1999-2012数学一(答案2)

2001年考研数学一试题答案与解析

一、填空题

(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是r1,r2?1?i,从而得知特征方程为

2(r?r1)(r?r2)?r2?(r1?r2)r?rr12?r?2r?2?0.

由此,所求微分方程为

y''?2y'?2y?0.

(2)【分析】 先求gradr.

gradr=???r?r?r??xyz?,,???,,?. ?x?y?z??rrr???x?y?z()?()?() ?xr?yr?zr1x21y21z23x2?y2?z22?. =(?3)?(?3)?(?3)??rrrrrrrr3r22|(1,?2,2)?. r3再求 divgradr=

于是

divgradr|(1,?2,2)=

(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为?1?y?0时

1?y?2.由此看出二次积分?dy??10?12021?yf(x,y)dx是二重积分的一个累次

积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为

?

dy?1?yf(x,y)dx???f(x,y)dxdy.

D由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D:

?1?y?0,1?y?x?2.

见图.现可交换积分次序

原式=??0?1dy?21?yf(x,y)dx???dx?1201?xf(x,y)dy??dx?121?x0f(x,y)dy.

(4)【分析】 矩阵

因为

A的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.

(A?E)(A?2E)?2E?A2?A?4E?0,

(A?E)(A?2E)?2E,即

(A?E)?A?2E?E. 214

故

按定义知

(A?E)?1?1(A?2E). 2D(x),

(5)【分析】 根据切比雪夫不等式

P{X?E(X)??}?P{X?E(X)?2}??2于是

D(x)1?. 222二、选择题 (1)【分析】 当x当x应选(D).

(2)【分析】 我们逐一分析.

关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由(A)不一定成立.

关于(B)只能假设

?0时,f(x)单调增?f'(x)?0,(A),(C)不对;

?0时,f(x):增——减——增?f'(x):正——负——正,(B)不对,(D)对.

f(x,y)在(0,0)存在两个偏导数?f(x,y)在(0,0)处可微.因此

f(x,y)在(0,0)存在偏导数

?f(0,0)?f(0,0),,不保证曲面z?f(x,y)在 ?x?y(0,0,f(0,0))存在切平面.若存在时,法向量

因而(B)不成立.

n=?????f(0,0)?f(0,0)，，?1???{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,

?y??x?

?x?t,?关于(C),该曲线的参数方程为?y?0,

?z?f(t,0),?

它在点(0,0,f(0,0))处的切向量为

{t',0,df(t,0)}|t?0?{1,0,fx'(0,0)}?{1,0,3}. dt因此,(C)成立.

f(x)f(x)f(x)?lim?lim??.

x?0x?0?x?0?xxx1f(1?cosh)1?cosh1f(t)?t?1?coshlim关于(A):lim2f(1?cosh)?lim,

h?0hh?01?coshh22t?0?t1lim2f(1?cosh)? ? f?'(0) ?. 由此可知

h?0h(3)【分析】 当

f(0)?0时,f'(0)?lim若

f(x)在x?0可导?(A)成立,反之若(A)成立?f?'(0) ??f'(0)?.如f(x)?|x|满足(A),

但

f'(0)不?.

15

关于(D):若

f(x)在x?0可导,?

1f(2h)f(h)lim[f(2h)?f(h)]?lim[2?]?2f'(0)?f'(0). h?0hh?02hhh?0?(D)成立.反之(D)成立?lim(f(2h)?f(h))?0?f(x)在x?0连续,?f(x)在x?0可导.

如

?2x?1,x?0 f(x)??0,x?0?　满足(D),但

f(x)在x?0处不连续,因而f'(0)也不?.

1h?sinhf(h?sinh)h?sinhf(t)f(h?sinh)?lim??lim?(当它们都?时). 22h?0h2h?0h?0hh?sinhhth?sinhf(t)'?0?lim注意,易求得lim.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即 f(0)??h?0t?0h2tf(t)'有界,任有(C)成立,如f(x)?|x|满足(C),但f(0)不?. f'(0)?).因为只要t再看(C):lim

因此,只能选(B). (4)【分析】 由 相似对角化,所以

|?E?A|??4?4?3?0,知矩阵A的特征值是4,0,0,0.又因A是实对称矩阵,A必能

A与对角矩阵B相似.

A?B时,知A与B有相同的特征值,从而二次型xTAx与xTBx有相同的正负惯

作为实对称矩阵,当

性指数,因此

A与B合同.

所以本题应当选(A).

注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如

?10?A????02?与B??10??03???,

它们的特征值不同,故

A与B不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A与B合同.

(5)【分析】 解本题的关键是明确

X和Y的关系:X?Y?n,即Y?n?X与Y之间存在线性关系,即Y,在此基础上利用性质:相关

系数?XY的绝对值等于1的充要条件是随机变量数),且当a

X?aX?b(其中a,b是常

?0时,?XY?1;当a?0时,?XY??1,由此便知?XY??1,应选(A).

事实上,Cov(X,Y)?Cov(X,n?X)??DX,DY?D(n?X)?DX,由此由相关系数的定义

式有

?XY?Cov(X,Y)?DXDY?DX??1.

DXDY 16

11?2xdexx?2xx三、【解】 原式=?arctaned(e)??[earctane??2x]

2?2e(1?e2x)

1?2xdexdexxarctane??2x??) =?(e2x2e1?e=?

1?2x(earctanex?e?x?arctanex)?C. 2四、【解】 先求?(1)?求

f(1,f(1,1))?f(1,1)?1.

d3?(x)|x?1?3?2(1)?'(1)?3?'(1),归结为求?'(1).由复合函数求导法 dxd?'(x)?f1'(x,f(x,x))?f2'(x,f(x,x))f(x,x),

dx

?'(1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)[f1'(1,1)?f2'(1,1)].

f1'(1,1)??f(1,1)?f(1,1)?2,f2'(1,1)??3. ?x?y,

注意

因此

?'(1)?2?3(2?3)?17d3?(x)|x?1?3?17?51. dx五、【分析与求解】 关键是将arctan

直接将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上1?x2并化简即可.

x展开办不到,但(arctanx)'易展开,即

?1(arctanx)???(?1)nx2n,|x|?1, 21?xn?0' ①

积分得

(?1)n2n?1arctanx??(arctant)dt??(?1)?tdt??x,x?[?1,1]. ②

00n?0n?02n?1x'?nx2n? 立.

因为右端积分在x??1时均收敛,又arctanx在x??1连续,所以展开式在收敛区间端点x??1成

1?x2现将②式两边同乘以

x

得

?1?x2(?1)n2n?(?1)n2n?(?1)nx2n?22arctanx?(1?x)?x??x??x2n?1n?02n?1n?02n?1n?0

17

(?1)n2n?(?1)n?12n =?x??x

2n?12n?1n?0n?0?

=1??(?1)n(n?1?11?)x2n

2n?12n?1 ,

(?1)n22n ?1??x21?4nn?1?x?[?1,1],x?0

上式右端当x

?0时取值为1,于是

(?1)n22nf(x)?1??x,x?[?1,1]. 2n?11?4n??(?1)n11??1上式中令x?1???[f(1)?1]?(2??1)??. 21?4n22442n?1六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记S为平面x?y?z?2上L所

为围部分.由L的定向,按右手法则S取上侧,S的单位法向量

?1n?(cos?,cos?,cos?)?(1,1,1).

3于是由斯托克斯公式得

cos??I????xSy2?z2cos???y2z2?x2cos???z3x2?y2dS

=

??[(?2y?4z)S111?(?2z?6x)?(?2x?2y)]dS333

=?22(4x?2y?3z)dS(利用x?y?z?2)?(6?x?y)dS. ????3S3S于是

'2'21?Zx?Zy?1?1?1?3.

按第一类曲面积分化为二重积分得

I??2(6?x?y)3dxdy??2??(6?x?y)dxdy, ??3DD18

其中D围S在xy平面上的投影区域

|x|?|y|?1(图）.由D关于x,y轴的对称性及被积函数的奇偶性得

??(x?y)dxdy?0

D?

I??12??dxdy??12(2)2??24.

D七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,?x?(1,?1),x?0,???(0,1),使

f(x)?f(0)?xf'(?x)

不变号,

(?与一.

x有关);又由f''(x)连续而f''(x)?0,f''(x)在(1,?1)f'(x)在(1,?1)严格单调,?唯

(2)对

f'(?x)使用f''(0)

的定义.由题(1)中的式子先解出

f'(?x),则有

f'(?x)?'f(x)?f(0).

x'再改写成

f(x)?f(0)?xf'(0)f(?x)?f(0)?.

xf'(?x)?f'(0)f(x)?f(0)?xf'(0)???,

?xx2

解出?,令x?0取极限得

1''f(0)f(x)?f(0)?xf(0)f(?x)?f(0)21lim??lim/lim??. x?0x?0x?0x2?xf''(0)2'''八、【解】 (1)设t时刻雪堆的体积为V(t),侧面积为

先求

S(t).t时刻雪堆形状如图所示

S(t)与V(t).

侧面方程是

2(x2?y2)h2(t)22z?h(t)?((x,y)?Dxy:x?y?).

h(t)2?z4x?z4y??,???xh(t)?yh(t).

?

19

?

S(t)???Dxy?z2?z2h2(t)?16(x2?y2)1?()?()dxdy???dxdy.

?x?yh(t)Dxy,y?rsin?,则

作极坐标变换:x?rcos?Dxy:0???2?,0?r?1h(t). 2?

1h(t)12?222S(t)?d?h(t)?16rrdr??00h(t)?2?12?[h(t)?16r]|h(t)483221h(t)20?13?2h(t).12

用先二后一的积分顺序求三重积分

V(t)??h(t)0dz??dxdy,

D(x)2(x2?y2)其中D(z):?h(t)?z(t)h(t),即

1x2?y2?[h2(t)?h(t)z].

2?

V(t)??dVdth(t)?20[h2(t)?h(t)z]dz??1?[h3(t)?h(t)3]?h3(t). 224dV??0.9S dt(2)按题意列出微分方程与初始条件. 体积减少的速度是?,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即

将V(t)与

S(t)

的表达式代入得

?4

3h2(t)

dh13?2??0.9h(t),即 dt12

① ②

dh13??. dt10h(0)?130. ??(3)解①得h(t)令

1313t?C. 由②得C?130,即h(t)??t?130. 1010h(t)?0,得t?100.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.

九、【解】 由于?i(i?1,2?s)是?1,?2,??s线性组合,又?1,?2,??s是Ax?0的解,所以根据齐次线

?1,2?s)均为Ax?0的解.

性方程组解的性质知?i(i

从?1,?2,??s是

Ax?0的基础解系,知s?n?r(A).

20

下面来分析?1,?2,??s线性无关的条件.设

k1?1?k2?2???ks?s?0,即

(t1k1?t2ks)?1?(t2k1?t1k2)?2?(t2k2?t1k3)?3???(t2ks?1?t1ks)?s?0.

由于 ?1,?2,??s线性无关,因此有

??t1k1?t2ks?0,??t2k1?t1k2?0,?t2k2?t1k3?0,

?????t2ks?1?t1ks?0.因为系数行列式

t100?0t2t2t10?00

0tttss21?00?1?(?1)s?1t2,

?????000?t2t1所以当ts1?(?1)s?1ts2?0时,方程组(*)只有零解k1?k2???ks?0.

从而?1,?2,??s线性无关. 十、【解】 (1)由于AP?PB ,即

A(x,Ax,A2x)?(Ax,A2x,A3x)?(Ax,A2x,3Ax?2A2x)

?000?

?(x,Ax,A2x)??103?,

???01?2???000?所以B???103?.

??2??01??

(2)由(1)知A?B,那么A?E?B?E,从而

100

|A?E|?|B?E|?113??4.

01?1

(*)

21

十一、【解】 (1)P{Y(2)P{Xmm?m|X?n}?Cnp(1?p)n?m,0?m?n,n?0,1,2,?.

?n,Y?m}=P{X?n}P{Y?m|X?n}

=

?nn!mme???Cnp(1?p)n?m,0?m?n,n?0,1,2,?.

十二、【解】 易见随机变量

(X1?Xn?1),(X2?Xn?2),?,(Xn?X2n)相互独立都服从正态分布

N(2?,2?2).因此可以将它们看作是取自总体N(2?,2?2)的一个容量为n的简单随机样本.其样本均值

为

1n12nXi?2X, ?(Xi?Xn?i)?n?ni?1i?1

样本方差为

1n12(X?X?2X)?Y?in?in?1i?1n?1.

因样本方差是总体方差的无偏估计,故E(1Y)?2?2,即E(Y)?2(n?1)?2. n?1 22

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