对称性在定积分及二重积分计算中的应用

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

第１０卷第１期２０１０年１月１６７１—１８１５（２０１０）１－０１７２—０４

科学技术与工程

ＳｃｉｅｎｃｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

Ｖ０１．１０⑥２０１０

Ｎｏ．１

Ｊａｎ．２０１０

Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

薛春荣

王

芳

（渭南师范学院数学系，渭南７１４０００）

摘要

运用数学分析中的积分总结了对称性在积分运算中的应用，给出了对称性在定积分、二重积分运算中的有关定理以

及应用；充分体现了对称性在积分运算中带来的方便，达到了简化积分运算的目的。这一点对于数学理论的研究及积分运算的解答都有重要意义。关键词

对称性

定积分

二重积分

中图法分类号０１７２．２；文献标志码Ａ

积分在数学分析中有很重要的地位；积分的计算方法有许多种，相关文献都对其有探讨，但是对对称性的研究却很少涉及。对称性在积分运算中有着很重要的意义，通常可以简化计算。本文研究了对称性在积分运算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分。

，．ｏ

肪圳戈＝厂∥圳戈＋取圳戈＝

舢

，．ｏ

．，ｏ

ｆ八一右）ｄ（一右）＋ｆ八戈）ｄｘ＝

．，Ｏ

肛州右＋肛州戈。

，．ｏ

１相关定理及证明

定理１

ｕ。

所以：．Ｊ一疆戈）出＝２．Ｊ∥戈）毗。

ｏ—ｏ

ｏ

例１心１：计算积分ｊ。

．，ｎ

陆『１『２］

、ｌ在箪王ｎ八ｒ２耵

设八戈）在区间［一倪，倪］上可积：

一ｏｏ—ｏ

志。

Ｕ

ｄ１５Ｉ

厶十ＣＵＳｒ７

解：令０＝耵一戈则

（１）若八戈）为奇函数，则ｆ八戈）ｄｘ＝０；

（２）若八戈）为偶函数，则

肪州戈＝２肛州戈。

证明

（１）当八戈）为奇函数时：令一戈＝ｔ则

ｆ耵乏＿；‰＝一厂二耵乏—；＿苫一＝一ｆ暑三。

其中八戈）＝＿二Ｌ＿一为偶函数，则

么一ＣＯＳ戈

肪州戈＝肛叫卅牡

肛㈡虻一肪州戈

，．ｏ

，．ｏ

ｆ仃乏—；‰＝一厂二盯乏—；＿苫一＝一厂二耵点＝厂二耵点＝

２

所以：２

Ｊ八戈）ｄｘ＝０即Ｊ八戈）ｄｘ＝０。

ｏ—ｏ

．，一ｏ

ｆ者毓。

２００９年９月２４日收到渭南师范学院研究生专项

基金（０７ＹＫＺ００６）资助

令ｔａｎ詈＝右，则

第一作者简介：薛春荣（１９７８一），女，陕西韩城人，讲师，研究方向：偏微分方程及其应用。

万方数据

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

１期

薛春荣，等：对称性在定积分及二重积分计算中的应用

１７３

ｆ忐＝２２

ｆ∞＿１＋１

ｔ一＿２Ｉ虿ｄ右＝

１＋ｔｚ

４

ｆ∞１１＋ｊｔ２虻４厶一————ｉ

Ｃ∞而ｄｔ＝１＋ｔｚ

４万１

ａｒｃｔａｎ万出∞＝等。

定理‘３，４１２若Ｄ关于戈轴对称，Ｄ，为位于戈轴

职埘）毗ｄｙ＝０；

当函数八戈，Ｙ）是关于Ｙ的偶函数，即

职埘）以ｄｙ＝２职埘）捌ｙ。

证明

设八戈，Ｙ）在Ｄ，为戈型区域，其中

职埘）

ｄ戈ｄｙ＝

ｆｌｄｘ～－９０２。（戈ｘ，）ｆ（戈，ｙ）妙＋

ｆｌｄｘ戊如圳ｙ

令Ｙ＝一ｔ，当八戈，Ｙ）是关于Ｙ的奇函数时，

＝厂三ｄ戈ｆ

八戈，一ｔ）ｄ（一ｔ）＋，．ｂＪ

ｆ

ｄｘ

Ｊ八戈，Ｙ）ｄｙ＝．，口

，．ｂ

ｆ

ｄ戈

Ｊ

Ｊ八戈，ｔ）ｄｔ＋—ｏ

，．ｂ

ｆ

ｄ戈

Ｊ

—ｏ

ｆ

八戈，Ｙ）ｄｙ＝

一职埘）捌ｙ＋职戈，ｙ）ｄ．ｄｙ＝０。

ｑ

当八戈，Ｙ）是关于Ｙ的偶函数时，

万方数据ｆｌｄｘ场ｇＯｌ。（戈ｘ，）八戈，一右）ｄ（一右）＋

ｆｌｄｘｅ卜圳ｙ＝一ｆｌｄｘｅ！；二；八戈，右）ｄ右＋ｆｌｄｘ

ｅ砖圳ｙ＝

职埘）捌ｙ＋

职埘）毗ｄｙ＝２职埘）捌ｙ。

定理３‘４１

若Ｄ关于Ｙ轴对称，Ｄ２为位于Ｙ轴

右半部分。

当函数八戈，Ｙ）是关于戈的奇函数，即八一ｘ，ｙ）＝

一八戈，Ｙ）时：

职埘）毗ｄｙ＝０；

当函数八戈，Ｙ）是关于戈的偶函数，即八一ｘ，ｙ）＝职埘）以ｄｙ＝２职埘）捌ｙ。

同理按照上述方法令戈＝一ｔ可以证明。

例２‘２｜：求圆锥名２＝倪２（戈２＋ｙ２）截圆柱面戈２＋

Ｙ２＝２ｙ所得有界部分立体的体积。

解

立体在ｘｙ平面上的投影Ｄ：戈２＋Ｙ２≤２ｙ，

根据积分区域是关于Ｙ轴对称并且被积函数八戈）＝

倪√■了是戈的偶函数，那么所得立体体积吲。

ｙ＝２盯倪ｖ‘研ｄ戈。

令戈＝ｒｃｏｓ

１５Ｉ，Ｙ＝ｒｓｉｎ０。

贝ⅡＤ变为＜（ｒ，０）１０≤秒≤订，０≤ｒ≤２ｓｉｎ臼）。

ｙ＝２巧倪Ｖ研ｄ戈＝２

ｆｄ臼ｆ８ｉｎ

ｐ倪ｒ

ｒｄｒ＝

学ｅｓｉｎ３咖＝６可４倪。

定理４‘６１

若区域Ｄ为关于原点对称，其中Ｄ３

为Ｄ中关于原点对称的右侧。

当八戈，Ｙ）为奇函数即八一戈，一Ｙ）＝一八戈，Ｙ）

时，有职埘）毗ｄｙ＝０。

２

上半部分，当函数八戈，Ｙ）是关于Ｙ的奇函数，即

八戈，一Ｙ）＝一八戈，Ｙ）时，

八戈，一Ｙ）＝八戈，Ｙ）时，

八戈，Ｙ）时：

９，（名），９２（戈）在区间［ａ，６］上连续，不妨设９，（戈）

≤９２（戈），则

职埘）捌ｙ

职埘）捌ｙ＝

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

１７４

科学技术与工程１０卷

当八戈，Ｙ）为偶函数即八一戈，一Ｙ）＝八戈，Ｙ）时，有

职埘）以ｄｙ＝２职埘）ｄＸｄｙ。

Ｄ

孕

证明‘３

１

设Ｄ可分为关于原点对称的两个区

域Ｄ３和Ｄ４，且任意的尸（戈，Ｙ）∈Ｄ３关于原点对称

尸，（戈，，ｙ，）∈Ｄ４，贝！Ｊ

ｆ戈１＝一戈；

ｔＹｌ＝一Ｙ。

由Ｊａｅｏｂｉ行列式

，＝耕＝

ａ戈１ａ戈１ａ戈ＯｙＯｙｌａｙｌ＝ｌｉ１一；ｌ＝１。

ａ戈

Ｏｙ

什

而

，

丫＼

戈

ｙ

、－、

ｄ石ｄｙ

＝

，

ｙ＼

石

ｙ

ｄ石ｄｙ

爪∥ｑ仉∥ｑ

＝妒叫’

一Ｙ）Ｊｄｘｄｙ。

所以

职埘）捌ｙ＝职埘）捌ｙ＋职埘）捌ｙ＝

Ｄ

Ｄ３

Ｄ４

职戈，ｙ）ｄｘｄｙ＋职鸭一ｙ）Ｊｄｘｄｙ＝

Ｄ３

Ｄ３

职戈，ｙ）ｄｘｄｙ＋职氇一ｙ）ｄ戈ｄｙ。

Ｄ３

Ｄ３

由此可知：当八戈，Ｙ）为奇函数时

职埘）出ｄｙ＝０。

当八戈，Ｙ）为偶函数时

职埘）出ｄｙ＝２职埘）捌ｙ。

Ｄ

Ｄ３

例３［２］：计算Ｊ０ｒｅ乎毗ｄｙ，其中Ｄ为直线ｙ＝戈与

１

曲线Ｙ＝戈丁围成的有界闭区域。

解：由积分区域关于原点对称及被积函数为关

于Ｙ的偶函数知

ｆｉｅ＿ｙ２ｄ戈ｄｙ

＝

２

ｅ

一．佗

ｄ石ｄｙ＝２

仃¨Ｗ吼

ｆｄｙ厂３

ｅ—ｙ２

ｄ戈＝

万方数据

２

ｆ

一

佗

／，Ｉ＼

ｙ

—

ｙ

、－、

ｅ

ｄｙ

令

方

＝

ｙ

ｍ火

ｉ。ｅ＿ｙ２

ｄｘｄｙ＝ｆ（１一右）ｅ—ｔｄ右＝上。

ｅ

３定理的推广

推论１‘７，８

１

若区域Ｄ关于Ｙ＝戈轴对称，此时

戈与Ｙ的位置相同，那么

职埘）捌ｙＤ

＝认ｙ，戈）出ｄｙ

推论２［９］

设Ｄ是有界平面区域，二元函数

八戈，ｙ）在Ｄ上有连续的偏导数，且Ｄ关于戈，Ｙ轴对

称，贝！Ｊ伙埘）捌ｙ＝４瞅埘）捌ｙ，其中Ｄ＋＝

｛（戈，Ｙ）∈ＤＩ戈，Ｙ＞０｝。

参

考

文

献

１华东师范大学数学系．数学分析（上册）．北京：高等教育出版社，

２００１：２２０－－２２９

２钱吉林．数学分析题解精粹．武汉：崇文书局，２００３：２９２＿２９３３华东师范大学数学系．数学分析（下册）．北京：高等教育出版社，

２００１：２１８—＿２２３

４孙钦福．二重积分的对称性定理及其应用．曲阜师范大学学报，

２００８；２９：９—１０

５

葛广俊．怎样计算二重积分．安徽电子信息职业技术学院学报，２００３；６（２）：５７－－５９

６

张仁华．二重积分计算中的若干技巧．湖南冶金职业技术学院学报，２００８；８（２）：１０２—１０４

７

温田丁．考研数学中二重积分的计算技巧．高等数学研究，２００８；

１

１（２）：６３山５

８

同济大学应用数学系．数学分析同步辅导（上册）．北京：航空工业出版社，２００５：２１６＿２３２

９

郑兆顺．谈二重积分的计算．河南教育学院学报，２００７；１６（２）：

６９—＿７０

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

薛春荣，等：对称性在定积分及二重积分计算中的应用

１７５

ＴｈｅＳｙｍｍｅｔｒｙｆｏｒ

ＤｅｆｉｎｉｔｉｎｇＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎａｎｄ

ＸＵＥ

（Ｗｅｉｎａｎ

ａ山Ｃ

ｌａｔｉｎｇ

ｅ

昀ｍＵｄ

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Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

Ｃｈｕｎ—ｒｏｎｇ，ＷＡＮＧ

Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｗｅｉｎａｎ

Ｆａｎｇ

Ｔｅａｃｈｅｒｓ

７１４０００，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）

［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｅ

●１‘

１

ｓｙｍｍｅｔｒｙｉｎｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｇｒａｌｃｏｍｐｕｔｉｎｇｂｙｔｈｅ

●

ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ

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ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅ

ｔｉｍｅ．ｓｏｍｅｒｅｌｅｖａｎｔｔｈｅｏｒｅｍｓｂｙｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙｔｈｅｏｒｙｏｉｃａｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｎｇ

ａｒｅ

１…‘

●

Ｉｎｔｅ—

ｇｒａｔｉｏｎ

ａｎｄｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

ｔｈｅ

ｐｒｏｖｅｄ．Ｉｔｆｕｌｌｙｒｅｆｌｅｃｔｓｔｈｅｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ

ｏｎ

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ｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌ

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ａｔｉｏｎ，ａｎｄｓｉｍｐｌｉｆｙａｎｄ

ｐｕｒｐｏｓｅｏｆｃｏｍｐｕｔｉｎｇｐｏｉｎｔｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｔｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｓｔｕｄｙｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙ

ｉｎｔｅｇｒａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．

［Ｋｅｙｗｏｒｄｓ］

ｓｙｍｍｅｔｒｙｄｅｆｉｎｉｔｉｎｇｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

ｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；＞＞、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；＞＼≥；＞＞、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；＞＼≥；＞＞、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯、≥；≯

（上接第１６８页）

Ｏ

Ｏ

１．２

ｈ：Ｍ斗Ｃ（Ⅳ）是Ｍ的特殊ＳＧ—Ｃｏｔｏｒｓｉｏｎ预包络。

参

考

文

献

Ｎｏｔｅｓｉｎ

上

Ｎ

＝

上

Ｎ

上仪

Ｏ

上盯Ⅳ

１

ＸｕＪ．Ｆｌａｔ

ｃｏｖｅｒ

ｏｆｍｏｄｕｌｅｓ．Ｌｅｃｔｕｒｅ

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１６３４，

Ｓｐｒｉｎｇ—Ｖｅｒｌａｇ，１９９６

Ｍ—｝Ｃ（Ｍ）—｝乙Ｍ兰｝Ｃ（Ｍ）斗乙

２

ＢｉｃａｎＬ，ＢａｓｈｉｅｒＥ，ＥｎｏｃｈｓＥＬｏｎｄｏｎ

Ｅ．Ａｌｌｍｏｄｕｌｅｓｈａｖｅｆｌａｔｃｏｖｅｒｓ．Ｂｕｌｌ

Ｍａｔｈ，２００１；３３：３８５＿３９０

ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ，ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ，ａｎｄ

ｆｌａｔ

Ｏ斗日斗Ｋ斗乙—幻

上

Ｏ

３

ＢｅｎｎｉｓＤ，ＭａｈｄｏｕＮ．Ｓｔｒｏｎｇｌｙｇｏｍｓｔｅｉｎ

ｍｏｄｕｌｅｓ．ＪＰｕｒｅＡｐｐｌＡｌｇｅｂｒａ，２００７；２１０：４３７—１４４５

因为日和Ｋ是

ＳＧ一平坦的，由蹶尺）关于单

ＳＧ．Ｃｏｔｏｒｓｉｏｎ

丫４ＥｎｏｃｈｓＥ

Ｅ，Ｊｅｎｄａ０ＭＧ．Ｒｅｌａｔｉｖｅｈｏｍｏｌｏｇｉｃａｌａｌｇｅｂｒａ．Ｗａｌｌｅｒｄｅ

Ｇｍｙｔｅｒ，Ｂｅｄｉｎ，２００２

同态的余核封闭，所以乙也是ＳＧ一平坦的。由引理

Ｍｏｄｕｌｅ

ＸＩＮＧＪｉａｎ—ｍｉｎ，ＺＨＡＯＰｉ—ｑｉｎｇ

（Ｃｏｌｌｅｇｅ

ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｎｄＰｈｙｓｉｃｓｏｆ

ＱｉｎｇｄａｏＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ

２６６０６

１，Ｐ．Ｒ，Ｃｈｉｎａ）

［Ａｂｓｔｒａｃｔ］ＴｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳＧ－－ＣｏｔｏｒｓｉｏｎｍｏｄｕｌｅｉｓｇｉｖｅｎａｎｄｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＳＧ－－Ｃｏｔｏｒｓｉｏｎｍｏｄｕｌｅｓ

ａｒｅ

ｄｉｓｃｕｓｓｅｄｂｙｈｏｍｏｌｏｇｉｃａｌｍｅｔｈｏｄ．ＴｈｅｐｕｒｐｏｓｉｔｉｓｆｉｎｄｉｎｇｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆＳＧ—Ｃｏｔｏｒｓｉｏｎａｎｄｐｒｅｅｎｖｌｏｐｅ．Ａｔｌａｓｔ，ｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｗｈｉｃｈ

ａ

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ＳＧ—Ｃｏｔｏｒｓｉｏｎｍｏｄｕｌｅ

ｐｒｅｅｎｖｅｌｏｐｅ

［Ｋｅｙｗｏｒｄｓ］

万方数据

ｓｔｒｏｎｇｌｙｃｏｍｐｌｅｔｅｆｌａｔｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：

薛春荣， 王芳

渭南师范学院效学系,渭南,714000科学技术与工程

SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING2010，10(1)0次

参考文献(9条)

1.华东师范大学数学系.数学分析(上册).北京:高等教育出版社,2001:220-2292.钱吉林.数学分析题解精粹.武汉:崇文书局,2003:292-293

3.华东师范大学数学系.数学分析(下册).北京:高等教育出版社,2001:218-2234.孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008;29:9-105.葛广俊.怎样计算二重积分.安徽电子信息职业技术学院学报,2003;6(2):57-596.张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008;8(2):102-1047.温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究,2008;11(2):63-65

8.同济大学应用数学系.数学分析同步辅导(上册).北京:航空工业出版社,2005:216-2329.郑兆顺.谈二重积分的计算.河南教育学院学报,2007;16(2):69-70

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