最新-中考数学二模试卷（含解析）苏科版 精品

2018年江苏省徐州市第36中学中考数学二模试卷

一、选择题：（本大题共8题，每题3分，满分24分） 1．（3分）（2018?松江区模拟）下列运算正确的是（ ） 22325369222 A． 2x﹣x=2 B． （x）=x C． x?x=x D． （x+y）=x+y 考点： 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题： 计算题． 分析： 根据合并同类项对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B进行判断；根据同底数幂的乘法对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断． 222解答： 解：A、2x﹣x=x，所以A选项错误； 326B、（x）=x，所以B选项错误； 369C、x?x=x，所以C选项正确； 222D、（x+y）=x+2xy+y，所以D选项错误． 故选C． 222点评： 本题考查了完全平方公式：（a±b）=a±2ab+b．也考查了合并同类项、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方． 2．（3分）（2018?松江区模拟）六个数6、2、3、3、5、10的中位数为（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考点： 中位数． 分析： 根据中位数的意义，将这组数据从小到大重新排列后，求出最中间两个数的平均数即可． 解答： 解：把6、2、3、3、5、10从小到大排列为：2、3、3、5、6、10， 最中间两个数的平均数是：（3+5）÷2=4， 则这组数据的中位数为4， 故选：B． 点评： 此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 3．（3分）（2018?包头）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sinA的值是（ ） A． B． C． D． 考点： 特殊角的三角函数值；含30度角的直角三角形． 专题： 计算题． 分析： 在RT△ABC中，根据AB=2AC，可得出∠B=30°，∠A=60°，从而可得出sinA的值． 解答： 解： ∵∠C=90°，AB=2AC， ∴∠B=30°，∠A=60°， 故可得sinA=． 故选C． 点评： 此题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边一半，属于基础题，这是需要我们熟练记忆的内容．

4．（3分）已知⊙O的直径为8，直线l上有一点M，满足OM=4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A． 相交 B． 相离或相交 C． 相离或相切 D． 相交或相切 考点： 直线与圆的位置关系． 分析： 根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交?d＜r；②直线l和⊙O相切?d=r；③直线l和⊙O相离?d＞r．分OM垂直于直线l，OM不垂直直线l两种情况讨论． 解答： 解：∵⊙O的直径为8， ∴半径为4， ∵OM=4， 当OM垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=4=r，⊙O与l相切； 当OM不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜4=r，⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 故选D． 点评： 本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 5．（3分）（2005?扬州）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ） A． 测量对角线是否相互平分 B． 测量两组对边是否分别相等 C． 测量一组对角是否都为直角 D． 测量其中四边形的三个角都为直角 考点： 矩形的判定． 专题： 方案型． 分析： 根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 解答： 解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形； B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形； C、一组对角是否都为直角，不能判定形状； D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形． 故选D． 点评： 本题考查的是矩形的判定定理，难度简单． 6．（3分）（2018?松江区模拟）不等式组

的解集是（ ）

D． x＞6 A． x＞3 B． x＜6 C． 3＜x＜6 考点： 解一元一次不等式组． 专题： 计算题． 分析： 先求出第一个不等式的解集，再求其公共解． 解答： 解：， 由①得，x＜6， 所以，不等式组的解集是3＜x＜6． 故选C． 点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 7．（3分）如图，⊙O1、⊙O2内切于点A，其半径分别是6和3，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆外切时，则点O2移动的长度是（ ）

A． 3 B． 6 C． 12 D． 6或12 考点： 圆与圆的位置关系；平移的性质． 分析： 由题意可知点O2可能向右移，此时移动的距离为⊙O2的直径长；如果向左移，则此时移动的距离为⊙O1的直径长． 解答： 解：∵⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是6和3， 如果向右移：则点O2移动的长度是3×2=6， 如果向左移：则点O2移动的长度是6×2=12． ∴点O2移动的长度6或12． 故选：D． 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．注意此题需要分类讨论，小心不要漏解． 8．（3分）如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ）

A． 4 B． 8 C． D． 16 考点： 一次函数综合题． 专题： 计算题． 分析： 根据题意画出相应的图形，由平移的性质得到△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y=2x﹣6上，根据C坐标得出CA的长，即为FD的长，将C纵坐标代入直线y=2x﹣6中求出x的值，确定出OD的长，由OD﹣OA求出AD，即为CF的长，平行四边形BCFE的面积由底CF，高FD，利用面积公式求出即可． 解答： 解：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y=2x﹣6上， ∵C（1，4）， ∴FD=CA=4， 将y=4代入y=2x﹣6中得：x=5，即OD=5， ∵A（1，0），即OA=1， ∴AD=CF=OD﹣OA=5﹣1=4， 则线段BC扫过的面积S=S平行四边形BCFE=CF?FD=16． 故选D．

点评： 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平移的性质，以及平行四边形面积求法，做出相应的图形是解本题的关键． 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 9．（3分）计算：|

|+

=

+

．

考点： 二次根式的加减法． 分析： 首先进行绝对值的化简，然后合并即可． 解答： 解：原式=+． 故答案为：+． 点评： 本题考查了二次根式的加减，解答本题的关键是掌握绝对值的化简，比较简单． 3

10．（3分）（2018?铁岭）因式分解：a﹣4a= a（a+2）（a﹣2） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 分析： 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式进行二次分解因式． 3解答： 解：a﹣4a， 2=a（a﹣4）， =a（a+2）（a﹣2）． 点评： 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止． 22

11．（3分）（2018?徐州）若a+2a=1，则2a+4a﹣1= 1 ． 考点： 因式分解的应用；代数式求值． 22分析： 先计算2（a+2a）的值，再计算2a+4a+1． 2解答： 解：∵a+2a=1， 22∴2a+4a+1=2（a+2a）﹣1=1． 点评： 主要考查了分解因式的实际运用，利用整体代入求解是解题的关键． 2

12．（3分）（2018?北京）若关于x的一元二次方程x+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ． 考点： 根的判别式． 22分析： 若关于x的一元二次方程x+2x﹣k=0没有实数根，则△=b﹣4ac＜0，列出关于k的不等式，求得k的取值范围即可． 2解答： 解：∵关于x的一元二次方程x+2x﹣k=0没有实数根， 2∴△=b﹣4ac＜0， 2即2﹣4×1×（﹣k）＜0， 解这个不等式得：k＜﹣1． 点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根． 13．（3分）（2018?沛县一模）已知反比例函数的图象经过点（m，3）和（﹣3，2），则m的值为 ﹣2 ． 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 应用题． 分析： 根据反比例函数图象上的点的特征，横坐标与纵坐标的积等于k的值，列式计算即可得解． 解答： 解：∵反比例函数的图象经过点（m，3）和（﹣3，2）， ∴k=3m=（﹣3）×2， 解得m=﹣2． 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，根据反比例函数解析式的变形，k=xy确定出横坐标与纵坐标的积等于k的值是解题的关键． 2

14．（3分）（2018?松江区模拟）已知二次函数y=3x的图象不动，把x轴向上平移2个单位长度，那么在新

2

的坐标系下此抛物线的解析式是 y=3x﹣2 ． 考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 此题相当于坐标系不动，将图象向下平移两个单位，进而得出答案． 22解答： 解：将y=3x的图象向下平移2个单位得：y=3x﹣2． 2故答案为：y=3x﹣2． 点评： 此题考查了二次函数图象与坐标变化，可将坐标移动转化为图象向相反的方向运动来解答． 2

15．（3分）（2018?邗江区一模）已知圆锥的底面半径为3cm，侧面积为15πcm，则这个圆锥的高为 4 cm． 考点： 圆锥的计算． 专题： 计算题． 分析： 先求出圆锥的底面圆的周长=2π?3=6π，则展开后扇形的弧长为6π，根据扇形的面积公式得到?6π?AB=15π，求出AB=5，然后在Rt△OAB中利用勾股定理即可计算出AO的长． 解答： 解：如图， ∵OB=3cm， ∴圆锥的底面圆的周长=2π?3=6π， 2∵圆锥的侧面积为15πcm， ∴?6π?AB=15π， ∴AB=5， 在Rt△OAB中，OA=故答案为4． ==4（cm）． 点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长．也考查了弧长公式、扇形的面积公式以及勾股定理． 16．（3分）（2018?苏州）某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校男生、女生以及教师的总人数为1200人，则根据图中信息，可知该校教师共有 118 人．

考点： 扇形统计图． 分析： 首先求得教师所占百分比，乘以总人数即可求解． 解答： 解：教师所占的百分比是：1﹣46%﹣45%=9%， 则教师的人数是：1200×9%=118． 故答案是：118． 点评： 本题主要考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 17．（3分）（2018?松江区模拟）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在AC边上，DE⊥AB，垂足为E，AD=2DC，则S△ADE：S四边形DCBE的值为

．

考点： 等腰直角三角形． 专题： 计算题． 分析： 由题意画出图形，根据三角形ABC为等腰直角三角形，DE垂直于AB，得到一对直角相等，再由一对公共角相等，得到三角形AED与三角形ACB相似，设AD=2，得到CD=1，AC=3，利用勾股定理求出AB，AD：AB为相似比，三角形AED与三角形ACB面积之比为相似比的平方，求出面积比，变形即可求出三角形ADE与四边形DCBE的比值． 解答： 解：根据题意画出图形，如图所示， ∵△ABC为等腰直角三角形，DE⊥AB， ∴∠C=∠AED=90°，AC=BC， 由AD=2DC，设AD=2，DC=1，则AC=3， 根据勾股定理得：AB=3， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB， ∴=， ∴S△ADE：S△ABC=4：18=2：9， 则S△ADE：S四边形DCBE的值为． 故答案为： 点评： 此题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 18．（3分）（2018?德州）长为1，宽为a的矩形纸片（

），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩

形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为

或 ．

考点： 一元一次方程的应用． 专题： 压轴题；操作型． 分析： 根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1﹣a，a．由1﹣a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1﹣a，剩下的矩形相邻的两边分别为1﹣a，a﹣（1﹣a）=2a﹣1．由于（1﹣a）﹣（2a﹣1）=2﹣3a，所以（1﹣a）与（2a﹣1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值． 解答： 解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1．此时，分两种情况： ①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1． ∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形， ∴矩形的宽等于1﹣a， 即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=； ②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a． 则1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=． 故答案为或． 点评： 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．分别求出操作后剩下的矩形的两边． 三、解答题：（本大题共7题，满分20分） 19．（10分）计算： （1） （2）

．

考点： 分式的混合运算；实数的运算；零指数幂． 分析： （1）分别根据0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可． 解答： 解：（1）原式=1+3﹣2 =2；（2）原式=（x+1）÷=（x+1）×=． 点评： 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

20．（10分）（1）解方程：（2）解方程组：

．

；

考点： 解分式方程；解二元一次方程组． 专题： 计算题． 分析： （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程组两方程变形后相加消去y求出x的值，进而求出y的值，即可得到方程组的解． 解答： 解：（1）去分母得：1=x﹣1﹣3x+6， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，原分式方程无解； （2）， ①×2+②×3得：11x=22，即x=2， 将x=2代入①得：2+3y=﹣1，即y=﹣1， 则方程组的解为． 点评： 此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 21．（2018?无锡一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC． （1）求证：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE．

考点： 梯形；全等三角形的判定与性质． 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）根据平行线的性质可以得到∠DAC=∠BCE，再根据已知就可以证明△BCE≌△CAD，然后根据其对应边相等就可以得到； （2）首先根据勾股定理的AC的长，再根据（1）的结论就可以求出AE． 解答： （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC， ∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC， ∴△BCE≌△CAD． ∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5， ∵△BCE≌△CAD， ∴CE=AD=3． ∴AE=AC﹣CE=2． 点评： 此题把全等三角形放在梯形中，利用梯形的性质证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质和勾股定理解题． 22．（2018?宿迁）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 9 环，乙的平均成绩是 9 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； （3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． （计算方差的公式：s=[

2

]）

考点： 方差；算术平均数． 分析： （1）根据图表得出甲、乙每次数据得出数据综合，再求出平均数即可； （2）根据平均数，以及方差公式求出甲乙的方差即可； （3）根据实际从稳定性分析得出即可． 解答： 解：（1）甲：（10+8+9+8+10+9）÷6=9， 2乙：（10+7+10+10+9+8）÷6=9；（2）s甲==s乙==2 =； =；（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． 点评： 此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键． 23．（2018?无锡）在1，2，3，4，5这五个数中，先任意选出一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数b，组成一个点（a，b），求组成的点

（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 考点： 列表法与树状图法． 分析： 首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与组成的点（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 解答： 解：列表得： 1 2 3 4 5 1 ﹣ （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） ﹣ （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） ﹣ （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） ﹣ （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ﹣ ∵组成的点（a，b）共有20个，其中横坐标为偶数、纵坐标为奇数的点有6个，…6分 ∴组成的点横坐标为偶数、纵坐标为奇数的概率为．…8分 点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 24．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：

）

考点： 解直角三角形的应用． 分析： 作CD⊥AE于点D，在直角△ACD中利用三角函数即可求得CD的长，再加上AD的长度即可求解． 解答： 解：作CD⊥AE于点D． 在直角△ACD中，AC=AB+BC=50+30=80cm． sin∠CAD=， =40≈69.2（cm）． ∴CD=AC?sin∠CAD=80×则拉杆把手处C到地面的距离是：69.2+8=77.2≈77cm． 点评： 此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 25．（2018?达州）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=

（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于

点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 压轴题；数形结合；待定系数法． 分析： 根据A的坐标为（﹣2，4），先求出k′=﹣8，再根据反比例函数求出B点坐标，从而利用待定系数法求一次函数的解析式为y=x+6，求出直线与x轴的交点坐标后，即可求出S△AOC=CO?yA=×6×4=12． 解答： 解：（1）∵点A（﹣2，4）在反比例函数图象上 ∴4= ∴k′=﹣8，（1分） ∴反比例函数解析式为y= ；（2分）（2）∵B点的横坐标为﹣4，

∴y=﹣， ∴y=2， ∴B（﹣4，2）（3分） ∵点A（﹣2，4）、点B（﹣4，2）在直线y=kx+b上 ∴4=﹣2k+b 2=﹣4k+b 解得k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6（4分） 与x轴的交点坐标C（﹣6，0） ∴S△AOC=CO?yA=×6×4=12．（6分） 点评： 主要考查了用待定系数法求函数解析式和反比例函数中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 26．（2018?松江区模拟）某公司销售一种商品，这种商品一天的销量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70． （1）根据图象，求y与x之间的函数解析式；

（2）设该销售公司一天销售这种商品的收入为w元． ①试用含x的代数式表示w；

②如果该商品的成本价为每件30元，试问当售价定为每件多少元时，该销售公司一天销售该商品的盈利为1万元？（收入=销量×售价）

考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用． 专题： 应用题． 分析： （1）找出图象上两点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）①根据收入=销量×售价即可列出代数式； ②根据盈利=收入﹣成本列出函数解析式求最大值即可． 解答： 解：（1）设函数解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵函数图象过点（50，350），（60，300）， ∴解得， ， 2∴y=﹣5x+600；（2）①由题意得：w=（﹣5x+600）?x=﹣5x+600x； 2②由题意得：盈利=收入﹣成本=（﹣5x+600x）﹣（﹣5x+600）?30=10000， 2化简得：x﹣150x+5600=0， 解得：x1=70，x2=80（舍去）． 答：当售价定为每件70元时，该销售公司一天销售该商品的盈利为1万元．

点评： 本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是掌握用待定系数法求解析式，并根据题意列出函数关系式，难度一般． 27．（2018?哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

考点： 一次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）已知A点的坐标，就可以求出OA的长，根据OA=OC，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式． （2）点P的位置应分P在AB和BC上，两种情况进行讨论．当P在AB上时，△PMB的底边PB可以用时间t表示出来，高是MH的长，因而面积就可以表示出来． （3）本题可以分两种情况进行讨论，当P点在AB边上运动时：设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，证明△AQP∽△CQO，根据相似三角形的对应边的比相等，以及勾股定理可以求出AQ，QC的长，在直角△OHB中，根据勾股定理，可以得到tan∠OQC． 当P点在BC边上运动时，可证△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出OK，KQ就可以求出． 解答： 解：（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1） ∵A（﹣3，4）， ∴AE=4 OE=3， ∴OA==5， ∵四边形ABCO为菱形， ∴OC=CB=BA=0A=5， ∴C（5，0）（1分） 设直线AC的解析式为：y=kx+b， ∵， ∴， ∴直线AC的解析式为y=﹣x+．（1分）（2）由（1）得M点坐标为（0，）， ∴OM=， 如图（1），当P点在AB边上运动时

由题意得OH=4， ∴HM=OH﹣OM=4﹣=， ∴s=BP?MH=（5﹣2t）?， ∴s=﹣t+（0≤t＜），2分 当P点在BC边上运动时，记为P1， ∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM， ∴△OMC≌△BMC， ∴OM=BM=，∠MOC=∠MBC=90°， ∴S=P1B?BM=（2t﹣5）， ∴S=t﹣（＜t≤5），2分（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K， ∵∠AOC=∠ABC， ∴∠AOM=∠ABM， ∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°， ∴∠MPB=∠AOH， ∴∠MPB=∠MBH． 当P点在AB边上运动时，如图（2） ∵∠MPB=∠MBH， ∴PM=BM， ∵MH⊥PB， ∴PH=HB=2， ∴PA=AH﹣PH=1， ∴t=，（1分） ∵AB∥OC， ∴∠PAQ=∠OCQ， ∵∠AQP=∠CQO， ∴△AQP∽△CQO， ∴==， =， ==2， =4， 在Rt△AEC中，AC=∴AQ=，QC=在Rt△OHB中，OB=∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK， ∴OK=，AK=KC=2， ∴QK=AK﹣AQ=∴tan∠OQC=， =，（1分） 当P点在BC边上运动时，如图（3）， ∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH， ∴tan∠MPB=tan∠MBH， ∴=，即， =， ∴BP=

∴t=，（1分） ． ∴PC=BC﹣BP=5﹣由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA， ∴∴=， =， ， ， ．（1分） CQ=AC=∴QK=KC﹣CQ=∵OK=， ∴tan∠OQK=综上所述，当t=时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为． 当t=时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1． 点评： 本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，求三角函数值的问题可以转化为求直角三角形的边的比的问题．

28．如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B，过点B作BC⊥y轴，

2

BC与函数y=ax+bx+c的图象交于点C（2，4）．

2

（1）设函数y=ax+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D，求△BDA的面积．

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PA、PC，分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q，连接PQ．试探究：

222

①是否存在点P，使得PQ=PA+PC？请说明理由．

②是否存在点P，使得PQ取得最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）求出点B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答，然后令y=0，解关于x的一元二次方程求出点D的坐标，再求出AD的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）①先判断出四边形AQCP是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得PC=AQ，然后根据勾股定理逆定理判断出∠PAQ=90°，再求出∠APC=90°，然后求出△AOP和△PBC相似，设OP=x，表示出BP，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理，再利用根的判别式解答； ②连接AC，与PQ相交于点E，先求出点E的坐标，再根据平行四边形的对角线互相平分可得PE=EQ，再根据垂线段最短可知PQ⊥y轴时PQ的值最小，然后写出点P的坐标即可． 解答： 解：（1）∵BC⊥y轴，点C（2，4）， ∴点B的坐标为（0，4）， 又∵抛物线还经过点A（5，0），C（2，4）， ∴，

解得， 所以，抛物线的解析式为y=﹣令y=0，则﹣2x+2x+4， x+2x+4=0， 整理得，x﹣2x﹣15=0， 解得x1=﹣3，x2=5， 所以，点D的坐标为（﹣3，0）， ∴AD=5﹣（﹣3）=5+3=8， △BDA的面积=AD?OB=×8×4=16；（2）①∵PC∥AQ，CQ∥PA， ∴四边形AQCP是平行四边形， ∴PC=AQ， 222∵PQ=PA+PC， 222∴PQ=PA+AQ， ∴∠PAQ=90°， ∴∠APC=180°﹣∠PAQ=180°﹣90°=90°，

又∵∠PBC=∠AOP=90°， ∴∠APO+∠PAO=90°，∠APO+∠BPC=90°， ∴∠PAO=∠BPC， ∴△AOP∽△PBC， ∴=， 设OP=x，表示出BP=4﹣x， ∴=， 2整理得，x﹣4x+10=0， 22∵△=b﹣4ac=（﹣4）﹣4×1×10=﹣24＜0， ∴该方程没有实数根， 222∴不否存在点P，使得PQ=PA+PC；②如图，连接AC，与PQ相交于点E， ∵A（5，0），C（2，4）， ∴点E的坐标为（，2）， ∵四边形AQCP是平行四边形， ∴PE=EQ， 由垂线段最短可知PQ⊥y轴时PE最小， ∴PQ的值最小， 此时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，为2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故存在点P（0，2），使得PQ取得最小值． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根的判别式的利用，垂线段最短，（2）②确定出PQ与y轴垂直时取值最小是解题的关键． 精品推荐 强力推荐 值得拥有

又∵∠PBC=∠AOP=90°， ∴∠APO+∠PAO=90°，∠APO+∠BPC=90°， ∴∠PAO=∠BPC， ∴△AOP∽△PBC， ∴=， 设OP=x，表示出BP=4﹣x， ∴=， 2整理得，x﹣4x+10=0， 22∵△=b﹣4ac=（﹣4）﹣4×1×10=﹣24＜0， ∴该方程没有实数根， 222∴不否存在点P，使得PQ=PA+PC；②如图，连接AC，与PQ相交于点E， ∵A（5，0），C（2，4）， ∴点E的坐标为（，2）， ∵四边形AQCP是平行四边形， ∴PE=EQ， 由垂线段最短可知PQ⊥y轴时PE最小， ∴PQ的值最小， 此时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，为2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故存在点P（0，2），使得PQ取得最小值． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根的判别式的利用，垂线段最短，（2）②确定出PQ与y轴垂直时取值最小是解题的关键． 精品推荐 强力推荐 值得拥有

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