常微分方程证明题及答案

《常微分方程》证明题及答案 54

证 明 题（每题10分）

1、设函数f (t)在[0,??)上连续且有界，试证明方程

dx?x?f(t)的所有解均在[?,??)上dtx有界.

证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0?[0+?)

由一阶线性方程的求解公式有

y(x)?y0e?(x?x0)??f(s)e(s?x)ds

x0现只证x(t)在[t0,+?)有界，设|f(t)|?M ,t?[0+?) 于是对t0?t<+?有

x?M(x?x0)M(s?t)|f(s)|eds 0x|y|?|y|e??0 ?|x0|+Me

-t

?eds

t0(t?t)ts ?|x0|+M[1?e0]

?|x0|+M 即证

2、设函数f (x),p(x)在[0,??）上连续，且limp(x)?a?0且x???|f(x)|?b(a,b,为

3、设函数f (x)在[0,??）上连续，且limf(x)?b又a>0

x???4、设函数y (x)在[0,??)上连续且可微，且lim[y'(x)?y(x)]?0试证limy(x)?0

x???x???5、若y1(x),y2(x)为微分方程y???p1(x)y?(x)?p2(x)?0的两个解，则它们的朗斯基

行列式为w(y1,y2)???ke???p1(x)dx?其中k为由y1(x),y2(x)确定的常数

6、求微分方程(x??)(y?)??xyy'?x的通解 7、解方程xdx??(x?y)dx?(x?y)dy?0 22x?y??8、解方程(x??)(y?)??xyy'?x 9、解方程xdx?(x?y)dx?(x?y)dy?0

x2?y22310、解方程yy???(y?)?(y?)?0

11、已知f(x)是连续函数。

?y'?ay?f(x)（1）求初值问题?的解y(x)，其中a是正常数。

y|?0?x?0k?ax（2）若|f(x)|?k（k为常数），证明当x?0时有|y(x)|?(1?e)。

ax1?f(x)?f(x)?f?t?dt?0??012、已知当x??1时f(x)具有一阶连续导数，且满足? x?1??f(0)?1 《常微分方程》证明题及答案 55

（1）求f'(x)；

（2）证明：当x?0时有e?f(x)?1。

13、设y1(x),y2(x)是方程y'?p(x)y?q(x)的两个不同的解，求证它的任何一个解满足恒

等式：

?xy(x)?y1(x)?K （K为常数）

y2(x)?y1(x)

14、当???x??时，f(x)连续且|f(x)|?M。证明：方程

y'?y?f(x) （1）

在区间???x??上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数f(x)是以?为周

期的周期函数，则这个解也是以?为周期的周期函数。

15、设函数f(u),g(u)连续可微，且f(u)?g(u)，试证方程孙yf(xy)dx?xg(xy)dy?0

?)g(xy))有积分因子 ??[xy(f(xy ]

16、证明方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0具有形如???[?(x,y)]的积分因子的充要条件为

??M?N????????N?M?????f[?(x,y)]，并求出这个积分因子。 ?x???x?y???y

17、证明贝尔曼（Bellman）不等式。设k为非负常数，f(t)和g(t)是区间??t??上的

非负连续函数，且满足不等式 f(t)?k?则有 f(t)?kexp?1?1??ttf(s)g(s)d,s??t??

???g(s)ds， ??t??。

?

18、设在方程y\?p(x)y'?q(x)y?0中，p(x)在某区间I上连续且恒不为零，试证：它

的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I上的严格单调函数。

??a1(t)x??a2(t)x?0 的解，这里a1(t)和x19、假设x1(t)?0是二阶齐次线性方程 ?a2(t)是区间[a,b]上的连续函数。试证：x2(t)为方程的解的以要条件是

?[x,x]?aW[x,x]?0。其中W[x,x]表示x(t),x(t)的朗斯基行列式。 W121121212

20、在方程y\?3y'?2y?f(x)中，f(x)在[a,??)上连续，且limf(x)?0。试证明：

x???已知方程的任一解y(x)均有limy(x)?0。

x???21、设f(x)为连续函数，且满足f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt。求证：

1xf(x)?sinx?cosx.

22 《常微分方程》证明题及答案 56

22、设X(t)是常系数线性方程组

dx(t)?Ax(t)的基解矩阵，适合条件X(0)?E，试证对dt任何t,s成立等式 X(t?s)?X(t)X(s).

23、设X(t)是连续的n阶方阵，X(0)存在，且适合关系X(t?s)?X(t)X(s)，|X(0)|?0.

试证：存在n阶常值方阵A，使得

dX(t)?AX(t)。 dt证明题附加题

1，设方程y\?p(x)y'?q(x)y?0中的p(x)和q(x)在[a,b]上连续，且q(x)?0，试证：

对方程任一非零解y?y(x)，函数f(x)?e?x0p(s)dsxy(x)y'(x)为单调递增的。

x0?[a,b]。

2，设函数f(x),p(x)在[0,??)上连续，且limp(x)?a?0，且|f(x)|?b（a,b为常数），

x???dy?p(x)y?f(x)的解在[0,??)上有界。 dx3，若y1(x),y2(x)为微分方程y\?p1(x)y'(x)?p2(x)?0的两个解，则它们的朗斯基行列

试证：方程

?p1(x)dx式为W(y1,y2)?ke?，其中k由y1(x),y2(x)确定的常数。

4，已知方程 (p(x)u')'?q(x)u?0 （1）

其中p'(x),q(x)是[a,b]上的连续函数，p(x)?0，若u(x),v(x)为（1）的两个解，则

p(x)[u(x)v'(x)?u'(x)v(x)]恒等于常数。

5。设f(x)是二次可微函数，且f\x)?f'(x)?f(x)?0，证明：若f(x)在某不同两点

处的函数值为0，则f(x)在该两点之间恒为零。

x6，设y?e是微分方程xy'?p(x)y?x的一个解，证明此方程满足条件 yx?ln2?0 的特

解为y?e?e。

7，设f(x)具有连续二阶导数，f(0)?f'(0)?0，且曲成积分

xx?e?1?12?

L(ex?sinx)ydx?(f'(x)?f(x))dy

12xx与路径无关，证明：f(x)??e?xe?11cosx?sinx。 22 《常微分方程》证明题及答案 57

1、证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0?[0+?)

由一阶线性方程的求解公式有

证 明 题 答 案

?(x?x0)xx0y(x)?y0e??f(s)e(s?x)ds

现只证x(t)在[t0,+?)有界，设|f(t)|?M ,t?[0+?) 于是对t0?t<+?有

x?M(x?x0)M(s?t)|f(s)|eds 0x|y|?|y|e??0 ?|x0|+Me

-t

?eds

t0(t?t)ts ?|x0|+M[1?e0]

?|x0|+M 即证

2、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件

y(x0)=y0,x0?[0,??)由一阶线性方程的求解公式有

y(x)?y0ex???(x?x0)??f(s)e(s?x)ds

x0x现只证y(x)在[x0,+?)有界，,t?[0+?), 不妨设x0充分大 于是对x0?x<+?有 limp(x)?a?0,则存在M1>0,使当x? x0时,有|p(x)|?M1

|y|?|y0|e ?|y0|+(e ?|y0|+

?M(x?x0)?Mx??|f(s)|eM(s?t)ds

x0x-e?Mx0)

b?M?xe M?b(1?e?M(x?x0)) M1 《常微分方程》证明题及答案 58

?|y0|+

bM 即证 13、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件

y(x0)=y0,x0?[0,??)由一阶线形方程的求解公式有

y?y?a(x?xxx)0e0)??f(sa(s?x)eds

0

y?y?x0)?e?ax?xas0e?a(xxf(s)eds

0 两边取极限

limy(x)?lim?a(x?x0)??axxasx???x???y0exlim???e?xf(s)eds

0xasax=======lim?xf(s)eds0x???=======

x)ee?axxlimf(???ae?ax?ba

4、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0?[0,??)

由一阶线性方程的求解公式有

y(x)?y?(x?xx(s?x)0e0)??xf(s)eds

0

?y(x?x)0e?0?e?x?xxf(s)esds

0两边取极限

xlim)?limy?(x?xxxx???y(xx???0e0)?xlim???e??xf(s)esds=0+xlimef(x)???ex?? 0

5、证明：由朗斯基行列式定义有

w(y21,y2)?y1yy'1y'?y1y'2?y'1y2

2?

dwdx?(y1y'2?y'1y2)1=y1y''2?y''1y2??p1(yy'2?y'1y)??p1(x)w?量法求解有w(y1y2)?k?p1(x)dx

显然k为由y1(x),y2(x)确定的常数

?M?6、解：因

?y?N?x?y??yN??xy??x

有关的积分因子 M(x)=e?x所以方程仅有与X2dx?x2

则：d(?x2exdx)?d(x3y2)?0故：(x2?2x?2)ex?x3y2?c

用分离变

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