应用数理统计，施雨，课后答案

习题1

???1.1 解：由题意p?x?u?1??0.95可得：

?????n??x?u?p????0.95

???????n????n?x?u???而

?~N?0,1?

????n?1?x?u?这可通过查N(0,1)分布表，p???0.95?(1?0.95)?0.975 ????2????n?n那么

??1.96

?n?1.96?

22

1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。

p0?x?800?????8000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015x|??800?e?1.2

那么有6个元件，则所求的概率p??e?1.2??e?7.2

6 (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时

p0?x?3000???030000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015|03000?1?e?4.5

那么有6个元件，则所求的概率p??1?e?4.5?

6 1.3

解: (1) ??{(x1,x2,x3)|xk?0,1,2,?,k?1,2,3}

因为Xi~P(?),所以 P{X1?x1,X2?x2,X3?x3}

?P{X1?x}P{X?12x}P{X?23?x}3?x1?x2?x3?3?ex1!x2!x3!

其中,xk?0,1,2,?,k?1,2,3 (2) ??{(x1,x2,x3)|xk?0;k?1,2,3}

??e??x,x?0 因为Xi~Exp(?),其概率密度为f(x)??

?0,??????x?0 所以, f(x1,x2,x3)??3e??(x1,x2,x3),其中xk?0;k?1,2,3

(3) ??{(x1,x2,x3)|a?xk?b;k?1,2,3}

?1,a?x?b? 因为Xi~U(a,b),其概率密度为f(x)??b?a

?0,???????x?a|x?b? 所以,f(x1,x2,x3)?1(b?a)3,其中a?xk?b;k?1,2,3

(4) ??{(x1,x2,x3)|???xk???;k?1,2,3}

12??(x???2? 因为Xi~N(?,1),其概率密度为f(x)?123e,(???x???)

所以,f(x1,x2,x3)?

1(2?)32?e?(xk???k?1?,其中???xk???;k?1,2,3

?lnxi?u???12?e2?,0?xi??1.4解：由题意可得：f(xi)??x2??

i?0，其它?2n则f(xi,...xn)??i?1??12?(lnxi?u)22?i?1?e,0?xi??,i?1,...n?n f(xi)＝?(2?)2n??xi?i?1?0，其它?n

1.5

n证: 令F(a)?

?(Xi?1i?a)

2

n 则F'(a)???2(Xi?a),F''(a)?2n?0

i?1n 令F'(a)???2(Xi?a)?0,则可解得a?1nn?Xi?X

i?1i?1 由于这是唯一解,又因为F''(a)?2n?0,

因此,当a?1nn?Xi?X时,F(a)取得最小值

i?11.6

nn证: (1)等式左边?(X?i?????(Xi?X?X????

i?1i?1

nnnn??(X?X???2X(???)X(?ii?X?)?X(?????(Xi?X??i?1i?1i?1i?1 左边=右边,所以得证.

nnn (2) 等式左边?(X?i?X???X2i?2X?X2i?nX

i?1i?1i?1nn ??X2?2nX2?nX2??X2ii?nX2

i?1i?1左边=右边,所以得证.

?1.7证：(1)x1nn?n?xi

i?1? x1n?1n?1?n?1?xi

i?1__ 那么x1n?n?1(xn?1?xn)

n＝

1111nn?xi?i?1n?1xn?1?n?1?n?xi

i?11n1n_＝

n?1?xi?i?1n?1xn?1＝

1n?1?xi＝xn?1

i?1?原命题得证

?n(X?2)?

(2)s?2n1nn?xi?12i?2?xn

2 s2n?1?x?n?1i?11n?1i2??xn?1

?1?22?那么 s?(x?x)nn?1n?n?1?n?1??n=

?xn?1i?11n2i-

nn?1n2x+

?2nn(n?1)1n?1nn?1?2x2n?1-

2n(n?1)12?xn?1xn+

n(n?1)2?2xn

=

1n?11n?xi?1n2i-

(n?1)1n?12x+

?2nx2n?1-

(n?1)2x2n?1-

2n(n?1)2?xn?1xn

=

x?n?1i?12i-(

1xn?1+

nxn)2

? 由(1)可得：

n?1nxn?1＋

n?1?2xn=xn?1

则上式＝

?xn?1i?112i－xn?1＝sn?1

2?原命题得证

1.10

解: 因为X?1ni?Xni?1,S?21ni?(Xni?1?X)?21n2i?Xni?1?X

2 所以 (1) 二项分布B(m,p)

1niE(X)?E(X?ni?1)?E(Xi)?mp

D(X)?D(1nX?ni?1n)?i1n2nD(?Xi)?i?1nmp(1?p)n

E(S)?E(21?ni?1(Xi?X))?21nE(?Xi)?E(X)?i?122n?1nmp(1?p)

(2) 泊松分布P(?)

E(X)??, D(X)??n, E(S)?2n?1n?

(3) 均匀分布U(a,b)

b?a2 E(X)?, D(X)??b?a)12n2, E(S2)?n?112n(b?a)

2 (4) 指数分布Exp(?) E(X)?1?, D(X)?1n??, E(S2)?n?1n??

(5) 正态分布N(?,?2) E(X)??, D(X)?

1.11解：(1)是统计量

(2)不是统计量，因为ｕ未知 (3)统计量 (4)统计量

(5)统计量，顺序统计量 (6)统计量 (7)统计量

(8)不是统计量，因为ｕ未知

1.14.

解: 因为Xi独立同分布,并且Xi~?(a,??,X?1nn1n?, E(S)?22n?1n?

2?i?1Xi

n 所以?Xi~?(na,??;

i?1n令Y??i?1Xi,则X?na1nY,由求解随机变量函数的概率密度公式可得

fX(x)????na)(nx)na?1e??nxn,x?0

1.15 解：(1)x（m）的概率密度为： f(m)(x)?n!(m?1)!?(n?m)!2?F(x)?m?1?1?F(x)?n?mf(x)

又F(x)=x且f(x)=2x，0

则有f(m)(x)?n!(m?1)!?(n?m)!x2(m?1)(1?x)2n?m2x，0

(2) x与x的联合概率密度为： （1）（n）f(1)(n)(x,y)?n!(n?1?1)?F(y)?F(x)?n?1?1?1?F(y)?0f(x)f(y)

＝n(n?1)(y2?x2)n?2?2x?2y =4n(n?1)xy(y2?x2)n?2 0

对于其他x,y，有f(1)(n)(x,y)?0

1.19证：现在要求Y= 令g(x)=

nmnmX/(1?nmnmX)的概率密度。

x/(1?x) 可得当0

1(1?nmx)2?0

求g(x)的反函数h(y) 得h(y)=

mn(?1?11?x)又h’(y)=

m12n(1?x)

这样可得Y的概率密度：

fY(y)?fx(h(y))h'(y) (y?g(R))

1n11?xn?1 =

nmmB(,)22n()(?1)2(11?x)?n?m2m12n(1?x)

=

x2(1?x)2nmB(,)22?1m?1 (0

对于其他的Y有 fY(y)?0 原命题得证 1.20

证明: 令X?YZn,其中Y~N(0,1),Z~?(n),则X~t(n)

2

因为X2?Y2ZnY2,而Y2~?2(1),Z~?2(n)

所以X

2?Zn~F(1,n)

1.21解：(1)由题意可得：?=8,??2?4,n=25

对于7.8?x?8.2

? ??0.5??n(x??)??0.5

又

n(x??)?~N(0,1)

? 通过查N(0,1)分布表，可得：P｛7.8

? (2)和(1)一样即求-1.25<

n(x??)??<0的概率

通过查表可得：P｛7.5?x?8｝=0.5-(1-0.8944)=0.3944 (3)此时n=100

? 即求-1<

n(x??)?<1的概率

? 通过查表可得：P｛7.8?x?8.2｝＝0.8413-(1-0.8413)=0.6826 (4)单个样品大于11分钟 即x>11 可得该概率 p1=1-0.9332=0.0668

? 25个样品的均值大于9分钟，即x?9 可得该概率为p2=1-0.9938=0.0062

? 100个样品的均值大于8.6分钟 即x?8.6 可得该概率P3=1-0.9987=0.0013 综上所述，第一种情况更有可能发生。

1.22 解：?=2.5 ?=36 n=5

2

(1)30?s?44?

2sn2?2?(2555,) 695s22 而

sn2?2~?(n?1)即

236??(4)

通过查表可得 P＝0.1929

(2)样本方差落在30~40的概率为0.1929

? 样品均值x落在1.3~3.5的概率

?即：P{1.3

? ?P{-0.4472<

?n(x??)?<0.3727}

又

n(x??)?~N(0,1)

? 查标准正态分布表可得：P{1.3

这样两者同时成立的概率为P＝0.1929?0.3179=0.0613

n2n?m1.23 解：(1)a(?xi)?b(?xi)2

i?1i?n?1?? =a(nxn)?b(mxm)=anxn?bmxm

?222?22?2 =(anxn)?(bmxm)

??2?2 由定理1.2.1只要anxn和bnmxm服从N(0.,1)分布 则上式为?(2)分布

??2 E(anxn)＝0 D(anxn)=an2?2n=an?

2?? E(bnmxm)=0 D(bmxm)=bm??2?2m=bm?

222 要使anxn和bnmxm服从N(0,1)分布，则an?＝1且bm?＝1

这样可得：a?1n?2 b?1m?2

n(2)

?xi?1i?nxn

? 由定理1.2.2 x~N(0,1) Y~?2(2) ＝> T＝

xYn??~t(n)

E(nxn)=0 D(nxn)=n?1n?n2?2n?n?

2 则

?xi?1i服从N(0,1)分布。

xi~N(0,?2)

E(nxn)=0 D(xi)=?2 则

n?m?xi?(服从N(0,1)分布

xi

?i?n?1?12)服从?(m)分布

2n则

n?n?m?xi?1i服从t(m)分布 )2?1n(xii?n?1?mn令

n?n?m?xi?1iC?xi＝)2i?1n?m?i?n?1(mxi??i?n?1(xi

)2? 这样可得C＝

mn

2(3)由定理1.2.3 ，X~?(n1),Y~?(n2) =>F=

X/mY/n2~F(n1,n2)

2

xi~N(0,?) 则

n2xi?~N(0,1)

n?m这样有

?i?1n(xi?2)～?(n)

22?i?n?1(xi?22)～?(m)

可得

?i?1n(xin?m?2)/(

?i?n?12i(xi?2)/m)~F(n,m)

n?m令其＝d?xi/i?1?xi?n?1

则d=

mn

1.25 证：Xi~N(?1,?1)2 Yi~N(?2,?2)2

则

Xi??1~N(0,1)

?1Yi??2?2n1~N(0,1)

＝>?(i?1n2Xi??12?12)~?(n1)

2

?(i?1n1Yi?u2?2Xi?u1)~?(n2)

22n2 =>(?(i?1?12n1)/n1)/ (?(i?1Yi?u22?2)/n2)~F(n1,n2)

n2?2?(Xi?1n2i?u1)2 =>

n1?12~F(n1 , n2)

i?(Yi?1??2)2

习题2

2.1解：(1)x~Exp(?) 则??1^??，令??x，则

1^??x

?^ 这样可以得到：?? （2）x~u(a,b) 则?1?u? ?2????? 令： ?????21?

xa?b2?u2

?13(b?ab?a)

^^?^22u?x?2a?b2^^^2?2?S?213^2

(b?ab?a)?x??^?a?x? 这样可以得：?^???b?x???^?3sa?x?或者?^?2?3s?b?x?23s3s2（因为a

2 （３）?1???^??10?x??1xdx????1

令??x

^ 即有

?^?^?x又??0，0?x<1

^??1 解得：??x1?x pk

（４）?1????k??0(k?1)!??kxk?1e?pxxdx

=

?(k?1)!?0xe??xdx

令?x?t

?k?? 上式＝

(k?1)!?tk0???ke?t1??tdt

＝

?(k?1)!?10tedt??(k?1)?(k?1)!?k!?(k?1)!?k?

^?^ 令u?x，则?? （５）令x-a=t

k?

x t服从参数为?的指数分布

E(t)?1

?E(x?a)?

则E(x)?E(x?a)?a?1??a

?1?1??a

?^1?x?^?a??? 令? 2^^2^211?S2?a??u?u?2^2^????^ 可得：??1S2^?,a?x?S2

（６）?1???mp X~B(m,p)

?^?^^ 令 u?x?mp,p?

2.2

xm

??e??x?x?0解: (1) 由于X~Exp(?),所以f(x)??,

?0,????????其它???xin??ne?i?1?xi?0,lnL(?)?nln????x, 因此L(?)??ii?1?0,?????????????其它?n 令

?lnL(?)????nn???xi?0,该似然方程有唯一解??i?1?1X,所以?的极大似然估计

量为??1X

?1,??a?x?b?? （2）由于X~U(a,b),所以f(x)??b?a,

?0,?????????其它?

所以,样本(X1,X2,?,Xn)的联合概率密度为

n?i?11?,??a?x1,?,xn?b??n,故(a,b)的似然函数为 f(a,b)??(b?a)?0,?????????????其它?1?,??a?min(x1,?,xn),b?max(x1,?,xn)?n,易见, L(a,b)??(b?a)?0??????????????其它???当a?min(x1,?,xn),b?max(x1,?,xn)时,L(a,b)取得最大值,故(a,b)的极大似

??然估计量为a?min(x1,?,xn),b?max(x1,?,xn)

?nn??1n???xi???xi?1 (3) 因为L(?)??,所以lnL(?)?nln??(??1)?lnxi, i?1i?1?0,???????????????其它? 令

?lnL(?)???nn???i?1?lnxi?0,该似然方程有唯一解???nn,所以?的极大似

i?lnxi?1?然估计量为???nn

i?lnXi?1?nkn???xi?k?1?xiei?1?xi?0?n (4) 因为L(?)??[(k?1)]i?1,所以 ??0,???????????????????????????????????其它nnn lnL(?)?nkln??nln(k?1)!?(k?1)?lnxi???lnxi,

i?1i?1令

?lnL(?)???nkn???xi?0,该似然方程有唯一解??i?1?nkn,所以?的极大似然估

i?xi?1?计量为??kX

(5) 样本(X1,X2,?,Xn)的联合概率密度为

n?i?1???(xi?a)??ne?i?1,??x1,?,xn?a?f(a,?)???0,??????????????????其它?n,

???(xi?a)???ne?i?1,??min(x1,?,xn)?a?,易见当a?min(x1,?,xn)时, L(a,?)???0,??????????????????其它??nL(a,?)取得最大值,因此a的极大似然估计量为a?min(x1,?,xn);

nlnL(a,?)?nln????(xi?a)

i?1而令

?lnL(a,?)????nn???(xi?a)?0,该似然方程有唯一解??i?1?1X?a,所以?的极

大似然估计量为??1X?a

xxm?xp(1?p),x?0,1,2,?, (6) 因X的概率函数为P{X?x}?Cmm 故p的似然函数为L(p)??Ci?1mximpi(1?p)xm?xi,xi?0,1,2,?,

对数似然函数为lnL(p)??[lnCi?1xim?xilnp?(m?xi)ln(1?p)],

nni 令

?lnL(p)?p??x?i?1?(m?x)i?p?i?11?p?0,该似然方程有唯一解p?Xm,故p的极大似

然估计量为p?

Xm.

n2.3 解：似然函数L（P;x）=?p(xi;P)

i?1n =?p(1?p)i?1xi?1

=(p1?pn)(1?p)?xi

i?1n 令：

?lnL(?)2p?n1p?n11?pt?xii?1?n11?p?0

^ ?p?1n??x 又因

i?lnL(p)?p22|??0

?xi?1p?xn^??p的极大似然估计量为p?x

2.4解：该产品编号服从均匀分布，即x~u(1,N) 矩估计方法：?1???^?1?N2^

^?? 令：??x 则有：x?1?N2 ?N?2x?1?2*710?1?1419

n 极大似然估计方法：Ｌ（N）=?i?11N?1?(1N?1n)

^ 显然：当N=min(x1,x2,----xn)时，L(N)取得最大值，只有一个值

^^ ?N＝710,即N的极大似然估计量为N＝710 2.5

解:由于总体X~N(?,?),所以?,?的极大似然估计量分别为??X,?意?以 1???

2.6 解：(1)R=x(n)?x(1)?2.14?2.09?0.05

^22??2?S,而由题

2??12???e?(x??????2dx?0.025可知P{X??}?????12??e?(x??????2dx?0.025,所

?????)?0.025??1.96???,因此?的极大似然估计量为??1.96S,即

2?X.

???Rd5?0.4299*0.05?0.0215

(2)将题中数据等分为三组

第一组:2.14,2.10,2.15,2.13,2.12,2.13,

2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13 2.11,2.14,2.10,2.11,2.15,2.10

? 平均极差：R?^13?(0.05?0.05?0.05)?0.05

???1d0R?0.3946?0.05?0.019 7

(2) 由(1)的分析可知, ?的置信度为1?a的单侧置信下限为(2nX?(2n)2a,??),

?的置信度为1?a的单侧置信上限为(??,2nX)?1?a(2n)2),

因此,元件平均寿命?的置信度为90%的单侧置信下限为(747.7,??) 元件平均寿命?的置信度为90%的单侧置信上限为(??,1585.0).

2.23解：由题意得总体x~B(1,p) 当ｎ总分大时：

? 有p{?u??2n(x?p)p(1?p)?u?}=1-?

2? 由题意得：1-?＝0.95 , ?=0.05,x=

60105,n=105 查表得u?＝1.96

2 这样，我们可以解得：p的置信度约为0.95 的置信区间为：（0.4768,0.6661）

2.24解：由中心极限定理可得，当n充分大时，对于P（?）分布有：

n?x

k?1k?nu~N(0,1)，在这里，ｎ充分大，u=?,????

n? 则有p{?u??2x??1n?u?}?1??

2?? 通过解不等式 ?u??2x??1n?u?可得：

2??u?2??的置信度近似为1??的置信区间为（x?2n(u??24nx?u?)，

22?u?2?x?2n(u??24nx?u?)）

22

2.26解：对于正态分布N（?,?2），当?2已知时： ?的置信度为1-?的置信区间为：

? （x??n?u?，x?2?nu?）

2 那么置信区间的长度ｌ=22?u??nu?

24?u?)?2222 若l?L,可解得n?(2LL2

2.28解：首先求前家公司飞机平均晚点时间的95%的置信区间：

? 已知x＝35,n=30,s=S2=15,1-?=95%

? 在这里方差?2未知，有

?n(x??)S*~t(n?1)

故有：p{|

n(x??)s*|

2? ??的置信度为95%置信区间为：（x?S*?nt?(n?1)，x?2S*nt?(n?1)）

2 又：S?*nn?1S，查表可得：t0.025(29)?2.0452

这样可得置信区间为：（29.303,40.697）

? ?的单侧置信上限为x?s*nt?(n?1)

2对于前家公司，可求得单侧置信上限为35?152920t0.05(29)＝35?15291.6991＝39.733

对于后家公司，可求得单侧置信上限为30?29t0.05(29)＝36.310

可见第二家公司ｕ的单侧置信上限较小，所以后选择第二家公司。

?n?1?S2.30解：u未知，则有

*2?2~?2?n?1?

???n?1?S*?2?2?????n?1???n?1 那么，P ?1???=1—? ?222?????2?*??n?1?S???2???n?1??2?22 即 P

??n?1?S???=1— 2??1???n?1??*22?

?? 的置信度为1—?的置信区间为：

?n?1?S*?n?1?S*?，22? ???n?1??1?d?n?1??2222?? ????? 在这里n=10 x=576.4 ，

?n?1?S*2=676.4 ?=1—0.95=0.05

?02.025?9?=19.023 ?02.975?9?=2.700

可得?的置信度为0.95的置信区间渭（5.9630，15.8278）

?的单侧置信下限为

?n?1?S2???n?1?*2

查表得：?0.05?9?=16.919 可得：?的置信度为0.95的单侧置信下限为6.3229

2

?x?y???u2.32解：由于两分布方差相同：T=

1?u2?1n2S?1n1~t?n1?n2?2?

?其中S?=

?n?1?S??n?1?S?n1?n2?2?*n12*n22

那么?1??2的置信度为1—?的置信区间为：

??x?y?t??n1?n2?2?S??2???1?? ?n1n2??1在此题中x=0.14125，y=0.1392，?=0.05，t0.025?4?5?2?=2.3646

S?=0.00255147

14?15=0.67082039

可计算得?1??2的置信度为0.95的置信区间为：（-0.00200，0.00610）

2.34解： 此题中?12和?22均未知， n1=n2=9 令Zi=Xi—Yi， i=1,2,…..,9 则Zi~

N?1??2，?1??2

?22?那么?1??2的置信度为1—?的置信区间为：

**??SZSZ?Z?t??n-1?，Z?t??n-1???? 22nn??Z=X?Y=-2.778,

n=3, t??n-1?=

2t0.025?8?=2.3060

这样可计算得?1??2的置信度为0.95的置信区间为：(-6.2956,0.7400)

习题3

3.1证： 由于总体X~N(u,1)，又如果假设H0：?=0成立

nx??0 则对于样本均值有

??0?~N?0，1?

即 5X~N（0，1）

(1)拒绝域为?X1,......,X25?：5x??1.645 则功效函数??????PI?P??0(?) ?=0

PI?Pu?0(?)????1.645??0.05 即???u??0.05

????=0.05

(2)拒绝域为?X1,......,X25?：1.48?5x?2.066

PI?P??0(?)???2.066????1.48??0.9806?0.9306?0.05

??即??????0.05

??=0.05

(3)拒绝域为?X1,......,X25?：5x??1.96??X1,......,X25?：5x?1.96

PI?P??0(?)????1.96??1???1.96??0.025?0.025?0.05

??????=0.05

3.2 证明：

X??n00?/～N(0,1)

X?P{?n?/??1??2}＝2?(?1??2)－1＝2（1－

1??2）－1＝2－（1－?）－1＝?

故以W为拒绝域的检验符合显著水平为?的要求。

3.3解： 依题意总体X~N?83.8%,?2?,?0?0.05。 要检测假设：

H0：?=83.8%?H1：??83.8%

在这里?2未知， 以

nx??0S*??作为检验统计量：

???n?1??

???????拒绝域为

??nx??0S*???t*?02通过计算得：x=83.88%， S?13??xi?110i?x?2?0.9773%

?t?nx??0S*???0.2589 t0.025?9??2.2622

?t

?接受假设H3.4 解:提出假设

0，也就是说更换了原料之后成品率没有发生变化

1H0：

?＝112.6 ?C <-> HX??S/?

??112.6 ?C

采用检验统计量 T＝

? ～ t (n-1) 对样本数据进行计算得

n0 X＝112.8,S＝1.136,n=7,n=2.646,H T=X??S/?成立时

n=112.8?112.61.136/2.646=0.4658

拒绝域为 T? T<

t?(n?1) 查表知 t0.025(6)＝2.4469

20t0.025(6) 接受H，认为无系统偏差

3.5解：依题意，总体X~N(?,?), ? 和?均未知。

要检验假设H0：?=1260 ?H1：??1260

nx??0S*22 以T=

??作为统计量。

H0的拒绝域为??T?t???n?1?2?

在该题中，n=4 ，x=1267，S?*13??xi?14i?x?2?3.6515

?t?2?73.6515

又t0.025?3??3.1824 可见t?t0.025?3?

?拒绝原假设，也就是说，不能认为锰的熔点为1260

3.6 解:提出假设

H0： ?＝0.1<->

H1 ??0.1

?2 采用检验统计量

2?2＝

(n?1)S?22～?(n-1) 对样本数据进行计算得

2 n=5,S 可知

?=0.001729,

?=0.01,H0成立时

?2＝0.692

拒绝域为

?2??2(n-1) 或 ?2?2??21??2 (n-1)

查表可知 由于

?20.025(4)=11.143

?20.975(4)=0.484

?20.975(4)<

?2

0.025 接受H

0，认为总体标准差为0.1

3.7解：依题意，总体X~N(?,?), ?和?均未知。

要检验假设H0：?=0.048 ?H1：??0.048

2以上假设?H0： ?=0.002304 ?H1： ?222?0.002304

以?2??n-1?S*?22作为统计量。

H0的拒绝域为?????1??1n?15?*22?n?1???22i???22?n?1??

这里n=5, x=1.414, S=

2??xi?1?x?2=0.00778

????

2?4*0.007780.002304?13.507

查表得：?02.025?4??11.143 ?02.975?4??0.484

2??0.025?4?

2?拒绝原假设，也就是说这一天纬度的总体标准差不正常

3.8 解:提出假设

H0：

???12 <->

H1

???12

采用检验统计量 T=

X?YS(n1?1)S?1121wn2?11 ～ t (n1+n2-2) 其中

2n2

Sw＝?(n?1)S?2n?n2?2 对样本数据进行计算得

n1＝13 X＝80.02 n2＝8 Y＝79.98 SwS1?2＝5.5?10?2?4

?4S2＝9.84?10

＝0.02664

H0成立时

T＝3.341 拒绝域为 T? 查表知

t?(n21+n2-2)

t0.025(19)＝2.093

T>t0.025(19)拒绝H

0，认为总体均值不相等

3.9解：总体X和Y分别服从正态分布N 其中?1=5， ?2=8

22??,??,N??121,?222?

要检验假设：H0： ?2??1 =0 ?H1： ?2??1?0

x?y???1??2? 以

?2

1?2作为检验统计量2n?1n2x?y在该题中有

?22~N（0，1）

1n??21n2??????x?y那么拒绝可为

???u????222?12?

???n??1n2?x=24.4 y=25

x?y=

?0.6=0.3721，?22u0.025=1.96

121?1.6n??1n2可见

x?y

1n??221n2?接受原假设，即认为两批烟叶的尼古丁平均含量相同

3.11解：总体X和Y分别服从正态分布N??21,?1?,N??22,?2?，四个参数均未知

要检验假设：H0： ?2??1 =0 ?H1： ?2??1?0 22 H‘:

?01?2=1

?12?2?1

2x?y对于

H0，以

S1作为检验统计量，?n?11n2

其中

?n1?1?SS?=

*1n12??n2?1?S*2n22n1?n2?2

拒绝域为??T?t??2?n1?n2?2?

22?*x=15.0125 y=15 ?n1?1?S1=0.66875 ?n2?1?S*=0.22 S?=0.2357 n2n12?t=0.1091 经查表 t?8?9?2?=2.1315 ?t>t?15? ?接受假设H

0.025?20S对于H0，以F=

‘‘*1n1*2n222S作为检验统计量，有

*1n1*2n222SS~?n1?1,n2?1?

H0的拒绝域为??F?F1???2?n1?1,n2?1??F?F?1F0.025?8,7?12?n1?1,n2?1?

? 经计算F=3.4740 查表：F0.975?7,8?=

=

4.90=0.2041

8?=4.53 F0.025?7，

?F0.975?7,8?

‘0‘?接受假设H

这样同时接受H0和H0，那么认为这两个分布是同一分布。

3.13解：在该题中，x~N(?,?)，其中?未知 对于单侧假设Ho:??4.5?H1:??4.5

?22 以T＝

n(x??0)s*作为检验统计量

T～t(n-1)

当H0成立时候，T应偏向取正值，T取过分大的负值将不利于原假设，拒绝域

取为ｗ＝｛T?t?(n?1)｝

? 在该题中,n=13,x?4.83846,?0?4.5,S?0.9570

*

计算t?13(4.43846?4.5)0.9570?1.2752

t0.01(13?1)?26.217?t?t0.01(12) 所以可以接受原假设

3.14 解:假设H0：

?<22 <-> HS/??1

??22

采用检验统计量T＝

X??n ～ t (n-1) 对样本数据进行计算得

X=21.8,S=0.9,S＝0.909,n=50,n=7.071

H0成立时 有T=-1.556

拒绝域为 T ?t?(n-1) 查表可知t00.1（49）??0.1=1.2816

由于T

2， 认为平均持续工作时间达不到22小时

3.15解：在该题中，x1~N(?1,?1)，x2~N(?2,?2)，其中?1＝?2未知 对于单侧假设Hｏ：?1??2?2?H1:?1??2?2

??222 以T＝

(x?y)?2Sw1n1?1n2作为检验统计量，其中sw?(n1?1)S1n1?(n2?1)S2n2n1?n2?2*2*2

T~t1(n1?n2?2)

当H0成立时，ｔ应偏向取负值，T取过分大的正值将不利于原假设 拒绝域取值为w?{T?t?(n1?n2?2)}

??在该题中x?5.25,y?1.5,(n1?1)S1n1?10.25,(n2?1)S2n2 t?(5.25?1.5)?20.87256112?112?4.912 7*2*2?1.5,Sw?0.87256，

经查表可得t0.05(22)?1.7171

可见ｔ>t0.05(22),t落在拒绝域内 所以拒绝原假设。

3.16 解:提出假设

H0：

???12 <->

H1

???12

显然为大样本参数假设检验 采用检验统计量 U＝X?YS1n 对样本数据进行计算得

U=

2?1S2n2 大样本时近似 ～N(0,1)

2H0成立时

=8.03

2805?2680120.41?105.00110100?22 拒绝域为 U ? －? 查表知 由于 U>?

接受H0?0.05＝1.65

0.05，认为甲枪弹的速度比乙枪弹的速度显著地大

3.17解：由题意可得：x1~N(?1,?1)，x2~N(?2,?2)，其中?1??2，现要检验Z

机床的加工精度是否比甲机床的高，提出如下假设：

H0:?12222?2?1?H1:?122?2?1

以F＝

?2S1n?S212*21*22n2作为检验统计量

S1n1S*2*22n2~F(n1?1,n2?1)

S1n1S*2 拒绝域为：ｗ＝｛

?*21n*22n2?F1??(n1?1,n2?1)｝

?*2 x?15.0152,S 那么

S1n1S*2?0.3091,y?14.988,S92n?0.112 6*22n2＝2.7451,F0.95(7,8)?1F0.95(8,7)?13.73?0.2681

可见

S1n1S*2*22n2>F0.95(7,8) 所以接受原假设，即认为乙机床的加工精度比甲高

?0?33.19解：原假设H0?H0:X~?C3?C3?812112CC5C3C523C82C833?3C5?

?3?C8??0即X～?1??5612153056563?10? ?56? X的可能的值为S＝｛0,1,2,3｝

把Ｓ划分成４个不交子集Si＝｛ｉ－１｝，ｉ＝1,…,4 当H0成立时，有：P｛X=0｝=

4156, P｛X=1｝=

1556, P｛X=2｝=

3056, P｛X=3｝=

1056

又：K112??i?1mi2npi?n

＝

1112?156＋

312112?1556＋

55112?23056＋

25112?21056－112=2.2

本题中，自由度ｒ－１＝３，对给定的??0.05，查?2(3)分布表，得

?0.05(3)?7.815可见K112??0.05(3)，所以接受原假设，也就是认为袋中的红球数

22为５个

3.21解：提出假设H0：x~Exp(?)其中?为未知参数

^ 先由题中数据可以算出?的极大似然估计??1??1150.67

x 以?替换?，把ｘ可能取值的区间?0,?^?分为不相交的６个子区间，

当H0成立时，分别计算各组的理论频数npi和实际频数mi，可得小表：

组号ｉ 分组区间 ｐi ｎｐｉ ｍｉ

1

2

3

4

5

6

?0,50?

0.28240 3.389 2

?50,100?

0.20265 2.432 2

?100,150? ?150,200? ?200,250? ?250,???

0.14542 1.745 1

0.10435 1.252 3

0.07488 0.899 3

0.1903 2.284 1

6那么可的k12??i?1mi2npi?76?21.036

本题中分组数ｒ＝６，未知参数个数ｋ＝１，自由度ｒ－ｋ－１＝４ 对给定??0.1查?2(4)分布表，可得?02.1(4)?7.779可见K12??02.1(4) 所以拒绝原假设，即认为仪器的无故障时间不服从指数分布。

3.23解：对于本题，提出假设H0：F=G?H1:F?G，拒绝域为ｗ＝{Dn1n2?Dn1,n2,?} 对于甲也就是F分布有下表：

i 1

X(i) 19.0

ｙ（ｉ） 19.2

Gn(y(i))

1727374757671

Fn(x(i?1))

0

Fn(x(i))

1727374757671

di

17171717171717

2 19.7 19.4

172737475767

3 19.8 19.7

4 20.0 19.8

5 20.1 20.5

6 20.4 20.6

7 20.5 20.8

?Dn1,n2?1?0.56481 n=??3<100 Dn1,n2,??D3，0.2?7?7?7??7?7??Dn1,n2?D3,0.2 ?接受原假设，认为两个工人加工的主轴外径服从相同的分布。

3.25解：记疗效为X，年龄为Y，对于指标X，取３种值：分别记显著、一般、较差分别

为:A1,A2,A3;对于指标Y也取三种值：儿童B1、成年B2、老年B3 于是有r=s=3，本题要检验如下假设：

H0:pij?pi。p。j,i?1,2,3?H1:　至少对某组（ｉ，ｊ）有pij?pi。p。j 其中pij?p{x?Ai,Y?Bj},pi。?p{x?Ai},p。j?p{Y?Bj}，i,j?1,2,3 那么可得：

33(nij?ni。n。jnn)2 kn???i?1j?1ni。n。j

(58?128?109 =

300128?109300117?91)2(38??128?100300128?100300117?100)2(32??128?91300128?*91300117?91)2

(28? +

300117?9130055?109)2(44?+

300117?10030055?100)2(45?+

300117?9130055?91)2

(23? +

30055?109300)2(18?+

30055?100300)2(114?+

30055?91300)2

=2.8404+0.5104+1.2003+4.9527+0.6410+2.5483+0.4554+0.1767+0.4316

=13.757

2 拒绝域为ｗ＝{kn???((r?1)(s?1))}

2 又?0.05(4)?9.488

可见：kn>?0.05(4)

所以拒绝原假设，也就是说疗效与年龄无关

2

习题4

4.1解：提出假设H0：不同速率对硅晶圆蚀刻的均匀性无显著影响。 经计算得：x?3.889 x1?3.317 x2?4.417 x3?3.933 本题的方差分析表如下：

方差来源 因素A 误差E 总和T

平方和

自由度 2 15 17

?0.05均方和

QA=3.647 QE=7.629 QT=11.276

QA=1.8235 QE=0.5086

F值 F=3.585

在这里r=3，n=18，对给定的?，查F分布表，得F0.05（2，15）?3.68

因为F

4.3解：提出假设H0：这三种净化器的行车里程之间无显著差异。 经计算得：x?23.27 x1?21.75 x2?24.37 x3?24.20 本题的方差分析表如下：

方差来源

因素A 误差E 总和T

平方和

自由度 2 7 9

?0.05均方和

QA=15.466 QE=10.117 QT=25.583

QA=7.723 QE=1.445

F值 F=5.344

在这里r=3，n=10，对给定的?（2，7）?4.74 ，查F分布表，得F0.05（2，7） 因为F>F0.05，所以拒绝H0，也就是说这三种净化器的行车里程之间有显著差异。

4.2

解:提出假设

H0H1：：

?1=…=…?r?r=0，即三组玻璃碎片的平均折射率没有显著差别

?1不全为零，即三组玻璃碎片的平均折射率有显著差别

?=0.05

计算结果见下表:

Sum of Within Groups Total Squares 2793.000 8827.467 df 2 27 29 Mean Square 3017.233 103.444 F 29.168 Sig. .000 Between Groups 6034.467

查表得

F0.05(2,27)=3.35

H1所以,拒绝4.3

H0，接受。可以认为三组玻璃碎片的平均折射率之间有差别。

因素是一个，水平共有3个 A B Ｃ

方差源 平方和

因素 误差 Qe 总和 Qt

15.45 8.511 23.961

自由度 2 7 9

均方和 7.725 1.2159

F值 4.74

总体为 x?23.27 x1?21.75 x2?24.367 x3?24.2 应该做检验 F=

Qa/(r?1)Qe/(n?r)=6.353~F(2,7) 当a＝0.05时 Fa(2,7)?4.74

因为F＝6.353>4.74 所以这三种净化器的行车里程中间有显著差异

4.4解：（1）提出假设H0：这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值无显著差异。 经计算得：x?22.935 x1?28.6 x2?31.375 x3?7.825 x4?19.075 x5?27.8 本题的方差分析表如下：

方差来源 因素A 误差E 总和T

平方和

自由度 4 15 19

?0.05均方和 F值 F=40.844

QA=1480.823 QE=135.823 QT=1616.646

QA=370.206 QE=9.055

在这里r=5，n=20，对给定的?（4，15）?3.06 ，查F分布表，得F0.05（4，15） 因为F>F0.05，,所以拒绝H0，也就是说这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比

的均值有显著差异。

（xi??i）niT?~t(ni?1) （2）由题意可得：*S 对于给定的置信度1??，查t(ni?1)分布表得t?/2(ni?1)使得： P{|T|

这样可得?i的置信区间为（xi?t?/2(ni?1)S*ni，xi?t?/2(ni?1)S*）

ni 可以计算出5种抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值的置信区间分别为：

（23.4800，33.7200），（26.3291，32.4209），（4.0318，11.6182），（16.2009，21.9491），

（21.4510，34.1490）

?i??i的置信1ni度1nk为1??的置信区间为

（xi?xk?t?/（n-r）（2?）QE）

这样可以计算得青霉素与链霉素，红霉素与氯霉素的均值差的置信区间分别为： （16.2397，25.3103），（-13.2603,-4.1897）。

4.5解：（1）经计算得x?5.4444 x.1?5.6667 x.2?5 x.3?5.6667

补充好的方差分析表如下：

方差来源 处置方案因子

区组因子

误差 总和

离差平方和 21.5556 0.8890 7.7777 30.2223

自由度 2 2 4 8

均方离差 10.7778 0.4445 1.9444

F值 5.5429 0.2286

（2）原假设和备择假设如下：

H01：不同处置方案的结果无显著差异?H11：不同处置方案的结果有显著差

异

H02：不同区组的结果无显著差异?H12：不同区组的结果有显著差异 对给定的??0.05（2，4）?6.94 ，查F分布表，得F0.05（2，4）（2，4） 因为FA

置方案和不同的区组对结果均无显著影响。

4.8解：补充好的因素方差分析表如下：

方差来源

A B

离差平方和

130 630 40

150 950

自由度 1 2 2 18 23

均方离差 130 315 20 8.3333

F值 15.6 37.80 2.4

A?B

误差 总和

A、因素B以及因素A、B的交互作用对结果的影响大小，若给定参数?可以对相关假设进行检验。

72） 4.10解：正交表的选择范围为2水平且至少有6列的正交表，那么选择正交表：L（8 作表头设计

因素 列号

A 1

B 2

A?B

C 4

D 5

C?D

6

7

3

可作试验方案如下：

列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 1 1 1 1 2 2 2 2

B 2 1 1 2 2 1 1 2 2

A?B

3 1 1 2 2 2 2 1 1

C 4 1 2 1 2 1 2 1 2

D 5 1 2 1 2 2 1 2 1

C?D

6 1 2 2 1 1 2 2 1

7 1 2 2 1 2 1 1 2

4.11解：（1）先认为表头如下：

因素 列号

A 1

B 2

A?B

C 4

A?C

5

6

D 7

3

由题意计算得：

T1A?7.83 T2A?6.11 T1B?7.14 T2B?6.80

T1C?7.25 T2C?6.69

T1D?5.76 T2D?8.18 T1A?B?7.55 T2A?B?6.39

T1A?C?7.84 T2A?C?6.10

计算极差可得：

RA?1.72 RB?0.34 RC?0.56 RD?2.42 RA?B?1.16 RA?C?1.74

那么由极差可得各因素（包括虚因素）的重要性依次为：

D?A?C?A?A?B?C?B

要求效价越高越好，这样各因素应取较大的值，显然因素D的重要性可以确定取水平D2，

对于虚因素A?C，各种情况取值如下：

C1

4.49 2.76

C2

3.34 3.35

A1 A2

根据以上表格可得因素A和C分别取水平A1和C1，对于最后一个因素B显然要取水平B1， 这样可得最优试验方案为D2A1C1B1。 （2）由（1）中数据可得：y?1.7425

82i QT?（y?i?1?y）?1.7778

QA?1.72822 ?0.3698QB?0.3480.5682.428?0.01445

2QC??0.0392

2QD??0.73205

QA?B?1.1681.7482?0.1682

2QA?C??0.37845

可得Qe?QT?QA?QB?QC?QD?QA?B?QA?C?0.07565

QT的自由度为7，QA，QB，QC，QD，QA?B，QA?C的自由度都为1，Qe的自由度也

为1，那么有：

FA?QAQe?4.8883

FB?QBQeQCQeQDQe?0.1910

FC??0.5182

FD??9.6768

FA?B?QA?BQeQA?CQe?2.2234

FA?C??5.0026

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