BCA
第3题图 第2题图
2、如图:在小山的东侧A处有一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行,半小时后到达C处,这时气球上的人发现,在A处的正西方向有一处着火点B,5分钟后,在D处测得着火点B的府角是150,求热气球升空点A与着火点B的距离。(结果保留根号,参考数据:sin15
第1题图
A
6 26 20
,cos15 ,
44
tan150 2 3,cot150 2 3)
3、如图:某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A,值班人员发现有一轮
船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进15海里到达C点,才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。
①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁,应立即改变航向,航向改变的角度应最大为北偏东 ,求sin 的值;
②当轮船收到第二次危险信号时,为避免触礁,轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度?
4、如图,客轮沿折线A→B→C,从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮。两船同时起航,并同时到达折线A→B→C上的某一点E处。已知AB=BC=200海里,∠ABC=900,客轮速度是货轮速度的2倍。
(1)两船相遇之处E点( ) A、在线段AB上 B、在线段BC上
C、在线段AB上,也可以在线段BC上
(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)
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6 以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习
中考复习之三角函数的综合运用
A
DCB
第4题图
跟踪训练参考答案
一、选择题:CADC 二、填空题:
1、34米;2、8.7米; 三、解答题:
1、(3 15)米; 2、980(1 )米; 3、①sin
1
3
;②300; 4、(1)B;(2)(200
6
3
)海里。 _____________________________________________________________
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以 生 命 激 情 学 习 以 科 学 方 法 学 习
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