2013马鞍山二模安徽省马鞍山市2013届高三毕业班第二次教学质量检测 数学文 扫描版试题 - 图文

文科数学参考解答和评分标准

一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 B C B D A C D A C B 答案 二、填空题

（11）log1.20.8（12）22（13）y?x?1（14）13 . （15）①④⑤

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

（16）(本小题满分12分)

（Ⅰ）证明：cos2a+cos2b=2cos(a+b)cos(a-b) （Ⅱ）在?ABC中，若A（Ⅰ）证明：cos2a

=[cos(a+b)cos(a-b)-sin(a+b)sin(a+b)]+[cos(a+b)cos(a-b)+sin(a+b)sin(a+b)]??3，求sin2B+sinC2的最大值.

+cos2b=cos轾(a+b)+(a-b)+cos轾(a+b)-(a-b)臌臌 =2cos(a+b)cos(a-b)所以原等式成立.

（Ⅱ）∵A= a222p3由余弦定理可得

2=b+c-bc?bc-2b+c222=b+c222

∴b2+c2 2a2 由正弦定理可得sin2B+sinC?2sinA2232??类似解法参照给分

6?40?4（17）解:（Ⅰ）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的男生有60不看营养说明的男生有

660?20?2名?

名.?

（Ⅱ）从（Ⅰ）中的6名男生样本中随机选取2名作深度采访，求选到看与不看营养说

明的男生各1名的概率；

解:（Ⅱ）记样本中看营养说明的4名男生为a1，a2，a3，a4 不看营养说明的2名

男生为b1，b2，从这6名男生中随机选取2名，共有15个等可能的基本事件： (a1，a2),(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2),

(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，

???其中符合要求的是(a1，b1)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a2，b1)，(b1，b2)；(a1，b2)，

(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2).故所求的概率为P?815.

（Ⅲ）根据以上列联表，是否有85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有

关？

参考公式：K参考值表：

2?n(ad?bc)2(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)，其中n?a?b?c?d.

P(K2?k0) 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0 解:（Ⅲ）假设H0：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则K2应

该很小.

由

K2题

2设

?110?(4?2?4?1)8?6?5?32条

?11?1672?2.444件

??10分

得：

?110?(40?20?40?10)80?60?50?30因为由2.444?2.072可知，所以有85%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关. （18）【证明】（Ⅰ）设正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O ，连接FO.由题知EF?OC?1，

∵EF//AC，∴四边形CEFO为平行四边形?

??∴CE?平面BDF??CE//平面BDF?OF?平面BDF?CE//OFF

AE（Ⅱ）

平面ABCD?平面ACEF??平面ABCD?平面ACEF?AC??FA?平面ABCD?FA?AC?DOC?8分

B第18题图

连EO，易知四边形AOEF为边长为1的正方形

∴EO?平面ABCD?EO?BD ∴△BDE为等腰三角形，BD?2BO?BE?DE?BO?EO22AB?AD22?2

22?1?1?222 BE?DE∵BD2?BE?DE

??∴BE?DE同理在△BEF中，BE?EFBE?EF??BE?平面DEFDE?EF?E??（19）解：（Ⅰ）依题意，

可设椭圆方程

yca22?22，可得

?1a?2c,又a?b?c,?b?c,?a?2b

2b?2xb22，又过点（1，2），?b2?2,a2?4

分

所以椭圆方程为

y4?x22?1．?????????????????????6

（Ⅱ）因为椭圆的上焦点为（0，2），设直线l的方程为y?kx?2，

由分

设P(x1,y1),Q(x2,y2)， 则x1?x2??22kk?22?y?kx?2,?2可得(k2?2)x2?22kx?3?0?y2x??1,??42．??????????????8

，x1x2??3k?222．

． ?????????????????10

可得y1?y2?k(x1?x2)?22?42k?2

分

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(m?2222k?2?k??1．得m?2k?22k2?2k2k?2k?2,222)，

由题意有kMN?k??1，可得分 又k?0，??????12

k?2，所以0?m?22． ?????????????????????13

分

【命题意图】本题考查椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系，中等题 . （20）（本题满分13分）已知数列?an?中，a1?4，an?0，前n项和为Sn，若

an?Sn?S?n1(n?2)..

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列{1anan?1}前n项和为Tn，求Tn取值范围.

解：（Ⅰ）∵an?Sn?Sn?1，∴

?(Sn?an?Sn?Sn?1?Sn?1)?Sn?Sn?Sn?Sn?1????????2分

分

Sn?1)(Sn?Sn?1(n?2)∵an?0，∴Sn?0，从而S1?Sn?1?1(n?2)???????4

数列?Sn?是一个首项当na1?2，公差为

21的等差数列，

分

Sn?2?n?1?n?1?Sn?(n?1)

?2时，an?Sn?Sn?1?(n?1)2?n2?2n?1?????????6n?1?4，???2n?1，n?2当n?1时，a1?4 ∴an（Ⅱ）Tn?1a1a214?5????????????????????7分

1an?1an?1a2a315?7?1a3a417?9???

1??????(2n?1)(2n?3)

12n?3)]

??14?5120?1?12[(15?17)?(17?19)???(12n?1?11131(?)??252n?3204n?6?,1103； ??????????????10分

∵

4n?6

)∴Tn?[12020???????????????????????13分

【命题意图】.本题考查递推关系，等差数列、裂项求和、函数单调性，中等题.

（21）(本小题满分13分）

已知a?R,函数f(x)?x2(x?a)．

（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值点；

（Ⅱ）若存在x0??1,2?,时，使得不等式f(x0)??1成立，求实数a的取值范围． 【解】(Ⅰ) 由题意f(x)?x2(x?3), f?(x)?由f?(x)?0，解得x?0 或x?2; 当x?0

3x?6x?3x(x?2)??????????

21分

或x?2时，f(x)单调递增，当0?x?2时，f(x)单调递减， ?? 3分

所以，x?0是极大值点， x?2是极小值????????????????4分 (Ⅱ) 存在x0??1,2?,时，使得不等式f(x0)??1成立等价于f(x)在?1,2?上的最小值小于?1. 设此最小值为m，而

f(x)?3x?2ax?3x(x?//223a),x?[1,2],

（1）当a?0时，f(x)?0,x?[1,2],

则f(x)是区间[1,2]上的增函数, 所以m?f(1)?1?a; ??????????????6分 （2）当a?0时， 在x?0或x?在0?x?2a32a3时，f/(x)?0,从而f(x)在区间[a,??)上是增函数；

323a]上是单减函数2时，f/(x)?0,从而f(x)在区间[0,；???????? 8分

① 当2a?2，即a?3时，f(x)在x?[1,2]上单调递减，∴m?f(2)?8?4a;

3② 当1?增，

23a?2，即

3232a2a?a?3时，f(x)在x?[1,]上单调递减，在x?[，2]上单调递

33∴m?f(③ 当0?232a3)??4a27.

32a?1即0?a?时，f(x)在x?[1,2]上单调递增，∴m?f(1)?1?a.

3?1?a,(a?)?2?33?4a综上所述，所求函数的最小值m???,(?a?3).??????????10

2?27?4(2?a),(a?3)??分

令m??1，解上述三个不等式得：a?3223 ??????????????13

分

【命题意图】.本题考查导数应用---单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，中等题.

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