2011年闽清育才学校5月高考模拟考试数学

2011年闽清育才学校5月高考模拟训练

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1. i是虚数单位。已知复数Z?1?3i?(1?i)4，则复数Z对应点落在（ ） 3?iA．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2. 已知集合P??x|2?A. ?

??x1?22?，Q??y|x?y?4,x?R,y?R?，则P?Q?（ ） 4? C. ??2,1? D.

B. Q

???2,0?,?1,3??

?23. 设函数f(x)?sin(?x?)?1(??0)的导数f?(x)的最大值为3,则f(x)的图象的一6条对称轴的方程是（ ）

?A．x??9 B．x??6 C．x??3 D．x?

4. 已知正三棱锥S—ABC的高为3，底面边长为4，在正棱锥内任取一点P，使得

1VS?ABC的概率是（ ） 23711 A． B． C． D．

4848

5. 设函数f(x)?x??x?，其中?x?为取整记号，如??1.2???2，?1.2??1，?1??1．又

x函数g(x)??，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)图像交点

3VP?ABC?的个数记为n，则Ａ．??nmg(x)dx的值是（

）

5457 Ｂ．? Ｃ．? Ｄ．? 23466. 图1中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数

S?S(a)(a≥0)是图1中阴影部分介于平行线y?0及y?a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为（ ）

y S(a)S(a)S(a)S(a) 3

2

1 12O1Oa3O123a2O12a31 O23aAB图1 CDy=a3x7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．7 B．8.下列说法：

①命题“存在x0?R，使20?0”的否定是“对任意的

x201417 C． D． 333x?R,2x?0”；

②若回归直线方程为?， x∈{1,5,7,13,19}，则y=1.5x+45y=58.5；

③设函数f(x)?x?ln(x?1?x)，则对于任意实数a和

2b， a?b＜0是

f(a)?f(b))＜0的充要条件；

④“若x?R，则|x|?1??1?x?1”类比推出“若z?C，则|z|?1??1?z?1”

其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

x2y29. 已知点P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、

ab右焦点，I为△PF1F2的内心，若S?IPF1?S?IPF2??S?IF1F2成立，则?的值为（ ）

a2?b2aba A. B. C. D.

2aaba2?b2x*10. 若f(x)?，f1(x)?f(x)，fn(x)?fn?1?f?x???n?2,n?N?,

x?1则f?1??f?2????f?2011??f1?1??f2?1????f2011?1? =（ ）

A．1 B．2009 C．2010 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．

D．2011

?20(2?1?x)dx?

?????????????12．若点P是?ABC的外心，且PA?PB??PC?0,?C?120?，则实数?= _____

n(2x??)?3cos(2x??)为奇函数，且在[0,13．使f(x)?si值是 ________

?4]上是减函数的?的一个

14. 函数y?f(x)(x?R)，满足：对任意的x?R，都有f(x)?0且f2(x?1)?7?f2(x)。

??x?2,当x?(0,1)时，f(x)????5,0?x?5?25?2?x?1，则

f(2010?3)? ．

15 设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个．．．数称为ai的顺序数（i?1，，．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，2?，n）3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时

满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为_________ ___（结果用数字表示）．

三、解答题

16.（本题满分13分）

已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，

??（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a·→b，且x∈[－,]时，求

44函数f(x)的最大值及最小值

17．(本小题满分13分)

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，经平面AEFG 所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60

(I)求证：BD⊥平面ADG；(Ⅱ)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

18.（本题满分13分）

某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损

7215%，且这两种情况发生的概率分别为和；

99项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，

311也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和

5315（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继

续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？

（参考数据：lg2?0.3010，lg3?0.4771）

19.（本题满分13分）

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴端点分别为A、B，且

ab四边形F1AF2B是边长为2的正方形

（I）求椭圆的方程；

????????? （II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD?CD?0，连结CM交椭

?????????圆于P，证明OM?OP为定值（O为坐标原点）；

（III）在（II）的条件下，试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q，使以线段MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由

20.（本题满分14分） 已知函数f(x)?lnx?2x?. x?44（Ⅰ）求f(x)的极值；

（II）判断y=f(x)的图像是否是中心对称图形，若是求出对称中心并证明，否则说明理由； （III）设f(x)的定义域为D,是否存在?a,b??D.当x??a,b?时，f(x)的取值范围是

?ab?,?？若存在,求实数a、b的值；若不存在，说明理由 ??44?

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果

多做，则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换

已知二阶矩阵M???有特征值???1及对应的一个特征向量e1???． 3d????3?（Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2?2y2?1，求曲线C的方程． （2）(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程

2??x?1?t,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为? （t为参数），若圆P在以该2y?2t?1???a1??1?直角坐标系的原点O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为?2?4?cos??3?0．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和圆P的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点A是曲线C上的动点，点B是圆P上的动点，求AB的最小值． （3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)?x?1?x?2，不等式t?f(x)在R上恒成立． （Ⅰ）求t的取值范围；

（Ⅱ）记t的最大值为T，若正实数a,b,c满足a2?b2?c2?T，求a?2b?c的最大值．

2011年闽清育才学校5月高考模拟训练数学（理科）答案

一：选择题1-5：CBABA, 6-10：CDCBD. 二:填空题

11. 3 ; 12.?1 ; 13.

2? 14. 35 ; 15. 144; 16.解：（Ⅰ）假设→a∥→b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，

∴2cosx＋sinxcosx＋sinx＝0，2·cos2x＝－3，

??

∴2(sin2x＋)＝－3，与|2(sin2x＋)|≤2矛盾，故向量→a与向量→b不可能平行．

44

22

（Ⅱ）∵f(x)＝→a·→b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cosx－sinx＋

2

2

1＋cos2x11－cos2x

＋sin2x＋＝0，即sin2x＋222

2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝2(22?cos2x＋sin2x)＝2(sin2x＋)， 224

????3????

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2；

44444428???

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．

44417.（Ⅰ）证明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，

由余弦定理得，BD=3，?AB?AD?BD.∴AD⊥BD --（2分）

又GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD，GD?AD=D，∴BD⊥平面ADG???4分

（Ⅱ）解：以D为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OG为z轴建立空间直角坐标系D—xyz

则有A（1，0，0），B（0，3，0），G（0，0，1），E（0，3,2）

222AG?(?1,0,1),AE?(?1,3,2) --------------------（6分） 设平面AEFG法向量为m?(x,y,z)

?3?m?AG??x?z?0.1) -------------（9A 则?分） ,取m?(1,?3??m?AE??x?3y?2z?0平面ABCD的一个法向量n?DG?(0,0,1) -------------------------（10分） 设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为?，

???|m?n|21?则cos??|cos?m,n?|? ----（13分）

|m|?|n|718.解：（1）若按“项目一”投资，设获利?1万元，则?1的分布列为：

72?E?1?300??(?150)??200（万元）???2分

99若按“项目二”投资，设获利?2万元，则?2的分布列为：

311?E?2?500??(?300)??0??200（万元）. ?4分

531572D?1?(300?200)2??(?150?200)2??35000， ??????5分

99311D?2?(500?200)2??(?300?200)2??(0?200)2??140000，??6分

5315所以E?1?E?2，D?1?D?2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．???8分

200n)?2000，即1.2n?2， 1000lg20.3010??3.8053． 两边取对数得：n?2lg2?lg3?12?0.3010?0.4771?1（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意：1000(1?所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． ?13分

x2y2??1??3分 20．（1）如图，由题知2b?2c?22?b?c?2，a?2?42（2）C(-2,0),D(2,0),则可 设lCM?y?k(x?2)

P:(x1,y1)?MD?CD?M:(2,4k)

?????????2?4k24k4(1?2k2)?OM?OP?2??4k???4 ????9分 2221?2k1?2k1?2k （3）设Q:(x0,0)且x0??2，

?????????由题知MQ?DP?QM?DP?0成立

?存在Q:(0,0)使得以MP为直径的圆恒过DP、MQ的交点 ??????13分

20.解：(I) f/(x)?x(x?6)x?2 .注意到?0，即x?(??,2)?(4,??)，

4(x?2)(x?4)x?4x(x?6)?0得x?6或x?0．所以当x变化时，f/(x),f(x)的变化情况如下

4(x?2)(x?4)表：

13是f(x)的一个极大值,f(6)?ln2? 是f(x)的一个极大值.. 223(II) 点?0,f(0)?,(6,f(6))的中点是(3,),所以f(x)的图象的对称中心只可能是

43(3,). 4所以f(0)?ln

证法1：方程（曲线）观点要证f(x)的图像关于(3,)对称，只需证明点Q也在y=f(x)上，

4 3y?f(x)3设P(x,y)为f(x)的图象上一点,P关于(3,)的对称点是Q(x0,y0)，

4?x?x0?3?x?6?x0?x?2x?2???因?，又y?ln()? 3x?44y??y0?y?y0?3??2??24所

以

3?y02，

l6?x0?x0?n6即点Q(x0,y0)也在函数y=f(x)的图像上。

证2 ：函数的观点证明中心对称：要证y=f(x)图像关于点(3,)对称，只需证

3433设为的图象上一点,关于P(x,f(x))f(x)(3,的)对称点是Pf(6?x)??f(x)423??Q(6?x,?f(x))2

(III) 假设存在实数a、b.??a,b??D,?b?2或a?4.

若0?b?2, 当x??a,b?时, f(x)?f(0)?ln不可能?

若4?a?6,当x??a,b?时, f(x)?f(6)?ln2?故不可能?.

若a?b?0或6?a?b,由g(x)的单调递增区间是???,0?,?6,???,知a,b是

1bb?0,而?0?f(x)?.故24433aa3?,而??f(x)?.22442f(x)?xxx?2的两个解.而f(x)??ln?0无解. 故此时f(x)的取值范围是44x?4?ab???不可能是?,?. 44综上所述,假设错误,满足条件的实数a、b不存在.

21.（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．

?a1??1??a?3??1,?1???1? ?????1???=??，∴??3d???3??3?3d?3.??3??3??21??a?2,解得?∴M???. …………………4分 30d?0.???解：（Ⅰ）?（Ⅱ）设点A(x,y)为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A?(x?,y?)， 则??21??x??x???x??2x?y,?，所以 ????????30yyy?3x,???????2代入x2?2y2?1得?2x?y??2?(3x)2?1，

所以所求的曲线方程为22x2?4xy?y2?1. .…………………………7分

（2）本题主要考查直线和圆的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归

与转化思想.满分7分．

解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为2x?y?1?0(x?1)， 圆P的直角坐标方程为(x?2)2?y2?1. 最小值可转化为求PA的最小值.

过圆心P作射线2x?y?1?0(x?1)的垂线，垂足E在线的反向延长线上，

当点A在射线的端点时，PA?2，

AEP …………………4分（Ⅱ）求AB的

y 该射

x 此时EA的长最小，故此时PA取最小值.

所以所求的最短距离为2?1. …………………7分

（3）本题主要考查利用绝对值不等式的基本性质求解和证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分．

解：（Ⅰ）?f(x)?x?1?x?2?(x?1)?(x?2)?3，

?f(x)min?3. …………………2分

?不等式t?f(x)在R上恒成立，

?t?f(x)min?3， t的取值范围为(??,3]. …………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得T?tmax?3，

由柯西不等式得：(a?2b?c)2?(12?22?12)(a2?b2?c2)?18，

?a?2b?c?32. …………………5分

22abc时， ,b?2,c???即a?22121a?2b?c的最大值为32. …………………7分

当且仅当

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