江苏省连云港市2009-2010学年高二上学期期末考试数学理科试题

2009-2010学年度第一学期期末考试

高二数学试题（选物理）

（时间150分钟，满分200分）

审核：王斌

注意

1. 本试题满分200分，考试时间150分钟。

2. 答题前请将本试卷密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题。

一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共80分。不需要写出解答过程，请把正确答

案填写在该题相应的横线上。 1. 命题“?x?R，则x?3?2x”的否定是 。

2. 抛物线y2?4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为 。 3. 某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况茎叶图如右（单位：斤）则本周内甲、乙两种水果每天销售的平均数之和为 斤。 4. 若函数y?x3?ax在???,???内单调递增，则实数a的取值范围 是 .

2????5．已知a??3?,6,??6?,b????1,3,2??，若a//b，则

?? 。

6. 一个算法的流程图如上图所示，则输出的结果s为 。

7. 某调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如上图），则月收入在?2500,3500?（元）内大约有 人。

x2y2x2y238．椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，则双曲线2?2?1的离心率为 . abab29. 在长为10cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积

介于25cm2与49cm2之间的概率为 。

10. 有5条长度分别为3，4，5，8，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是 。 11. 曲线y?e2x?1在点?1,e?处的切线为l，则切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为 。

12. 命题“?x?R，使ax?2ax?3?0成立”是假命题，则实数a的取值范围为 。

学#科#网Z#X#X#K]2来源

13. 某人10次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9,11,10,9,y,x，已知 这组数据的平均数为10，方差为2，则|x?y|的值 为 。

14. 已知函数f?x?在区间?0,3?内的图象如图所示，记

则k1、k2、k3之 k1?f'?1?,k2?f'?2?,k3?f?2??f?1?，

间的大小关系为 。（请用“>”连接）

x2y215．设F1、F2是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲

ab线的一个交点为P，若PF1?2PF2，则双曲线的两条渐近线方程为 。 16. 设M是由满足下列两个条件的函数f?x?构成的集合：

（1）方程f?x??1?0有实数解；

（2）函数f?x?的导数f'?x?满足0?f'?x??2，给出如下函数： ①f?x??x?sinx； ②f?x??x?tanx,x???????,? 22??③f?x??x?log3x,x?[1,??) ④f?x??x?2。

x其中是集合M中的元素的有 。（只需填写函数的序号）

二、解答题：本大题共有8小题，满分120人。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本题满分14分）

从某校参加2009年全国高中数学联赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据。

（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ， ， 。

（2）补全在区间?70,140?上的频率分布直方图；

（3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？

分组 频数 频率

0.08

[70,80)

③

[80,90)

0.36

[90,100)

16 0.32

[100,110)

0.08

[110,120)

2 ②

[120,130)

0.02

?130,140?

合计 ①

来源学*科*网Z*X*X*K]来源学|科|网Z|X|X|K]

18. （本题满分14分）

来源:ZXXK]已知函数f?x??x2?bx?a2?a,b?R?

（1）若a??0,1,2,3?,b??0,1,2,3?，求方程f?x??0有实数根的概率；

（2）若a从区间?0,3?内任取一个数，b从区间?0,2?内任取一个数，求方程f?x??0有实数根的概率。

19. （本题满分14分）

来源:]2已知集合P?x|?x?1??16，Q?x|x??a?8?x?8a?0。

?2???（1）求a的一个值，使它成为P?Q??x|5?x?8?的一个充分不必要条件； （2）求a的取值范围，使它成为P?Q??x|5?x?8?的充要条件； （3）求P?Q。

20. （本题满分15分）

E在棱AB上。 如图，在长方体ABCD?A1BC11D1中，AD?AA1,AB?2，点

（1）证明：D1E?A1D；

（2）当E点为线段AB的中点时，求异面直线D1E与AC所成角的余弦值；

（3）试问E点在何处时，平面D1EC与平面AA1D1D所成二面角的平面角的余弦值为

6。 6

来源:Zxxk.Com]

21. （本题满分15分）

实验表明，某型号的汽车每小时的耗油量y（升）与速度x（千米/小时）的关系式为

?x3?xy?3?3??2?，已知甲乙两地相距180千米，最高时速为V千米/小时。

?9080?（1）当车速度x（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量为f?x?（升），求函数f?x?的解析式并指出函数的定义域；

（2）当车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少？

22. （本题满分16分）

已知抛物线C1:y2?4mx?m?0?的焦点为F2，其准线与x轴交于点F1,F2为焦1，以F点，离心率为

1的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P。 2（1）当m?1时，求椭圆的标准方程及其右准线的方程； （2）用m表示P点的坐标；

（3）是否存在实数m，使得?PF若存在，求出这样的实数m；1F2的边长是连续的自然数，

若不存在，请说明理由。

来源学§科§网

23. （本题满分16分）

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点,

|OP|??,求点

|OM|M的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。

24. （本题满分16分）

已知函数f?x???a???1?2?x?Inx?a?R? 2?（1）当a?0时，求函数f?x?的单调递增区间；

（2）若?x??1,3?，使f?x???x?1?Inx成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数f?x?的图象在区间?1,???内恒在直线y?2ax下方，求实数a的取值范围。

参考答案

一、填空题

1； 211e56．210； 7．4000； 8．； 9．； 10．； 11．；

524212．[0, 3]； 13．4； 14．k1?k3?k2； 15. y??2x； 16. ③

1． ?x?R,x2?3?2x； 2．2； 3．99； 4．a?0； 5．二、解答题

17．（本小题满分14分）

来源学科网解：（1）50；0.04；0.10． ………… 6分 （2）如图． ……………… 10分

来源:] （3）在随机抽取的50名同学中有7名 出线,450?7?63． ………… 13分 50答：在参加的450名中大概有63名同学出线．

………………… 14分

18．（本小题满分14分）解：（1）设方程x?bx?a?0有实根为事件A．

数对(a,b)共有(0,0),(0,1)?(2,3),(3,2),(3,3)计16对 -------------2分 若方程有实根，则有??b?4a?0．及b?2a - --------------4分 则满足题意的数对(a,b)只有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3) 计6对 ---------6分

X。X。K]2222来源学。科。网Z。63?． ------------------7分 16822（2）设方程x?bx?a?0有实根为事件B．

所以方程有实根的概率P(A)?D??(a,b)0?a?3,0?b?2?，所以SD?3?2?6． ------------------10分

方程有实根对应区域为d?(a,b)b?2a，Sd?所以方程有实根的概率P(B)???1?1?2?1． -------------------13分 2Sd1?． ------------------14分 SD619. （本小题满分14分）（1）由已知得P?{x|x??3,或x?5}，画数轴可知，当a?[?5, 3]，

Q?{x|?a?x?8}，满足P?Q?{x|5?x?8}，

. 当a取区间[?5, 3]内的任一个值如，a=3就是P?Q?{x|5?x?8}的一个充分不必

要条件；------------------6分

（2）当a取值范围是区间[?5, 3]时，就是P?Q?{x|5?x?8}的充要条件?-?10分 （3）①当a>3时，解为[?a,?3)?(5,8]

②当-5≤a≤3时，解为(5,8] ③当?8?a??5时，解为[?a,8]

④当a??8时，解为[8,?a] ?????14分 20．（本小题满分15分）

180x212?y?540(3??)，x? 解：（1）f(x)?（0,V].??6分 x9080x2x2x3?903（2）f?(x)?540(3?2)?1080? =0, 解得x?90。??8分

90x903x2（0,V]内为单调减函数，所以车速为V（千米若V?90，有f?(x)?0,则函数f(x)在区间

/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小；???11分

若V?90，当0?x?90时，f?(x)?0；当90?x?V时，f?(x)?0，所以，当x?90时，f(x)最小.????14分

综上：若V?90，车速为V（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小；若V?90，

车速为90（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小.???15分 21. （本小题满分15分）

解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系，设AE?x，则A,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0) 1(1（1）因为DA,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E. --------------4分 1,D1E?(1（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)， 所以cos?D1E,AC???1?23?5?15??? 9分 15（3）设平面D1EC的法向量n?(a,b,c)，∴CE?(1,x?2,0),D1C?(0,2,?1),

??n?D1C?0,?2b?c?0x 由? 令b?1,?c?2,a?2?，????a?b(x?2)?0.?n?CE?0,∴n?(2?x,1,2). ---------------12分 易知平面AA1D1D的法向量为n2?(0,1,0)

依题意cos??|n?n2||n|?|n2|?6?61(x?2)2?5?6. 6∴x1?3（不合，舍去），x2?1 ，即当E点为线段的中点时，符合题意--------15分 22．（本小题满分16分）

解∵c1：y2?4mx的右焦点F2?m,0? ∴椭圆的半焦距c?m，又e?1，∴椭圆的长半轴的2x2y2??1. ---------------4分 长a?2m，短半轴的长b?3m. 椭圆方程为

4m23m2x2y2??1-------5分(直接将m=1的值代入条件求对也给5（Ⅰ）当m?1时，故椭圆方程为43分)

右准线方程为：x?4. ---------------6分

?y2?4mx?226??2（Ⅱ）由?x2，解得：????10分 Pm,m??y??33?2?2?1???4m3m?226?（Ⅲ）假设存在满足条件的实数m， 由（Ⅱ）知P?m, m??3?3??7256∴PF2?m?m?m，PF1?4m?PF2?m，又F1F2?2m?m.

3333567即?PF1F2的边长分别是m、m、m . ---------------14分

333?6m5m7m6mm?3， ????1∴

3333故存在实数m使?PF1F2的边长是连续的自然数。---------------16分

23. （本小题满分16分）

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得

?a?c?1,解得a?4,c?3， ---------------2分 ?a?c?7?x2y2??1 ---------------4分 所以椭圆C的标准方程为

167（Ⅱ）设M(x,y)，其中x???4,4?。由已知

OPOM22??2及点P在椭圆C上可得

9x2?112??2。 2216(x?y)整理得(16??9)x?16?y?112，其中x???4,4?。---------------8分

2222（i）??

32时。化简得9y?112 4

所以点M的轨迹方程为y??47(?4?x?4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。

3---------------10分 （ii）??3时，方程变形为4x2y2??1，其中x???4,4? 11211216?2?916?2[来源:学.科.网当0???Z.X.X.K]

3时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?4?x?44的部分。---------------13分 当分；

当??1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆 ---------------16分

说明：没有考虑?4?x?4的至少要扣5分 24. （本小题满分16分）

解：显然函数f(x)的定义域为(0,??)??????1分

3???1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?4?x?4的部4121?x2?1（Ⅰ）当a?0时，f(x)??x?lnx，f?(x)??x??；?????2分

2xx 由f?(x)?0，结合定义域解得0?x?1????3分 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，.???????????4分 （Ⅱ）将f(x)?(x?1)lnx化简得(a?)x?xlnx，?x?[1,3]∴有a?12lnx1?

2x2lnx11?lnx/?，则g/(x)?令g(x)?，由g(x)?0解得x?e.????6分 2x2x//当1?x?e时，g(x)?0；当e?x?3时，g(x)?0

故g(x)max?g(e)?11? e211? e2∴?x?[1,3]，使f(x)?(x?1)lnx成立等价于a?g(x)max?g(e)?即a的取值范围为(??,11?)???????????8分 e212（Ⅲ）令g(x)?f(x)?2ax?(a?)x?2ax?lnx，则g(x)的定义域为（0，+∞）.

2?????????????????9分

在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方等价于

g(x)?0在区间（1，+∞）上恒成立.

1(2a?1)x2?2ax?1(x?1)[(2a?1)x?1]?∵g?(x)?(2a?1)x?2a??

xxx11，令g?(x)?0，得极值点x1?1，x2?，??????11分 22a?11当x2?x1?1，即?a?1时，在（x2，+∞)上有g?(x)?0，

2① 若a?此时g(x)在区间(x2，+∞)上是增函数，并且在该区间上有

g(x)∈(g(x2)，+∞)，不合题意；???????????????12分

当x2?x1?1，即a?1时，同理可知，g(x)在区间(1，+∞)上，有

g(x)∈(g(1)，+∞)，也不合题意；???????????????13分

② 若a?1，则有2a?1?0，此时在区间(1，+∞)上恒有g?(x)?0， 2从而g(x)在区间(1，+∞)上是减函数；??????????????14分 要使g(x)?0在此区间上恒成立，只须满足g(1)??a?由此求得a的范围是[?11?0?a??， 2211，]. 2211综合①②可知，当a∈[?，]时，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方.??16

22分

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