固体物体第三章习题

第三章 晶体结合

3．1 惰性气体晶体 惰性气体晶体是最简单的分子晶体，原子间的相互作

用能可以用勒纳—琼斯势描写 u?r???AB?12 6rr式中r是原子间的距离，A、B是两个常数．第一项代表吸引作用，第二项代表排斥作用．若用两个无量纲的参量?,?表示，则勒纳—琼斯势可以写为

6????12???? u?r??4????????

?r?????r??式中???BA?，??A24B，它们可以由气态参数给出。 (a)画出勒纳—琼斯势能曲线，并说明参数?,?的物理意义．

(b)对fcc结构的惰性气体晶体，证明平衡时原子间的最近距离r0?1.09?，每个原子的内聚能为u??8.6?．

(c)证明平衡时面心立方结构的惰性气体晶体的体弹性模量是B0?[解]

(a)勒纳—琼斯势为

????12???6?u?r??4????????

?r?????r??75?16?3

令

r??x,u?r??f 4?则又可以写为 f?x??11? 126xxdf?0即 dx作出函数曲线如图3．1所示．曲线的极小值对应于

?12x?13?6x?7?0x?2?1.1216

零，(大丫＝d 6： 幂，(太)6zi e2‘：12d，：(等)—“。(斗)卜也就是说，相应刁：

r／*＝1．12；也就是说，相应于r??1.12，有勒纳—琼斯势的极小值．与此对应的势能为

?1 u?r??4???2??6?12??6?16??2??? ???? 在远距离，即r??1.12．势是吸引势，按r?6变化，在近距离，即r??1.12，势是排斥势，按r?12规律变化．也就是说，排斥势随距离的变化是十分陡峭的，这反映了排斥作用具有短程力的性质，参数?正反映了排斥力的作用范围，而?则反映了吸引作的强弱，通常惰性气体晶体??0.01eV，所以惰性气体晶体只有很弱的结合．

(b)把惰性气体的原子看作经典粒子，并忽略原子的热运动动能，于是惰性气体晶体的点阵能就是晶体内所有原子的勒纳—琼斯势之和．如果晶体中含有N个原于，则总的相互作用能就是

126??????1??? U?N?4??????????????2?j?pijr?j?pijr????1因子是因为在求和时每对原子的相互作用能都计算了两次。点阵和

2?1??A12 ?????j?pij?12?1??A6 ?????j?pij?6决定于晶体结构．对于面心立方结构A6?14.45,A12?12.13．

引用A6和A12，每个惰性气体原子的总能量就是

6????12????u?r??UN?2??A12???A6??? (1)

?r?????r??由

du?0可以求出零压力平衡态下的最近邻距离r0．对上式取微商得 drr?r0???12???6????2??12A12?13??6A??0 67??rr?0??0???du

drr?r0解得

?2A?r0??12?? (2)

?A6?16将面心立方结构的点阵和A6,A12代入，得

r0?1.09? (3)

这个结果对所有面心立方结构的惰性气体晶体都成立．

将式(2)代人式(1)中，得到惰性气体晶体每个原子的内聚能为

62????12?????A6?u0?2??A12???A6????????

rr2A??12??0????0??对于面心立方结构，有

u0??8.6? (4)

dU??P?P??(c) 体弹性模量B??V?，将代入，得 ?dV?V??Td2UB?V 2dV用每个原子的体积v和能量u表示，v?B?v???u??? ?v??v?VU,u?，体弹模量B又可写为 NN对于面心立方结构，v?关系为

13a，a为惯用晶胞边长，a和最近临距离r之间的4a?2r 故有

r3?2?v??2

2?v3r?r代入B的表达式中，得

2??1?u?2??2??u1?2u?B?r?r??3??22? ??9?r?r2?r?9???r??rr?r?平衡时的r0是使u为最小值的距离，即满足

?u?0 ?rr?r0于是平衡时的体弹性模量B0为

B0?Br?r2?2u?9r0?r20

r?r06????12????对u?2??A12???A6???求二阶微商，则

?r????r???126?????1?????1??d2u?2??A1212?13???2??A66?7????2?? dr2r??r0??r0??r0??r0??0???2A?再将r0???12?代入，于是B0为

?A6?2?A6??1??A6??1??2?B0?2??A1212?13???2??A66?7????2??

9r0??2A12??r0??2A12??r0????16?A?B0?3A12?6???A12?4?52?75??3

3．2面心立方结构的点阵和(A12和A6) 考虑勒纳—琼斯势，惰性气体晶体的总能量可以写为

6????12????U?2N??A12???A6???

?r?????r??式中N是组成晶体的原子数．对于下列近似程度计算面心立方结构的点阵A12和

A6．

(a)只计及最近临，

(b)计算到最近邻和次近邻，

(c)计算到最近邻、次近邻和第三近邻。 问以上结果是否一致？

解

?1??1?点阵和A6????,A12????，pij是以最近邻距离r度量的参考原子

????i?pij?i?pij?612pij?i与任何一个j原子之间的距离，

rijr，点阵和A6和A12决定于晶体结构类型．对

于面心立方站构，有12个最近邻，最近邻距离pij?1，有6个次近邻，次近邻距离pij?2，有24个第三近邻，第三近邻距离pij?3，于是

(a) 只计及最近邻

(1)(1)A6?12??1??12,A12?12??1??6?12?12

(b) 计及最近邻和次近邻

(2) A6?12???1?6A(2)12?12??1??12??2?6??2??6?2?6?6?12. 750?12.094

?12(c) 计及最近邻，次近邻和第三近邻

(3)A6?12??1??6??6A(3)12?12??1??12???6??2??24??12???13.639 ?24??3??12.127

3?6?12可以看到A12收敛得很快，而A6收敛得较慢，当以上求和取到三项后，A12已经得到相当一致的结果．通常所采用的fcc点阵和数值是

A6?14.45,A12?12.13

3．3体心立方氪 如果惰性气体晶体氪结晶为体心立方结构，巳知氪的勒

0，??3.65?试计算 纳—琼斯参数??0.014eV

(a)平衡时的最近邻距离r0及点阵常数a； (b)每个原子的内聚能u0，(以eV计算)； (c)平衡时的体弹性模量B0(以dyn?cm-2计算)． 已知体心立方结构的点阵和为

A6???pij??12.25

?6jA12???pij?j?12?9.11

解

由例题1可知，出N个氪原于组成的惰性气体晶体总的势能为

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